Opis orodja Yacas

Opis orodja Yacas

Avtor: Manja Benak

UVOD

Yacas (Yet Another Computer Algebra System) je majhno, vendar po drugi strani obsežno orodje, za reševanje splošnih matematičnih problemov. Primeren je tudi za študente, saj uporaba tega programa ni preveč zahtevna. V pomoč nam je pri numeričnem in simboličnem računanju. Yacas lahko uporabljate direktno iz spleta, lahko pa si ga tudi brezplačno prenesete in namestite na računalnik. Dostopen je na spodnji povezavi:

Yacas

S tem orodjem lahko rešujemo preproste in tudi bolj zahtevne matematične probleme. Prav nam pride pri delu s števili, polinomi, vektorji, matrikami in tudi seznami. Z njim lahko rešujemo tudi različne enačbe oz. sisteme enačb. Preverjamo lahko tudi resničnost določenih izrazov, primerjamo izraze med seboj, ugotavljamo kakšnega tipa je vnesen izraz.. Orodje ima vgrajene matematične funkcije s katerimi lahko rešujemo številne probleme. Ker je le teh funkcij zelo veliko, se bomo nekoliko omejili in pogledali nekatere osnovne funkcije in operacije na številih, vektorjih in matrikah.

OSNOVE

V Yacas-u definiramo novo spremenljivko tako, da najprej napišemo ime oz. oznako nove spremenljivke, nato pa sledi in vrednost ali izraz, ki ga želimo shraniti v našo spremenljivko. Če naprimer želimo, da ima spremenljivka vrednost 6, to v Yacas-u napišemo tako:

(Yacas1.jpg)


Poglejmo si še kako vnašamo vektorje in matrike. Če želimo definirati vektor vnesemo naslednje:
Če pa želimo definirati matriko , to storimo tako da v zavite oklepaje vnesemo vektorje, ki predstavljajo posamezno vrstico matrike. Vrstice matrike ločimo z vejicami. Primer:

(Yacas2.jpg)


Zelo pomembna je tudi funkcija . Kot parametra prejme izraz, ki ga želimo izračunati in število decimalnih mest na katera nam Yacas rezultat zaokroži. Število decimalnih mest ni obvezen parameter.

Če rezultat izraza ni racionalno število, ga Yacas pusti kar v taki nespremenjeni, torej simbolični obliki. Ravno zato je koristna funkcija , ki nam omogoči približen izračun iskane vrednosti. V Yacas-u uporabljamo ukaz , tako:

  • ali

Primeri uporabe ukaza v Yacas-u:

(Yacas0.jpg)

OSNOVNE OPERACIJE

Osnovne operacije lahko uporabljamo na celih številih, realnih številih, kompleksnih številih, vektorjih, matrikah in tudi na seznamih.

Ukazi v Yacas-u:

  • seštevanje (+)
  • odštevanje (-)
  • množenje (*)
  • deljenje (/)

Podrobneje si poglejte na spodnjih slikah iz Yacas-a:

  • seštevanje

    (Yacas3.jpg)
  • odštevanje

    (Yacas4.jpg)
  • množenje

    (Yacas5.jpg)
  • deljenje

    (Yacas6.jpg)

CELOŠTEVILSKO DELJENJE IN OSTANEK PRI DELJENJU

Vgrajena sta tudi ukaza za celoštevilsko deljenje in računanje ostanka pri deljenju. Ukaza delujeta za cela števila in polinome.

Ukazi v Yacas-u:

  • celoštevilsko deljenje (Div(x, y))
  • ostanek pri deljenju (Mod(x, y))

Torej, če Div(x,y) vrne ”a” in Mod(x,y) vrne ”b”, potem ta števila zadoščajo pogojema in .

Podrobneje si poglejte na spodnji sliki iz Yacas-a:

(Yacas7.jpg)

NAJVEČJI SKUPNI DELITELJ IN NAJMANJŠI SKUPNI VEČKRATNIK

Pogledali si bomo kako poiščemo največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik dveh oz. več celih števil.

Ukazi v Yacas-u:

  • največji skupni delitelj dveh števil (Gcd(x, y))
  • največji skupni delitelj več števil (Gcd(list))
  • najmanjši skupni večkratnik dveh števil (Lcm(x, y))
  • najmanjši skupni večkratnik več števil (Lcm(x, y))

Podrobneje si poglejte na spodnjih slikah iz Yacas-a:

  • največji skupni delitelj

    (Yacas8.jpg)
  • najmanjši skupni večkratnik

    (Yacas9.jpg)

ZAOKROŽANJE

Včasih želimo vedeti tudi kakšen približek rezultata oz. rezultat zaokrožen na celo število. Pogledali si bomo tri različne vrste zaokrožanja na celo število.

Ukazi v Yacas-u:

  • zaokrožanje navzdol na najbližje celo število (Floor(x))
  • zaokrožanje navzgor na najbližje celo število (Ceil(x))
  • zaokrožanje na najbližje celo število (Round(x))

Podrobneje si poglejte na spodnjih slikah iz Yacas-a:

  • zaokrožanje navzdol na najbližje celo število

    (Yacas10.jpg)
  • zaokrožanje navzgor na najbližje celo število

    (Yacas11.jpg)
  • zaokrožanje na najbližje celo število

    (Yacas12.jpg)

MAKSIMUM IN MINIMUM

V Yacas-u imamo vgrajena tudi ukaza za izračun največjega in najmanjšega števila iz med števil podanih kot parametrov ukazov.

Ukazi v Yacas-u:

  • Minimum (Min(list))
  • Maksimum (Max(list))

Podrobneje si poglejte na spodnjih slikah iz Yacas-a:

  • minimum

    (Yacas13.jpg)
  • maksimum

    (Yacas14.jpg)

TRIGONOMETRIČNE FUNKCIJE

V Yacas-u so vgrajene funkcije za izračun vrednosti trigonometričnih funkcij sinus, kosinus in tangens. Seveda pa tudi za izračun njihovih inverzov.

