Dana je funkcija .

1. a.) Zapišite definicijsko območje, ničle, pol, poševno asimptoto in stacionarno točko. (Obe koordinati stacionarne točke zapišite na eno decimalko natančno). V dani koordinatni sistem narišite graf funkcije .
2. b.)Izračunaj ploščino lika, ki ga oklepajo graf funkcije ter premice , in .
3. c.)Točka leži na grafu funkcije . Vzporednica abcisni osi skozi točko , seka ordinatno os skozi točko , vzporednica ordinatni osi skozi točko pa seka abcisno os skozi točko . Izračunajte natančno vrednost abcise točke , za katero je ploščina trikotnika ekstremna. Narišite sliko.

Matematično ozadje

Ta naloga je zelo obsežna. Pri tej nalogi računamo pole, asimptoti, računamo odvod, računamo integral, računamo stacionarne točke, računamo ploščino lika…. Postopoma bom razložila kako in zakaj kaj računamo.

Naloge se lotimo sistematično.

• a.) Definicijsko območje D(f)=R\{0}. Funkcija je definirana na vsej realni osi razen, ko je (ker v imenovalcu ne sme biti ).

NIČLA FUNKCIJE:

smo razčlenili iz vsote kubov:

Drugi izraz v števcu:

Pri negativni diskriminanti dobimo pod kvadratnim korenom negativno število. Rešitvi sta kompleksni. Vedno nastopata v konjugiranem paru.

POL:

ODVOD

STACIONARNE TOČKE

KOORDINATE STACIONARNE TOČKE

b.) PLOŠČINA LIKA:

(funkcijo odštejemo od funkcije in integriramo v določenih mejah od 2 do 5)

NEDOLOČENI INTEGRAL

DOLOČENI INTEGRAL

c.) Trikotnik je pravokotni trikotnik. Ploščina pravokotnega trikotnika je (torej produkt dveh katet deljeno s polovico.) Ena kateta: je kar x v točki (to je koordinata v točki ) Druga kateta: je pa kar funkcija v točki , ko je (to je koordinata v točki )

PLOŠČINA TRIKOTNIKA OMN je enaka ploščini trikotnika MPN:

1. V vnosno vrstico najprej vtipkamo našo funkcijo , ki sem jo obarvala rdeče.

Vnos

2. Ugotovili smo da ničla je , pola sta in (tako tudi vpišemo v vnosno vrstico) ter stacionarna točka je . Sprva narišemo premico za ničlo, nato z ukazom Presečišče dveh objektov (funkcija in naše premice) določimo točko, ki sem jo kar poimenovala Ničla. V vnosno vrstico vpišemo še pola. Potrebno je še določiti stacionarno točko, ki smo jo izračunali ročno. Tudi to točko vpišemo v vnosno vrstico z danimi koordinatami (StacionarnaTočka=(2.5,3.8)). Trenutno naša naloga zgleda takole:

Stac. točka, ničla in pol

3. Naslednji del naloge je izračunati ploščino lika z določenim integralom. Izračunati moramo ploščino lika, ki ga oklepajo premice , , spodnja meja 2 in zgornja meja 5. V vnosno vrstico vpišemo ukaz Integral[f(x),pol(x),2,5]. Dobimo lik in njegovo ploščino, ki se ujema z našim ročnim računanjem.

Ploščina lika

4. Določti je potrebno še točko , kjer smo z ročnim računanjem prišli do njenih koordinat. V vnosno vrstico vpišemo P=(1.6,4.73) (hitrejša varijanta) ali pa narišemo dve premici (x=1.6 in y=4.73) in z ukazom Presečišče dveh objektov določimo tokčko (malo počasnejša varijanta) vendar malenkost efektivnejša v našem primeru, saj potrebujemo še dve točki, ki sta odvisni od zadnjih dveh narisanih premic. Potrebujemo točko katere so njene koordinate , dobimo jo tako da z ukazom Presečišče dveh objektov označimo abcisno os in premico x=1.6. enako naredimo za točko , le da uporabimo ordinatno os in premico y=4.73. Vse tri točke povežemo z ukazom Mnogokotnik, ki sem ga obarvala v rumeno. Tako dobimo ploščino tudi našega pravokotnika, le odčitati ga moramo. Opazimo da se ujema z našo ploščino, ki smo jo ročno izračunali.

Trikotnik MNP