NAVODILO NALOGE:

REŠEVANJE: Da rešimo nalogo najhitreje si pomagamo s programom Matlab.

• V Matlab vnesemo matriko A=[9 7 6 8 5;3 0 0 2 0;5 3 0 4 0;1 0 0 0 0;7 5 4 6 0], nato pa izračunamo še determinanto s pomočjo ukaza det(A).

NAVODILO NALOGE: Izračunajte točno vrednost določenega integrala

REŠEVANJE: Za reševanje naloge si pomagamo s programom GeoGebra.

• V vnos vrstico vpišemo ukaz Integral[2sin(x)+3cos(x)-x, 0, 2/pi].

REZULTAT: Vrednost integrala je 2.77

NAVODILO NALOGE: Dan je polinom

. Določite realno število a tako, da bo število 2 ničla tega polinoma. Nato poiščite še preostali ničli polinoma p .

REŠEVANJE: Za reševanje naloge si pomagamo s programom GeoGebra.

• Najprej naredimo točko A=(2,0) in drsnik a.
• V vnosno vrstico vpišemo polinom p(x)=10x^3 − 19x^2 + ax + 4. Drsnik premikamo tako, da gre funkcija čez točko A.
• Da preverimo, da smo res našli pravo vrednost drsnika a, vpišemo še funkcijo f(x), ki je enaka polniomu p, le de ima namesto a-ja vrednost 22. Vemo da sta dva polinoma enaka, če imata enake koeficiente. Pogledamo obe naši funkciji in vidimo da so koeficienti enaki in obe naši funkciji se prekrivata.
• Da dobimo preostale ničle polinoma uporabimo ukaz ničla[], kateri podamo funkcijo f(x) in s točkami B, C, D se nam označijo ničle polinoma.Vrednost števila a je 22.

REZULTAT: Vrednost števila a je 22.

NAVODILO NALOGE: V koordinatnem sistemu sta dani točki A(0,−4) in B(2, 0). a) Določite koeficienta a in b tako, da bo graf polinoma

potekal skozi točki A in B . Nato izračunajte stacionarni točki tega polinoma. b) Zapišite kvadratno funkcijo, ki poteka skozi točko A in se v točki B dotika osi x . Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo graf kvadratne funkcije in obe koordinatni osi. c) Zapišite enačbo krožnice, ki poteka skozi točko A in se v točki B dotika osi x .

REŠEVANJE: Za reševanje si pomagamo z GeoGebro.

• Najprej naredimo točki A=(0,-4) in B=(2,0). Naredimo tudi dva drsnika a in b.
• V vnosno vrstico vpišemo polinom p(x) = −x^3 +ax^2 + b in drsnika nastavimo tako, da funkcija poteka skozi točki A in B.
• Da se prepričamo, da smo drsnika res prav nastavili v vnosno vrstico vnesemo nov polinom, ki je enak prvemu, le da ima namesto a vrednost drsnika a in namesto b, vrednost drsnika b.Ker imata funkciji enake koeficiente se prekrivata.
• Naredimo premico, ki je enka y=0.
• Zapišemo kvadratno funkcijo e, ki poteka skozi obe točki A in B.
• Določimo še ekstreme z ukazom Ekstrem.
• Za izračun polščine lika si pomagamo z ukazom Integral, ki mu za funkcijo podamo kvadratno funkcijo na intervalu od 0 do 2.
• Naredimo še krožnico skozi točko B, s središčem A.

REZULTAT: Koeficient a ima vrednost 3, b pa -4. Kvadratna funkcija ima enačbo e(x)=-(x-2)^2 ploščina lika pa je 2,67. Enačba krožnice je

REŠEVANJE: Za reševanje si pomagamo z GeoGebro.

• Najprej vnesemo točke A=(2,1), B=(-1,4) in C=(-2,-3). Skozi te tri točke naredimo trikotnik.
• Da se prepičamo, da je res pravokoten označimo kot med B,A,C.
• Nato naredimo simetrale vseh treh stranic. Takm kjer se vse tri simetrale sekajo, označimo točko D.
• Naredimo kožnico skozi točko B s središčem v točki D. Izračunamo polščino krožnice.
• Naredimo pravokotnico na stranico BC skozi točko A. S točko E označimo presečišče pravokotnice in stranice BC. Z M označimo točko na stranici AC.
• Naredimo trikotnik A, B, M. Z i označimo polščino trikotnik ABM.
• Točko M premikamo po stranici AC tako, da je polščina enaka 11.

