Statistika je veda, ki preučuje množične pojave. To so lastnosti, ki se pojavijo pri tako velikem številu ljudi ali predmetov, da bi štetje trajalo predolgo. Množico, ki jo preučujemo, imenujemo populacija. Posamezen element populacije se imenuje enota. Ker ne moremo pregledati lastnosti v celi populaciji, izberemo le del elementov iz cele množice in lastnost pogledamo le pri njih. Tem izbranim elementom rečemo vzorec. Lastnost, ki jo gledamo, imenujemo statistična spremenljivka.

Zgled 1:

Zanima nas, koliko časa na dan dijaki uporabljajo računalnik. Ker ne moremo vprašati vseh dijakov, izberemo iz vsake šole 3.

Zgled 2:

Tovarna je izdelala 50000 računalnikov. Radi bi ugotovili, koliko računalnikov ima napako. Pregledali bodo 100 naključno izbranih računalnikov.

Podatke za statistično obdelavo zbiramo na dva načina, preko vprašalnikov oziroma anket ali z opazovanjem in beleženjem opažanj.

Vprašalniki so lahko sestavljeni samo iz enega vprašanja ali pa vsebujejo več med seboj povezanih ali nepovezanih vprašanj. Kako sestavimo vprašalnik, je odvisno od tega, koliko in katere spremenljivke želimo raziskati.

Zgledi anket:

Kratka anketa

Daljša anketa

Ko zbiramo podatke, ponavadi dobimo dolg niz vrednosti, ki jih zavzame proučevana statistična spremenljivka na posameznih enotah. Tak niz podatkov je nepregleden, zato ga uredimo.

Zgled 1:

Razred 30 dijakov je pisal test iz matematike. Dobili so naslednje ocene: 5, 3, 1, 2, 1, 3, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 1, 1, 2, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 4, 5, 4, 1, 4, 3, 4, 3, 3.

Kadar je število različnih vrednosti majhno, samo preštejemo, kolikokrat je spremenljivka zavzela vsako od možnih vrednosti. Temu številu rečemo absolutna frekvenca in ga označimo z .

Absolutna frekvenca je število, ki nam pove, koliko enot zavzame isto vrednost spremenljivke.

Na ta način smo dobili pregledno urejene podatke.

Kadar je število različnih vrednosti veliko, vrednosti razvrstimo v razrede. Število vrednosti v posameznem razredu se imenuje absolutna frekvenca .

Zgled 2:

Test je imel 100 možnih točk. Dijaki so dobili naslednje število točk: 99, 54, 11, 32, 19, 58, 65, 40, 41, 28, 99, 70, 15, 2, 30, 79, 54, 52, 41, 39, 35, 77, 82, 70, 15, 65, 59, 76, 50, 47.

Ko podatke grupiramo v razrede, je pomembno, da razrede določimo tako, da nobena vrednost ne ostane brez razreda in da nobena vrednost ni v dveh različnih razredih.

Zgled neprimernega oblikovanja razredov:

Zbrane podatke zaradi nazornosti prikažemo grafično. V ta namen imamo na voljo nekaj različnih vrst grafikonov.

Frekvenčni poligon narišemo v koordinatnem sistemu. Na abscisno os nanesemo vrednosti, na ordinatno os pa absolutne frekvence. V tako dobljen koordinatni sistem narišemo točke in jih povežemo z lomljeno črto.

Frekvenčni poligon je primernejši za predstavitev, kadar statistična spremenljivka zavzame malo vrednosti in teh ne združujemo v razrede.

Zgled:

Avtomobilski salon dela 5-letni pregled poslovanja. Rezultati so naslednji:

Leto Število prodanih avtomobilov 2005 344 2006 487 2007 513 2008 500 2009 426

Histogram narišemo tako, da na abscisno os nanesemo meje razredov, na ordinatno os pa absolutne frekvence. Razred na abscisni osi predstavlja daljica, ki je določena s spodnjo in zgornjo mejo razreda. Nad njo narišemo pravokotnik, ki ima za višino vrednost absolutne frekvence tega razreda.

Zgled:

V splošni knjižnici so želeli narediti raziskavo, koliko stari člani najpogosteje obiskujejo knjižnico. V ta namen so v enem dnevu anketirali vse obiskovalce in dobili naslednje rezultate:

Starostna skupina Število obiskovalcev 10-19 70 20-29 105 30-39 47 40-49 22 50-59 84 60-69 56

Seveda pa lahko tudi s histogramom narišemo samo vrednosti in s frekvenčnim poligonom razrede.

Velikokrat nam samo absolutna frekvenca ne pove dovolj, saj nam pove samo število enot z isto lastnostjo, želeli pa bi poznati delež enot s to lastnostjo.

Delež ali relativno frekvenco izračunamo tako, da absolutno frekvenco delimo s številom enot v vzorcu. Relativno frekvenco ponavadi označujemo z

Relativno frekvenco velikokrat izražamo v procentih. Za to moramo dobljeno število množiti s 100 %.

