Ko rečemo prostor, tokrat mislimo na običajen, tridimenzionalen prostor, v katerem živimo, se pravi tistega, ki ga opišemo s tremi razsežnostmi: dolžino, širino in višino. Zato bomo za vzpostavitev pravokotnega koordinatnega sistema tokrat potrebovali tri med seboj pravokotne koordinatne osi.

Dopolni naslednje besedilo.
Za koordinatni sistem v ravnini potrebujemo dve med seboj pravokotni enotni pravilni številski osi. Vodoravno os imenujemo os $x$ ali ordinatna abscisna implicitna os, navpično pa os $y$ ali ordinatna abscisna implicitna os. Tema dvema sedaj dodamo tretjo, ki bo pravokotna na obe. Imenujemo jo os $z$ ali aplikatna os. Ob projiciranju poljubne točke $T$ na vsako od osi naletimo na števila, ki pomenijo koordinate točke $T$: na osi $y$ $x$ $z$ odčitamo absciso, na osi $y$ ordinato absciso enoto , na osi $z$ pa aplikato točke $T$. Tako lahko vsako točko $T$ v prostoru predstavimo z urejeno trojico števil, kar zapišemo kot $T(x_T, y_T, z_T)$. Velja tudi obratno: poljubna urejena trojica realnih števil predstavlja natanko eno premico bazo točko prostora. Način določanja koordinat s projiciranjem na vse tri osi prikazuje zgornja animacija.

Tako kot že v ravnini, velja tudi v prostoru naslednje: do vsake točke prostora vodi natanko en krajevni vektor, zato je točka s svojim krajevnim vektorjem natanko določena.

Tudi v prostoru želimo krajevni vektor točke $T$ izraziti v ortonormirani bazi prostora.

Dana je točka $T(x_T, y_T, z_T)$. Kako opišemo pot od začetne do končne točke vektorja $\vec r_T$, če se premikamo samo v smeri baznih vektorjev $\vec i$, $\vec j$ in $\vec k$? Koliko posameznih vektorjev $\vec i$, $\vec j$ in $\vec k$ potrebujemo za ustrezne premike vzdolž koordinatnih osi?

Potrebne premike vzdolž baznih vektorjev ponazarja spodnja slika.

Tudi v prostoru se zapis krajevnega vektorja točke $T$ v obliki urejene trojice komponent popolnoma ujema z zapisom koordinat točke $T$. Razlika je le v tem, da pri vektorju uporabljamo enačaj, pri zapisu točke pa ne.

Vsakega od danih vektorjev poveži še z drugo možno obliko zapisa!

Do katerih točk vodijo dani krajevni vektorji? V desnem stolpcu poišči koordinate teh točk.

Zelo razveseljivo je to, da se oblika prav vseh pravil, ki smo se jih naučili v koordinatnem sistemu ravnine, ohrani, smiselno je treba vključiti le tretjo koordinato točk oziroma tretjo komponento vektorjev.
Seštevanje in odštevanje vektorjev ter množenje vektorja s skalarjem

Izpeljimo pravilo za seštevanje vektorjev $\vec{a}= (a_1, a_2, a_3)$ in $\vec{b}= (b_1, b_2, b_3)$! Ravnamo podobno, kot smo to že počeli v koordinatnem sistemu ravnine. Tako je:

Vidimo, da vektorja, podana s komponentami, seštejemo tako, da seštejemo istoležne komponente obeh vektorjev, torej prvi dve, drugi dve in tretji dve. Tudi pravili za odštevanje vektorjev in množenje vektorja s skalarjem sta podobni praviloma, ki ju poznamo iz ravnine. Poskusi ju izpeljati sam!

Tako kot vsa dosedanja pravila se bodo tudi pravila za skalarno množenje, računanje dolžin in kotov spremenila le po številu v pravila vključenih koordinat oziroma komponent; namesto dveh bodo sedaj pač tri.

Sam izpelji pomembno pravilo za skalarni produkt vektorjev $\vec{a}= (a_1, a_2, a_3)$ in $\vec{b}= (b_1, b_2, b_3)$. Pri tem se spomni, koliko znašajo skalarni produkti $\vec i \cdot \vec i$, $\vec j \cdot \vec j$ in $\vec k \cdot \vec k$.

Zapišimo še obrazec za računanje dolžine vektorja in za računanje kota med vektorjema v prostoru.

Najprej ponovimo nekaj formul, brez katerih tudi v prostoru ne bo šlo. To so: formula za določanje vektorja med znanima točkama $A$ in $B$, formula za krajevni vektor razpolovišča $S$ daljice $AB$ in formula za krajevni vektor težišča $T$ trikotnika $ABC$.

Nekaj osnov za dober začetek ...

Rešimo nalogo, s katero bomo povzeli večino do sedaj pridobljenega znanja o vektorjih.

Naj bo $\vec a =(-1,4,-5)$ in $\vec b =(2,-1,-4)$.
Kateri rezultat paše h kateremu računu?

Dana sta vektorja $\vec a =(-2,4,6)$ in $\vec b =(x,2,12)$. Določi neznano komponento $x$ tako, da bosta vektorja $\vec a$ in $\vec b$

a) pravokotna,

b) vzporedna,

c) takšna, da bo $\vec b$ dvakrat daljši od vektorja $\vec a$.

