Vzemimo graf linearne funkcije (premico) in poglejmo, kako bi najenostavneje definirali kot med premico in koordinatnima osema. Že ime količnika nam pove, da je to smerni količnik ali naklonski kot premice. Na ta način bi lahko definirali kot pod katerim funkcija seka $x$-os, seveda bi bilo potrebno vedno vzeti ostri kot.

Na spodnji sliki sta označena dva ostra kota. Eden je kot pod katerim premica seka $x$-os, drugi pa $y$-os. Opazuj, kaj se dogaja z njuno vsoto, ko premikaš eno izmed točk.

Riš datoteka

Vprašanje

Opazoval si zgornjo sliko. Kot $\varphi_2$ med $y$-osjo in premico je enak

Preveri

Za definicijo kota med krivuljo in $x$-osjo je potrebno poiskati točko, kjer funkcija seka $x$-os. Kot najbrž veš, taki točki rečemo ničla funkcije. Torej bomo pri takih nalog vselej najprej poiskali ničle.
Na spodnji sliki opazuj, kako se spreminja kot, ki ima vrh v ničli, en krak na pozitivni strani osi $x$, drugi pa poteka skozi topko na grafu. To točko lahko premikaš s pomočjo točke $A$.

Riš datoteka

Kot vidiš se kot spreminja v odvisnosti od kraka, ki gre skozi točko grafa. Vendar, če je točka dovolj blizu ničle, potem krak postane del tangente in se kot približa iskani vrednosti. Torej bomo za rešitev potrebovali tangento skozi ničlo funkcije.

Dopolni
Prvi odvod funkcije v dotikališču je enak smernemu koeficientu v tej točki. Smerni koeficient tangente je enak naklonskega kota tangente.

Preveri

Ponovitev

Opiši kaj vse potrebuješ za določitev kota med funkcijo in $x$-osjo.

Preveri

Določimo kot med grafom funkcije $f(x)=x^3-x^2+x-1$ in osjo $x$.

1. Najprej si izračunal presečišče. Lahko si poskusil razstaviti, sicer pa si uporabil Hornerjev algoritem. Ena ničla je enaka $x=1$, ostali dve sta kompleksni.

2. Izračunal si odvod funkcije in dobil $f´(x)=3x^2-2x+1$.

3. Izračunal si smerni koeficient tangente, ki je $k=f´(1)=2$.

4. Kot pod katerim seka $x$-os si izračunal iz formule $\tan{\varphi}=k$ in znaša $\varphi=63,43^{o}$.

Oglejmo si še pod kakšnim kotom graf seka $y$ os. Seveda je potrebno zdaj najprej vzeti presečišče med krivuljo in $y$ osjo. Pri funkcijah je taka točka ena sama, medtem ko je lahko pri splošno podanih krivuljah teh točk več (npr. krožnica).

Na spodnji sliki si oglej zvezo med naklonskim kotom tangente in iskanim kotom.

Riš datoteka

Kot med grafom in osjo $y$ je komplementaren naklonskemu kotu tangente. To pomeni, da je njuna vsota enaka $90^{o}$. Tako s pomočjo naklonskega kota tangente izračunaš kot med krivuljo in $y$ osjo.
$\varphi_2=90°-\varphi_1$

Naloga
Vzemimo kar funkcijo iz prejšnje naloge in določimo kot pod katerim seka $y$ os.

Najprej moramo poiskati točko, kjer funkcija seka $y$-os. Ta znaša kar $T($,$)$. Zdaj pa uporabimo rezultate prejšnje naloge. Vstavimo v odvod in dobimo smerni kooeficient tangente. Ta znaša $k=f´(0)=$. Torej je kot enak °. Zdaj pa uporabimo še zgornjo formulo za izračun kota in dobimo °.

Preveri

Ponovitev

Funkcija ima dve presečišči z $x$ osjo, oba kota sta enaka in znašata °. Imamo eno samo presečišče z $y$ osjo, kot pod katerim jo seka pa je °.

Preveri

Doslej smo se ukvarjali z iskanjem kota med osema in grafom funkcije. Koordinatni osi sta tudi krivulji, zato me zanima ali bi lahko spodaj dopolnil manjkajoče besede in si s tem že nakazal na kaj je potrebno biti pri tem delu naloge previden.

Za kot med dvema krivuljama je potrebno kar nekaj stvari. Prvič, krivulji se morata , saj lahko samo v presečišču določimo kot med krivuljama. Nato je potrebno določiti obeh funkcij in določiti tangent. Na koncu je potrebno uporabiti obrazec za kot med tangentama.

Preveri

Naloga

Poišči kot med parabolo $y=x^2-x+1$ in premico $y=2x-1$.

Dobiš dve presečišči $x_1=$ in $x_2=$. Določimo tudi smerna koeficienta: za premico ni težav, saj ga že poznamo. To je $k_2=2$, medtem ko je za parabolo potrebno izračunati odvod in nato vstaviti presečišča. Dobil si $k_{11}=$ in $k_{12}=$. Po formuli izračunana kota sta potem enaka $\varphi_1=\varphi_2=$°.

Preveri

Pod kakšnim kotom premica $y = 2x − 1$ seka $x$ in $y$ os.

Preveri

Pod kakšnim kotom seka graf polinoma $f(x) = −x^3 − 2x^2 + 5x + 6$ os $x$.
Označi pravilen odgovor, možnih je več odgovorov.

Naklonski koti so/je

Preveri

Dana je krožnica z enačbo $(x − p)^2 + (y − q)^2 = r^2$. Določi pod kakšnim kotom seka $y$ os, če je $r > p$.

Kot pod katerim krožnica seka $y$ os je

Določi kot med krivuljama $f_1(x) = x^2 − 6x + 5$ in $f_2(x) = −x^2 + 4x − 3$.

Preveri