Relativna frekvenca je število, ki nam pove, kolikšen del vzorca zavzame isto vrednost spremenljivke. Če je bil vzorec izbran slučajno, potem lahko to lastnost prenesemo na celo populacijo.

Relativne frekvence grafično prikažemo s frekvenčnim krogom. Narišemo ga tako, da narišemo krožne izseke. Delež izseka v krogu predstavlja relativno frekvenco posamezne vrednosti.

Zgled:

Neka spletna stran je objavila anketno vprašanje: Kateri letni čas imate najraje? Ponudili so 4 možne odgovore (pomlad, poletje, jesen, zima) in dobili naslednje rezultate:

Letni čas Delež glasov pomlad 20 % poletje 55 % jesen 7 % zima 18 %

Statistični parametri so lastnosti celotne populacije. Do njih pridemo s preučevanjem izbranega vzorca. Če je vzorec izbran slučajno, potem lahko lastnosti, ki jih iz zbranih podatkov izračunamo za vzorec, kar posplošimo na celo populacijo.

Zgled:

Društvo za boj proti alkoholizmu je izvajalo raziskavo o porabi alkohola. Zbrali so odgovore tistih, ki so prostovoljno rešili anketo. Vzorec za raziskavo ni slučajen, ker v poštev niso prišli vsi, ampak samo prostovoljci.

Nekateri izmed parametrov so: relativna frekvenca, aritmetična sredina, mediana, modus in standardni odklon. V nadaljevanju si poglejmo, kaj pomenijo in kako jih izračunamo.

Ko preučujemo neko spremenljivko, dobimo množico vrednosti. Aritmetična sredina ali povprečje je število, ki predstavlja srednjo vrednost za te vrednosti spremenljivke. Izračunamo jo tako, da seštejemo vse vrednosti in dobljeno vsoto delimo s številom vseh vrednosti.

Kadar se ena vrednost ponovi večkrat, jo moramo v vsoti šteti tolikokrat, kolikokrat se ponovi oziroma uporabimo naslednji obrazec:

je vrednost spremenljivke, je absolutna frekvenca spremenljivke, pa število vseh vrednosti.

Zgled 1:

Janez je dobil pri telovadbi tri ocene: 3, 4, in 5. Kolikšna je povprečna ocena?

Zgled 2:

Janez je dobil pri matematiki 2 trojki, 3 štirice in 4 petke. Kolikšna je povprečna ocena?

Mediana ali središčnica je število, ki je točno na sredini vseh vrednosti, tako da je polovica vseh dobljenih vrednosti manjša, polovica pa večja od tega števila. Dobimo jo tako, da vrednosti najprej razporedimo po velikosti. Kadar je število vrednosti liho, potem je mediana kar srednje število, če je število vrednosti sodo, pa je mediana na sredi med srednjima vrednostima.

Zgled 1:

Poiščimo mediano naslednjih števil: 17, 10, 2, 7, 7, 1, 2, 6, 3.

• Števila najprej uredimo po velikosti: 1, 2, 2, 3, 6, 7, 7, 10, 17.
• Imamo 9, torej liho število števil, srednje število je peto po vrsti, torej mediana je 6.
  

Zgled 2:

Poiščimo mediano naslednjih števil: 9, 3, 3, 4, 9, 5, 2, 2, 8, 10.

• Števila uredimo po velikosti: 2, 2, 3, 3, 4, 5, 8, 9, 9, 10.
• Imamo 10, torej sodo število števil, mediana je na sredini med srednjima dvema vrednostima, to sta 4 in 5, torej je mediana 4,5.

Modus je vrednost, ki se pojavi največkrat.

Zgled:

Poišči modus med naslednjimi števili: 4, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 5, 4, 2, 3, 3, 2.

Število 2 se je pojavilo šestkrat, število 3 petkrat, število 4 dvakrat in število 5 enkrat. Modus je število 2.

Poleg aritmetične sredine je pomemben podatek tudi, kako gosto so podatki razporejeni okoli nje. Številu, ki nam to pove, rečemo standardni odklon. Označimo ga s in izračunamo ga po formuli

kjer so vrednosti spremenljivke, število vrednosti in aritmetična sredina.

Če je aritmetična sredina velika, standardni odklon pa majhen, to pomeni, da je večina vrednosti blizu aritmetične sredine. Pri primerjavi aritmetične sredine in standardnega odklona si lahko pomagamo s formulo za koeficient variacije

K izrazimo v procentih. Če je K majhen, potem so vrednosti blizu aritmetične sredine, če je K velik, potem so vrednosti zelo razpršene.

Zgled:

Učenci so tekmovali v skoku v daljavo. Dosežene so bile naslednje daljave v centimetrih: 131, 155, 177, 207, 180, 191, 174, 205, 119, 137, 109, 172, 185, 201, 111, 183. Izračunajte aritmetično sredino in standardni odklon. Kaj nam povesta izračunana podatka?

• Aritmetična sredina je
• Standardni odklon je
• , to pomeni, da so podatki precej razpršeni in da je malo podatkov blizu aritmetične sredine.