Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Tangente stožnic

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Že v tretjem letniku si spoznal, kako do tangent stožnic. Tukaj boš spoznal, kako se izračunajo na enostavnejši način, to je z odvodom.

Najprej preberi naslednjo zgodbo. Bila je jasna poletna noč...

Bila je jasna poletna noč, kot nalašč za spanje pod milim nebom. Domen in Tadej, prebrisana osnovnošolca, sta na teraso zvlekla ležalnika, povštra in dve odeji, se zleknila in se zazrla v jasno nebo. 'Kakšen pogled!' sta bila navdušena. Nad njima so se zvezde bleščale v širokem pasu, tu in tam se jima je celo zazdelo, da so združene v pravi, pravcati oblak. 'Poglej, tamle je Veliki voz!' reče Domen. 'Kaj misliš, kako velik je v resnici?' 'Ne vem', reče Tadej 'se še nismo učili.' 'Ah, tepček! Takih stvari pa se v šoli ne uči. O zvezdah že ne. Razen, če greš k astrološkemu krožku!' 'Misliš reči astronomskemu krožku?' 'Ja, seveda.' Tedaj sta utihnila in nemo strmela v tisoče luči.

Naprej

Uvodni primer

Fanta iz zgodbe sta še premajhna, da bi zmogla odgovoriti na zastavljeno vprašanje. Najbrž bi imeli s tem težave tudi mi. Pa vendar poskusimo s kakšnim enostavnejšim podobnim primerom. Recimo, da opazujemo balon, ki leti mimo našega doma. V trenutku, ko nam je najbližje, se nam zdi največji. Bolj ko se oddaljuje od nas, manjši je videti. Seveda je ves čas (približno) enako velik. Razmisli, katere podatke bi potreboval, da bi lahko izračunal njegovo velikost (polmer)?

Uvodni primer

Najbolje je, če naredimo model te situacije. Predpostavimo, da je balon okrogel in narišimo ravninsko sliko. Z rdečo piko je narisan naš položaj. Središče balona lahko primeš z miško in ga premikaš. Opazuj kaj se spreminja.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

UGOTOVITVE:
Ko balon odmikam, postaja navidezno . V resnici se zmanjšuje , ki ga oklepata obe . Ta kot imenujemo . Če balon približujem, se zorni kot . Mejni vrednosti za velikost zornega kota sta stopinj, ko je balon neskončno daleč stran, in stopinj, ko opazovalec trči v balon.

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Ko balon odmikam, postaja navidezno manjši. V resnici se zmanjšuje kot, ki ga oklepata obe tangenti. Ta kot imenujemo zorni kot. Če balon približujem, se zorni kot povečuje. Mejni vrednosti za velikost zornega kota sta $0$ stopinj, ko je balon neskončno daleč stran, in $180$ stopinj, ko opazovalec trči v balon.

Zorni kot

Kot med tangentama na krožnico skozi izbrano točko, ki leži zunaj nje, se imenuje ZORNI KOT.

Če želimo izračunati velikost balona, moramo imeti dva podatka: razdaljo do središča in zorni kot, lahko pa tudi obe tangenti na krožnico, s pomočjo katerih izračunamo vmesni kot. Merjenja v naravi prepustimo fizikom, mi pa se posvetimo tangentam. Pri poglavju o stožnicah si se že srečal s to temo in morda se celo spomniš, kako se izračuna tangenta na stožnico z danim dotikališčem.

Kako že?

Poskusimo zapisati čim enostavneje. Iščemo premico $y=kx+n$ , ki bo imela z izbrano stožnico eno samo skupno točko, to je dotikališče. Torej mora imeti sistem enačb eno samo rešitev. Po zamenjalni metodi dobimo kvadratno enačbo, ki pa ima eno rešitev natanko tedaj, ko je njena diskriminanta enaka $0$ .

Zgled

Vzemimo krožnico $x^2+y^2=5$ in točko $A(1,b>0)$ na njej. Radi bi izračunali enačbo tangente z dotikališčem v $A$ .

Očitno je najprej potrebno določiti drugo koordinato točke $A$ .
Imamo točko $A(1,2)$ in iščemo premico z enačbo $y=kx+n$ . Ker $A$ leži na njej, dobim zvezo med $k$ in $n$ $(2=k+n)$ , zato se iskana premica glasi $y=kx+2-k$ . Nato zapišem sistem enačb
$y=kx+2-k$
$x^2+y^2=5$
$y$ iz prve vstavim v drugo enačbo in uredim. Dobim enačbo
$x^2(1+k^2)+x(4k-2k^2)+(k^2-4k-1)=0$
Nato postavim pogoj $D=0$ in dobim $k=-\frac{1}{2}$ , ki je dvojna rešitev. Iskana tangenta je $y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$ . S tem pa je bilo kar nekaj dela!