Da bosta pravokotna mora biti $x=$
Da bosta vzporedna mora biti $x=$

Da bosta takšna, da bo $\vec b$ dvakrat daljši od vektorja $\vec a$, mora biti $x=$

Kaj pa, če je kot določen, vektorja pa ne povsem?

V tej nalogi nastopata vektorja $\vec a =(\sqrt 2, 0, -\sqrt 2)$ in $\vec b =(3,x,-1)$. Določi $x$ tako, da bo kot med vektorjema in meril $45°$.

Dana so oglišča trikotnika $ABC$: $A(–2, 3, 4)$, $B(0, –1, –3)$ in $C(–1, 4, 2)$.

1. Določi razpolovišče S stranice $c = AB$. 2. Določi komponente obeh vektorjev, ki potekata od enega do drugega krajišča težiščnice na stranico $c=AB$! 3. Določi težišče $T$ trikotnika $ABC$. 4. Določi koordinate točke $D$ tako, da bo $ABCD$ paralelogram. 5. Določi koordinate točke $E$, ki leži na stranici $AB$ in velja, da je $|AE|:|EB| = 2:3$.

Skico trikotnika $AB$C z vsem, o čemer naloga govori, prikazuje spodnja slika.

Računsko ugotovi, ali so vektorji $\vec a =(2,-1,1)$, $\vec b =(4,-2,-1)$ in $\vec c =(-2,1,8)$ komplanarni!

Če so dani trije vektorji komplanarni, če torej ležijo v isti ravnini, so linearno odvisni in se da vsakega od njih izraziti z ostalima dvema. Poskusimo izraziti vektor $\vec a$ z vektorjema $\vec b$ in $\vec c$.

Iščemo skalarja $k$ in $l$, da bo $\vec a= k \vec b + l\vec c$. Ko vstavimo komponentne zapise vektorjev, dobimo:

Dva vektorja sta enaka, če se ujemata v vseh istoležnih komponentah, torej mora veljati:

Ko rešimo sistem druge in tretje enačbe, dobimo vrednosti $k= \frac{3}{5}$ in $l= \frac{1}{5}$, ki ustrezata tudi prvi enačbi, kar je nujno preveriti, saj gre za sistem treh enačb z dvema neznankama. Čisto lahko bi se namreč zgodilo, da dobljeni vrednosti $k$ in $l$ ne bi ustrezali prvi enačbi, kar bi pomenilo, da sistem ne bi imel rešitve.

Ugotovili smo, da se vektor da izraziti s preostalima dvema vektorjema kot $\vec a= \frac{3}{5} \vec b + \frac{1}{5} \vec c$, kar pomeni, da so linearno odvisni, kar je možno le, če ležijo v isti ravnini. Dani vektorji so komplanarni in s tem ne tvorijo baze prostora.

Če boš nadeljeval na dodatne naloge boš našel naloge za utrjevanje znanja. Kar pogumno se jih loti!

Dana sta vektorja $\vec a = (2, −8, 10)$ in $\vec b = (3, −4, 0)$.
Izračunaj:

• $-\frac{1}{2}\vec a+ \frac{3}{4}\vec{b}$,
  
• $2\vec a \cdot (-\vec{b})$,
  
• $|\frac{2}{3} \vec b|$,
  
• Kot med vektorjema $\vec a$ in $\vec{b}$.
  
  

Določi parameter $m$ tako, da bosta vektorja $\vec a = (2, m, 1)$ in $\vec b = (−3, 5, 2m)$

• pravokotna,
  
• vzporedna.
  
  

Da bosta pravokotna mora biti $m=$

Da bosta vzporedna mora biti $m=$

Dan je trikotnik $ABC$ z oglišči $A(−3, 2, 7)$, $B(4, −1, 2)$ in $C(5, −6, 3)$.
Izračunaj:

• $(\vec r_A · \vec r_B) · \vec r_C − 5(\vec r_C −\vec r_B),$
  
• dolžino stranice $b = AC$,
  
• enotski vektor v smeri vektorja $\vec AC$,
  
• kot pri oglišču $C$ na stotinko stopinje natančno,
  
• projekcijo $\vec CA$ na $\vec CB$,
  
• dolžino težiščnice na stranico $b = AC$,
  
• težišče $T$ trikotnika $ABC$,
  
• točko $D$ tako, da bo $ABCD$ pozitivno orientiran paralelogram,
  
• presečišče diagonal S paralelograma $ABCD$ s prejšnje točke,
  
• točko $E$, ki leži na stranici $c = AB$ tako, da velja: $|AE| : |AB| = 2 : 3$.
  

Kateri rezultat paše h kateremu računu?

Dokaži, da vektorji $\vec e = (1, 2, 0)$, $\vec f = (0, 1, 2)$ in $\vec g = (1, 0, 2)$ tvorijo bazo prostora, nato pa v tej bazi izrazi vektor $\vec a = (−4, 2, 3)$.

Vektorji $\vec e$, $\vec f$, $\vec g$ tvorijo bazo ne tvorijo baze , saj so linearno neodvisni linearno odvisni pravilni . To vemo, ker ne moremo lahko ni smieslno enega vektorja izraziti (en vektor izrazimo) z drugima dvema.