REZULTAT: Ploščina trikotniku očrtanega kroga je 12. Koordinati točke A' sta(-1.5,0.5). Koordinati točke M sta(-1.67,-2.67).

NAVODILO NALOGE: Krožnica K z enačbo

seka os x v dveh točkah. Levo presečišče označimo z A, desno pa z B . a) Izračunajte koordinate točk A in B . b) Izračunajte ploščino manjšega krožnega odseka, ki ga od kroga odreže tetiva AB . Rezultat zaokrožite na dve mesti. c) Napišite enačbo tangente na krožnico K v desnem presečišču B z osjo x . d) Za katera realna števila m enačba

predstavlja krožnico?

REŠEVANJE: Za reševanje si pomagamo z GeoGebro.

• Najprej v vnosno vrstico vnesemo krožnico c: (x - 2)² + (y - 1)² = 5.
• Nato označimo točki A=(0,0), B=(4,0).
• Da lahko izračunamo polščino manjšega krožnega odseka moramo izbrati še eno točko na krožnici, točka C, in pa točko D, ki je središče krožnice.
• Izračunamo polščino obodnega izseka ACB in pa ploščino mnogokotnika ABD. Da dobimo željeno polščino odštejemo obe polščini.
• Naredimo še tangento na krožnico v presečišču B.

• Naredimo drsnik m, s pomočjo katerega bomo ugtovilo kdaj bo enačba

  predstavljala krožnico.

REZULTAT: Koordinate točke A so (0,0), točke B pa(4,0). Ploščina manjšega krožnega odseka je 4.54.Enačba tangente je

. Enačba predstavlja koržnico za vsa realna števila.

NAVODILO NALOGE: Izračunajte presečišči parabole in premice z enačbama

in

. Izračunajte še kot, pod katerim se premica in parabola sekata v prvem kvadrantu. Rezultat zaokrožite na stotinko stopinje natančno.

REŠEVANJE: Tudi tu si pomagamo z GeoGebro.

• V vnosno vrstico vnesemo y=x^2-x-2 in y=x+1.
• Nato označimo obe presečišči parabole in premice.
• Na premici si izberemo eno točko, ki je dovolj blizu presečišču v 1. kvadrantu, enako naredimo na paraboli.
• Nato še označimo kot med D,A in C.

REZULTAT: Koordinate obeh presešičš so (3,4) in (-1,0). Kot pod katerim se premica in parabola sekata meri 33,04 stopinje.

NAVODILO: Dani sta funkciji

in

. a) Narišite grafa funkcij na intervalu (0,π) . Izračunajte presečišče teh grafov na (0,π). b) Izračunajte kot, pod katerim se sekata grafa funkcij f in g na intervalu (0,π). c) Izračunajte ploščino lika, ki ga oklepata grafa funkcij f in g na intervalu (0,π). d) Za katera od 0 različna realna števila a se krivulji

in

sekata na intervalu (0,π)?

REŠEVANJE: Pomagamo si s programom GeoGebra.

• Najprej v vnosno vrstico vnesemo obe funkciji f(x) in g(x).
• S premicama x=0 in x=π si označimo na katerem intervalu bomo gledali obe funkciji.
• Označimo vsa tri presečišča obeh grafov. Da lahko izračunamo pod kakšni kotom se sekata obe funkciji naredimo blizu presečišča na vsaki funkciji po eno točko.
• Nato označimo kot med tema dvema točkama in tisto točko, ki je na presečišču, izpiše se nam kot. Tisti dve točki, ki sta nam bili samo v pomoč, da smo lažje določili kot skrijemo.

• Nato izračunamo integrala obeh funkcij. Paziti moramo da pri funkciji

  vzamemo interval (0,π/2), kajti drugače dobimo rezultat 0. pri funkciji

  pa lahko računamo integral na intervalu (0,π), in če funkciji prav odštejemo dobimo pološčino lika ki ga oklepata.

• Nato naredimo drsnik a, ki nam je v pomoč, da lahko določimo za katera realna števila različna od 0 se krivluji y=a*sinx in y=sinx sekata.

REZULTAT: PResečišče ima koordinate(1.05, 0.87). Kot pod katerim se grafa sekata meri 40.67 stopinj. Ploščina lika meri 1. Krivulji se sekata za vse vrednosti od 0.5 naprej.