Zgled

Poskusimo isto nalogo rešiti na enostavnejši način, z odvodom!

Odvod v dani točki krivulje je enak smernemu koeficientu tangente skozi to točko. Odvod implicitne funkcije že poznaš, zato kar odvajajmo:
$2x+2y \cdot y´=0$
Od tod sledi, da je $y´=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$
Odvod v točki $A(1,2)$ je zato enak $y´=-\frac{1}{2}=k_t$ . Enačbo tangente nato dobim po formuli za premico $y-y_0=k_t \cdot (x-x_0)$ . Vstavimo točko in smerni koeficient tangente in naloga je rešena. Rešitev je seveda enaka kot po prejšnjem postopku. Upam da opaziš, koliko manj časa smo porabili za rešitev.

Tangenta krožnice

Vzemimo krožnico v središčni legi z enačbo $x^2+y^2=r^2$ in točko $A(x_0,y_0)$ , ki leži na njej. Po istem postopku kot prej bomo izračunali enačbo tangente skozi $A$ .

Tangenta se glasi

Naj bo $A(x_0,y_0)$ točka na krožnici $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ . Enačba tangente z dotikališčem v $A$ se glasi:

$(x-p) \cdot (x_0-p)+(y-q) \cdot (y_0-q)=r^2$ .

Če je krožnica središčna, pa dobim: $x \cdot x_0+y \cdot y_0=r^2.$

Te enačbe si sploh ni težko zapomniti. Misliš si, da v enačbi krožnice $x^2$ nadomestiš z $x \cdot x$ in podobno $y^2$ z $y \cdot y$ . Nato enega od $x$ in enega od $y$ zamenjaš s koordinatama točke $A$ . To je bil koristen nasvet, pod naslednjim gumbom pa je resno vprašanje.

Razmisli

Ali obstaja tangenta v vsaki točki krožnice? Zakaj smo zapisali njeno enačbo v implicitni obliki in ne v eksplicitni, kot je običajno za premice ( $y=kx+n$ )?

Poglejmo nekaj korakov. Najprej izračunam implicitni odvod: $2x+2y \cdot y´=0$ .
Potem pa je $k_t=y´=-\frac{x_0}{y_0}$ .
Vstavim koeficient in točko v formulo za premico $y-y_0=k_t \cdot (x-x_0)$ in uredim. Vmes upoštevam še dejstvo, da $A$ leži na krožnici in je zato $x^{2}_{0}+y^{2}_{0}=r^2$ .

Na podoben način bi izpeljali še formulo tangente na krožnico v splošni legi.

Tangenta krožnice

Vaja

Poišči tisto tangento na krožnico $(x-2)^2+y^2=5$ , ki bo vzporedna premici $x+2y-14=0$ . Določi tudi dotikališči.

Smerni koeficient premice je , takšen bo tudi odvod v dotikališču. Izračunajmo odvod:
$2(x-2)+2y \cdot y´=0 \Longrightarrow y´=-\frac{x-2}{y}$
$y´=k_t=-\frac{1}{2} \Longrightarrow 2(x-2)=y$

Vstavim v enačbo krožnice in dobim dve rešitvi $x_1=$ in $x_2=$ . Dotikališči in tangenti sta:
$D_1(1,$ $)$ $y=-\frac{x}{2}-\frac{3}{2}$
$D_2($ $,1)$ $y=-\frac{x}{2}+\frac{5}{2}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Smerni koeficient premice je $-1/2$ , takšen bo tudi odvod v dotikališču. Izračunajmo odvod:
$2(x-2)+2y \cdot y´=0 \Longrightarrow y´=-\frac{x-2}{y}$
$y´=k_t=-\frac{1}{2} \Longrightarrow 2(x-2)=y$

Vstavim v enačbo krožnice in dobim dve rešitvi $x_1=1$ in $x_2=3$ . Dotikališči in tangenti sta:
$D_1(1,-2)$ $y=-\frac{x}{2}-\frac{3}{2}$
$D_2(3,1)$ $y=-\frac{x}{2}+\frac{5}{2}$

Ostale stožnice

Zapišimo še formule za tangente drugih stožnic. O njihovi veljavnosti se prepričamo podobno kot za krožnico. Zaradi enostavnosti bomo obravnavali le središčne stožnice. Če pa želimo splošne, naredimo vzporedni premik za vektor $(p,q)$ .