Ukazi v Yacas-u:

  • sinus (Sin(x))
  • kosinus (Cos(x))
  • tangens (Tan(x))
  • arkus sinus (ArcSin(x))
  • arkus kosinus (ArcCos(x))
  • arkus tangens (ArcTan(x))

Podrobneje si poglejte na spodnjih slikah iz Yacas-a:

  • sinus in arkus sinus

    (Yacas15.jpg)
  • kosinus in arkus kosinus

    (Yacas16.jpg)
  • tangens in arkus tangens

    (Yacas17.jpg)

NARAVNI LOGARITEM IN EKSPONENTNA FUNKCIJA

Vgrajena sta tudi ukaza za izračun vrednosti in .

Ukaza v Yacas-u:

  • naravni logaritem (Ln(x))
  • eksponentna funkcija z osnovo (Exp(x))

Podrobneje si poglejte na spodnjih slikah iz Yacas-a:

  • naravni logaritem

    (Yacas18.jpg)
  • eksponentna funkcija z osnovo

    (Yacas19.jpg)

ABSOLUTNA VREDNOST IN KVADRATNI KOREN

Če želimo s pomočjo Yacas-a izračunati kvadratni koren oz. absolutno vrednost števila, nimamo težav saj ima le ta že vgrajeni funkciji za ta izračun. Kvadratni koren in absolutno vrednost lahko izračunamo tako pozitivnim in negativnim številom ter kompleksnim številom.

Ukaza v Yacas-u:

  • absolutna vrednost (Abs(x))
  • kvadratni koren (Sqrt(x))

Podrobneje si poglejte na spodnjih slikah iz Yacas-a:

  • absolutna vrednost

    (Yacas20.jpg)
  • kvadratni koren

    (Yacas21.jpg)

ODVODI IN INTEGRALI

Zelo koristni funkciji v Yacas-u sta tudi funkciji za izračun odvodov in integralov. Izračunamo lahko tako nedoločeni kot določeni integral funkcije.

Ukazi v Yacas-u:

  • odvod (D(variable, n) expression)
  • nedoločeni integral (Integrate(variable) expression)
  • določeni integral (Integrate(variable, x1, x2) expression)

Podrobneje si poglejte na spodnjih slikah iz Yacas-a:

  • odvod

    (Yacas22.jpg)
  • nedoločeni integral

    (Yacas23.jpg)
  • določeni integral

    (Yacas24.jpg)

KOMPLEKSNA ŠTEVILA

Yacas je primeren tudi za računanje s kompleksnimi števili. Že prej smo videli, da orodje zna izračunati absolutno vrednost kompleksnega števila in da vrne kot rezultat kvadratnega korena negativnega števila kar kompleksno število. Yacas-s zna razbrati imaginarni in realni del kompleksnega števila, ter izračunati njegovo konjugirano vrednost. Kompleksno število lahko vnesemo na naslednja dva načina:

  • Complex (2, 3)
  • 2 + 3*I

Ukazi v Yacas-u:

  • realen del kompleksnega števila (Re(x))
  • imaginaren del kompleksnega števila (Im(x))
  • konjugirana vrednost kompleksnega števila (Conjugate(x))

Podrobneje si poglejte na spodnjih slikah iz Yacas-a:

  • realen del kompleksnega števila

    (Yacas25.jpg)
  • imaginaren del kompleksnega števila

    (Yacas26.jpg)
  • konjugirana vrednost kompleksnega števila

    (Yacas27.jpg)

VEKTORJI

Kako se vnašajo vektorji smo si že pogledali, zato si sedaj poglejmo še kako izračunamo skalarni in vektorski produkt, normiran vektor, ter kako ustvarimo ničelni in bazni vektor določene dimenzije.

Ukazi v Yacas-u:

  • skalarni produkt vektorjev in (InProduct (a, b))
  • vektorski produkt vektorjev in (CrossProduct(a, b))
  • -dimenzionalen ničelni vektor (ZeroVector(n))
  • -ti bazni vektor v standardni ortonormirani -dimenzionalni bazi (BaseVector(k, n))
  • normiran vektor (Normalize(a))

Podrobneje si poglejte na spodnjih slikah iz Yacas-a:

  • skalarni produkt

    (Yacas28.jpg)
  • vektorski produkt

    (Yacas29.jpg)
  • -dimenzionalen ničelni vektor

    (Yacas30.jpg)
  • -ti bazni vektor v standardni ortonormirani -dimenzionalni bazi

    (Yacas31.jpg)
  • normiran vektor

    (Yacas32.jpg)

MATRIKE

Za konec si poglejmo še kako ustvarimo nekatere tipične matrike ter kako izračunamo inverzno in transponirano matriko.

Ukazi v Yasas-u:

  • -dimenzionalna identična matrika (Identity(n))
  • -dimenzionalna ničelna matrika (ZeroMatrix(n, m))
  • diagonalna matrika z elementi vektorja na diagonali (DiagonalMatrix(d))
  • inverzna matrika matrike (Inverse(M))
  • transponirana matrika matrike (Transpose(M))
  • determinanta matrike (Determinant(M))

Podrobneje si poglejte na spodnjih slikah iz Yacas-a:

  • identična matrika

    (Yacas33.jpg)
  • ničelna matrika

    (Yacas34.jpg)
  • diagonalna matrika

    (Yacas35.jpg)
  • inverzna matrika

    (Yacas36.jpg)
  • transponirana matrika

    (Yacas37.jpg)
  • determinanta matrike

    (Yacas38.jpg)
0%
0%