Dobra novica tega poglavja je ta, da današnjo snov v veliki meri že poznamo in jo tudi (nezavedno) uporabljamo. Delo bomo torej nadaljevali radovedno sproščeni.

Znova si oglejmo enačbo . Kako smo že navajeni razcepiti tričlenik na levi strani enakosti? Poiščimo dve števili, katerih produkt bo enak svobodnemu členu , vsota pa linearnemu koeficientu (t. j. koeficientu linearnega člena). Brez napora se spomnimo na števili in , zato lahko našo enačbo razstavimo kot:

Od tod lahko takoj preberemo obe rešitvi: ali .

Postavimo si vprašanje, kakšna je zveza med rešitvama in in koeficientoma in .

Odgovor je tukaj

Ali bi znal sedaj to ugotovitev zapisati za splošno enačbo in rešitvi in ? Pri izpeljavi formul si pomagaj tako, da v zgornjem zgledu nadomestiš z , s , z in z .

Končna ugotovitev

Ali bi znali poiskati podobni zvezi za poljuben ? Poskusimo. Oglejmo si kvadratno enačbo . Pri matematiki naloge večkrat rešujemo tako, da novi primer naloge prevedemo na že znan primer. Tudi tokrat bomo naredili tako. Delimo enačbo s , da dobimo vodilni koeficient enak :

Ali znaš sedaj izraz na levi strani enačbe razcepiti po Vietovem pravilu?

Pomoč

Ali bi znal tudi to ugotovitev zapisati za splošno enačbo ax2 + bx + c = 0 in rešitvi x1 in x2? Ponovno nadomesti konkretna števila z ustreznimi simboli.

Končna ugotovitev

Izpeljava neke zakonitosti samo na podlagi enega konkretnega primera seveda še ni dokaz veljavnosti te zakonitosti. Zato bomo sedaj Vietovi formuli še izpeljali (in ju s tem dokazali).

Imejmo kvadratno enačbo , kjer je . Naj bosta in rešitvi te kvadratne enačbe. Potem lahko našo enačbo zapišemo na dva načina:

.

Delimo obe strani z neničelnim številom ; dobimo:

.

Odpravimo oklepaja na desni strani:

.

Dva takšna izraza sta enaka, če se ujemata v istoležnih koeficientih, zato iz enačenja koeficientov sledi:

Rešitve kvadratne enačbe lahko dobimo torej tudi brez uporabe formul, ki smo jih spoznali v poglavju o kvadratni enačbi (kjer nastopa diskriminanta). Ogledali si bomo nekaj takšnih elegantnih pristopov.

Naloga

Ena rešitev kvadratne enačbe je trikrat večja od druge. Določi .

Rešitev

To je tipičen primer naloge, ob kateri takoj pomislimo na Vietovi formuli, saj naloga povezuje koeficiente kvadratne enačbe z njenima rešitvama in . Izpišimo si formuli in zveze, ki so v nalogi vnaprej dane:

Ob upoštevanju pogoja dobimo:

,

.

Iz druge enačbe dobimo , od tod pa prav hitro še in . Torej se naša enačba glasi .

Naloga

V enačbi določi vrednost parametra tako, da bo produkt njenih rešitev enak .

Rešitev

Produkt rešitev nastopa v Vietovi formuli.

Od tod dobimo dve rešitvi in , zato se enačbi glasita in .

Naloga

Pokaži, da ima enačba (to je primer simetrične enačbe) za rešitvi obratni števili.

Rešitev

To lastnost bi lahko preverili bodisi z izračunom in primerjavo obeh rešitev bodisi z Vietovim pravilom. Mi si bomo ogledali drugi način, prvi pa lahko ostane za domačo nalogo. Ena od Vietovih formul nam pove:

.

Iz zadnje enakosti sledi, da je

.

Mimogrede: od tod tudi vidimo, da nobena od njenih rešitev ne more biti enaka .

Naloga

Dana je kvadratna enačba . S koeficienti te enačbe izrazi naslednja izraza:

(a) ,

(b) ,

kjer sta in rešitvi zgornje enačbe.

Rešitev

Kadar imamo nalogo, ki povezuje rešitvi kvadratne enačbe z njenimi koeficienti, pomislimo na Vietovi formuli. Ker pa sta Vietovi formuli natančno določene oblike (produkt in vsota rešitev), želimo vse izraze preoblikovati tako, da bomo v njiju našli in lahko uporabili produkt in vsoto . Za preoblikovanje posameznih izrazov potrebujemo nekaj izkušenj, včasih dober preblisk, oboje pa se da priučiti tudi z vajo. Izraz v primeru (a) nas spominja na kvadrat binoma, izraz v primeru (b) pa na kub binoma.

(a) ,

(b) .

Naloga

V enačbi določite tako, da bo vsota rešitev te enačbe enaka vsoti kvadratov teh dveh rešitev.

Rešitev

Najprej enačbo preoblikujmo: . Pogoj naloge je:

,

od koder dobimo dve rešitvi in . To se zgodi torej pri dveh enačbah: in .

Naslednji zgled je nekoliko zahtevnejši in je namenjen najradovednejšim. Vietovi formuli si bomo pogledali še na geometrijski način.

Poglejmo si kvadratno enačbo . Med njunima rešitvama in veljata zvezi:

,

.

Če ti zvezi preoblikujemo v

,

v njiju prepoznamo enačbi premice in hiperbole. Realni rešitvi in obstajata natanko tedaj, ko se premica in hiperbola sekata. Če torej variiramo koeficienta in , lahko obstoj realnih rešitev kvadratne enačbe opazujemo kot obstoj presečišč hiperbole in premice .

To lastnost lahko opazuješ na spodnji sliki s premikanjem drsnikov za različne vrednosti in , skladnost vseh podatkov pa lahko za vsako konkretno izbiro vrednosti koeficientov in po želji preveriš tudi sam (papir in svinčnik).

S premikom drsnikov v zgornji konstrukciji poskusi odgovoriti na naslednja vprašanja.

• V kakšni zvezi so rešitve kvadratne enačbe in presečišča hiperbole s premico ?
  
  Odgovor je skrit tukaj

• Za katere vrednosti parametrov in bo imela kvadratna enačba vedno dve realni rešitvi? Utemelji.
  
  Rešitev

• Kaj se zgodi, ko je ?
  
  Preveri svoj odgovor

Za katero realno število bo število dvakratna rešitev enačbe ?

Namig

Za kateri realni števili velja, da je njun produkt enak , vsota pa ?

Namig

V kvadratni enačbi je ena rešitev . Določi še drugo rešitev in dopolni enačbo.

Namig

1. Poišči dve taki realni števili, katerih produkt je , vsota pa .
   
   Rešitev
   
   
2. Poišči dve taki realni števili, katerih produkt in vsota sta .
   
   Rešitev
   
   
3. Izračunaj stranici pravokotnika, katerega ploščina je , obseg pa .
   
   Rešitev
   
   
4. Naj bosta in rešitvi enačbe . Izraz izrazi s koeficienti , in .
   
   Rešitev
   
   

1. Dana je kvadratna enačba , . Katerim pogojem morajo zadoščati koeficienti in , da bosta rešitvi te enačbe:

   1. obratni števili,
      
      Rešitev
      
      
   2. nasprotni števili?
      
      Rešitev
      
      
2. Na svetovnem spletu ali v ustrezni knjigi poišči informacijo o tem, ali obstaja tudi za enačbe višjih stopenj, npr. , kakšna zveza med koeficienti enačbe in njenimi rešitvami. O svojih ugotovitvah poročaj naslednjo uro v razredu.
   
   Rešitev