Naj bo točka $A(x_0,y_0)$ na elipsi $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . Enačba tangente z dotikališčem v $A$ se glasi: $\frac{x \cdot x_0}{a^2}+\frac{y \cdot y_0}{b^2}=1$ .

Naj bo točka $A(x_0,y_0)$ na hiperboli $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ . Enačba tangente z dotikališčem v $A$ se glasi: $\frac{x \cdot x_0}{a^2}-\frac{y \cdot y_0}{b^2}=1$ .

Naj bo točka $A(x_0,y_0)$ na paraboli $y^2=2px$ . Enačba tangente z dotikališčem v $A$ se glasi: $y \cdot y_0=p(x+x_0)$ .

Tudi zadnjo si zapomnemo na podoben način, le da si tukaj faktor $2x$ preoblikujem v $(x+x)$ in nato en $x$ nadomestim s prvo koordinato točke $A$ .

Ostale stožnice

Vaja

Na spodnji sliki je narisana elipsa $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$ in njena tangenta. Primi dotikališče z miško in ga premikaj, opazuj, kaj se dogaja.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Ostale stožnice

Vaja 1

Izračunaj enačbi tangent z dotikališčema pri $x_0=2$ in $x_0=3$ ter $y_0 \geq 0$ . Enačbo zapiši v implicitni obliki. Rezultat nato preveri na prejšnji sliki.

Uporabimo kar obrazec za tangento, najprej seveda določimo dotikališči. Dobimo

$D_1(2, \frac{4}{3})$ . Enačba tangente: $=0$ , lahko pa tudi izrazim smerni količnik $k=-\frac{2}{3}=-0.66666...$
$D_2(3,0)$ . Enačba tangente: $=0$ .
V zadnji točki imamo navpično tangento, za katero obstaja le implicitna oblika, sicer pa je smerni količnik nedoločen: $\pm \infty$ (poglej na sliko!).

Preveri

Rešitev

$2x+3y-9=0$
$x-3=0$

Rešitev

$2x+3y-9=0$
$x-3=0$

Rešitev

$2x+3y-9=0$
$x-3=0$

Pravilno

Napačno

Oba odgovora sta napačna.

Drugi odgovor je napačen, prvi pa pravilen.

Prvi odgovor je napačen, drugi pa pravilen.

Ostale stožnice

Vaja 2

Vzemimo isto elipso kot prej, torej $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$ . Zanima me, pod kakšnim kotom jo vidim iz točke $B(0,5)$ . Morda za začetek uporabiš kar prejšnjo sliko in z njeno pomočjo oceniš rezultat.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Ali ti je uspelo?

Izračunajmo zorni kot

Spodobi se, da zadnjo nalogo rešimo z računom, brez približnih vrednosti. Izračunati je treba obe tangenti na elipso skozi točko $B$ in nato še kot, ki ga oklepata. Pri tem bomo uporabili formulo za kot med dvema premicama. Torej bi zadostovalo, da poiščemo smerna koeficienta tangent.

Kot si najbrž opazil, ne moremo uporabiti prejšnjih formul, saj nimamo znanega dotikališča! Bo treba kako drugače!

Tangento premakni tako, da bo potekala skozi točko $B$ . Nato pa oceni, kje seka os $x$ . Tako boš lahko s kakšno kotno funkcijo izračunal polovico kota, ki ga iščemo. Mimogrede, ta kot smo v uvodnih vrsticah poimenovali zorni kot.

Seveda pa lahko do tega kota prideš tudi tako, da najprej izračunaš naklonski kot tangente (njegov tangens je enak smernemu količniku tangente).

Ostale stožnice

Vaja 2

Enačbo elipse najprej implicitno odvajam, pred tem si jo zapišem v malce lepši obliki:
$4x^2+9y^2=36 \Longrightarrow 8x+18y \cdot y´=0 \Longrightarrow y´=-\frac{4x}{9y}$
Označimo neznano dotikališče z $D(x_0,y_0)$ , potem je smerni koeficient tangente enak odvodu izračunanem v dotikališču, torej $k_t=-\frac{4x_0}{9y_0}$ . Ker poteka tangenta skozi točko $B(0,5)$ , je njena enačba enaka $y-5=k_t \cdot (x-0)$ . Sedaj pa upoštevajmo dvoje: točka $D$ leži na tangenti, prav tako pa tudi na elipsi. Zato lahko njeni koordinati vstavim v enačbo tangente in elipse, ter tako dobim sistem dveh enačb z dvema neznankama:
$y_0-5=-\frac{4x_0}{9y_0} \cdot (x_0-0)$
$4x_{0}^{2}+9y_0^2=36$
Od tod naprej boš nalogo rešil sam. Prvo enačbo najprej poenostavi, nato iz nje izrazi in ga nesi v drugo enačbo. Tako prideš do , potem pa veselo naprej. Zorni kot je

$\alpha =87.16296^{o}$

$\alpha =-77.16296^{o}$

$\alpha =77.16296^{o}$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.
Pomoč:
$y_0=\frac{4}{5} \Longrightarrow x_0=\pm \frac{3\sqrt{21}}{5}$
$k_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Dodatne naloge 1

Dana je krožnica z enačbo $x^2 + y^2 − 4x + 6y − 3 = 0$ . Določi njeno središče, polmer in manjkajočo koordinato točke $D(x_0 > 0, 0)$ , ki leži na njej. Nato izračunaj enačbo tangente na krožnico z dotikališčm $D$ .

Središče krožnice je $S($ , $)$ in polmer $r=$ .

Točka D ima koordinate

$D(2-\sqrt{7},0)$

$D(1+\sqrt{7},0)$

$D(2+\sqrt{7},0)$

Enačba tangente je

$\sqrt{7} \cdot 3y+(7+2\sqrt{7})=0$

$\sqrt{7} \cdot 3y-(7-2\sqrt{7})=0$

$\sqrt{7} \cdot 3y-(7+2\sqrt{7})=0$

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Središče krožnice je $S(2,-3)$ in polmer $r=4$ .

Točka D ima koordinate $D(2+\sqrt{7},0)$ .

Enačba tangente je $\sqrt{7} \cdot 3y-(7+2\sqrt{7})=0$ .

Dodatne naloge 2

Dana je središčna elipsa z enačbo $x^2 + 16y^2 = 16$ . Določi polosi in nariši elipso. Določi tisti dve točki na njej, ki imata absciso enako $2$ . Skozi točko, ki leži pod osjo $x$ položi tangento.

Polosi sta $a=$ in $b=$ .

Točki z abciso $2$ sta

$D_1(2,\frac{\sqrt{3}}{2})$ in $D_2(2,\frac{\sqrt{3}}{2})$

$D_1(2,\frac{\sqrt{2}}{3})$ in $D_2(2,-\frac{\sqrt{2}}{3})$

$D_1(2,\frac{\sqrt{3}}{2})$ in $D_2(2,-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Enačba tangente z dotikališčem v $D_2$ je

$x-4\sqrt{3}y+8=0$

$x-4\sqrt{2}y-8=0$

$x-4\sqrt{3}y-8=0$

Preveri

Slika

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Polosi sta $a=4$ in $b=1$ .

Točki z abciso $2$ sta $D_1(2,\frac{\sqrt{3}}{2})$ in $D_2(2,-\frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Enačba tangente z dotikališčem v $D_2$ je $x-4\sqrt{3}y-8=0$ .

elipsa

Dodatne naloge 3

Dana je parabola $y^2 = 4(x − 3)$ . Predstavljaj si, da stojiš v izhodišču koordinatnega sistema in jo opazuješ. Pod kakšnim kotom jo vidiš? Nariši tudi sliko.

Zorni kot je enak °.

Preveri

Slika

Pravilno

Rešitev

Zorni kot je enak $60°$ .

Napačno

Še enkrat poskusi.

Namig: Koristi, če najprej narišemo sliko (poglej sliko). Tangenti imata enačbo oblike $y = kx$ . Ker tokrat o dotikališčih nimamo nobenih podatkov, rešimo sistem dveh enačb (parabola, tangenta) in predpostavimo, da je diskriminanta enaka $D = 0$ . Dobimo $k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Upoštevamo, da je smerni količnik premice enak tangensu naklonskega kota in na ta način hitro izračunamo polovico iskanega kota.

parabola

Tangente stožnic

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Tangente stožnic

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Pravilno

Napačno

Rešitev

Vaja

Pravilno

Napačno

Rešitev

Vaja

Vaja 1

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Pravilno

Napačno

Vaja 2

Vaja 2

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Rešitev

Napačno