Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Lastnosti določenega integrala

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Uvod

Spomnimo se nazorne predstave o vrednosti določenega integrala nenegativne zvezne funkcije $f$ na intervalu $[a, b]$ , ki je enaka ploščini krivočrtnega lika med abscisno osjo na intervalu $[a, b]$ in grafom funkcije $f$ .

Prikaži aplikacijo Skrij aplikacijo

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

V nadaljevanju bomo spoznali nekaj lastnosti določenega integrala. Marsikatero spoznanje bomo utemeljili za kakšen okus mogoče matematično ohlapno, saj bi bila dosledna spoštovanja vseh korakov matematičnega sklepanja na tem mestu že precej zahtevna. Vse lastnosti izvirajo iz definicije določenega integrala, mi pa se bomo največkrat oprli na geometrijsko nazorno predstavo o določenem integralu v povezavi s ploščino krivočrtnega lika.

Določeni integral funkcije, ki je na integracijskem intervalu negativna

Denimo, da je funkcija $f$ na intervalu $[a, b]$ negativna. Pri negativni funkciji so funkcijske vrednosti negativne, prav tako so negativne spodnje in zgornje vsote. Očitno velja:

Če je funkcija $f$ na intervalu $[a, b]$ negativna, je določeni integral enak nasprotni vrednosti ploščine krivočrtnega lika $\mathbf{S}$ med grafom funkcije $f$ in abscisno osjo na intervalu $[a, b]$ :

$\int_a^b f(x) dx = -S$

Določeni integral funkcije, ki je na integracijskem intervalu negativna

Na spodnji aplikaciji je narisana funkcija $f$ , ki leži na intervalu $[a, b]$ pod abscisno osjo (je negativna na tem intervalu). Opazuj, kako se s premikom krajišč intervala $[a, b]$ spreminja vrednost določenega integrala in kako je ta vrednost povezana s ploščino krivočrtnega lika, ki je določen z grafom funkcije $f$ in delom abscisne osi na intervalu $[a,b]$ . Za nazornejšo predstavo je na aplikaciji narisan tudi modro obarvan skladen krivočrtni lik z enako ploščino, ki ga določa čez abscisno os prezrcaljen graf funkcije $f$ na intervalu $[a, b]$ .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Naloga

Izračunaj vrednost naslednjih določenih integralov, kjer je funkcija na integracijskem intervalu negativna. Pri računanju upoštevaj, da je določeni integral v tem primeru enak nasprotni vrednosti ploščine krivočrtnega lika. Za skico uporabi spodnjo aplikacijo, kjer lahko spreminjaš lego točk na abscisni osi.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

$\int_{-1}^3 (x-6)dx =$

,

$\int_{2}^4 (x-6)dx =$

,

$\int_{-3}^{-1} (x-6)dx =$

.

Preveri

Pomoč

Si uporabil formulo za ploščino trapeza? Ko izračunamo ploščino trapeza, upoštevamo, da je vrednost določenega integrala enaka nasprotni vrednosti ploščine trapeza, saj je funkcija, ki jo integriramo, na integracijskem intervalu negativna.

Rešitve

$\int_{-1}^3 (x-6)dx = -20,\quad \int_{2}^4 (x-6)dx = -6,\quad \int_{-3}^{-1} (x-6)dx = -16.$

Narobe

Pravilno si rešil od treh vprašanj.

Pravilno

Naprej

Zamenjava integracijskih meja

Doslej smo vedno predpostavili, da je spodnja meja pri določenem integralu manjša od zgornje meje $(a < b)$ . Ta omejitev pa ni nujno potrebna. Če je spodnja meja večja od zgornje meje integrala in če želimo meji zamenjati, se spremeni predznak določenega integrala:

$\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x)dx$

Razlaga za bolj radovedne

Če je spodnja meja večja od zgornje meje integrala, so delilne točke integracijskega intervala urejene v nasprotnem (padajočem) vrstnem redu. Razlike $\Delta x_i$ so negativne, zato se spodnjim in zgornjim vsotam pri zamenjavi integracijskih mej spremeni predznak. V primeru, da zamenjamo spodnjo in zgornjo mejo, se tako spremeni tudi predznak določenega integrala.

Katera enakost je pravilna?

1.	$\int_1^2 (x-6)dx = \int_{-1}^{-2} (x-6)dx$

Pravilno

Napačno

2.	$\int_1^3 x^2dx = - \int_{3}^{1} x^2 dx$

Pravilno

Napačno

To pa ne bo držalo! Če zamenjaš predznaka spodnje in zgornje meje, se vrednost določenega integrala, razen v posebnih primerih, spremeni.

Odlično! Če zamenjaš predznaka spodnje in zgornje meje, se vrednost določenega integrala, razen v posebnih primerih, spremeni.

Odlično! Če zamenjamo integracijske meje, določeni integral spremeni svoj predznak.

To pa ne bo držalo! Če zamenjamo integracijske meje, določeni integral spremeni svoj predznak.

Poimenovanje integracijske spremenljivke

Vrednost določenega integrala se ne spremeni, ne glede na to, kako poimenujemo integracijsko spremenljivko. Če namreč spremenljivko $x$ poimenujemo z $t$ ali z $u$ ali $\dots$ , smo drugače poimenovali le abscisno os, lik pa je ostal zaradi enakega funkcijskega predpisa isti in zato tudi njegova ploščina enaka.

$\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt = \int_a^b f(u)du$

Izloči vsiljivca, saj znaš!

$\int_a^b s^{-3}ds$

$\int_a^b \frac{1}{t^3}dt$

$\int_a^b (\frac{1}{x})^3 dx$

$\int_a^b (u^3 - 1)du$

Narobe

Pravilno

Naprej

Enaki integracijski meji

Če spodnja in zgornja meja določenega integrala sovpadata, je vrednost določenega integrala enaka $0$ . V tem primeru je namreč dolžina integracijskega intervala enaka $0$ in krivočrtni lik se stisne v daljico s ploščino $0$ :

$\int_a^a f(x)dx =0$

Na spodnji aplikaciji preizkusi opisano lastnost.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Razdelitev integracijskega intervala

Naj bo $f(x)$ zvezna funkcija na intervalu $[a, c]$ in $b$ poljubna točka med $a$ in $c$ $(a < b < c)$ . Oglejmo si integrale

$\int_a^c f(x) dx, \quad \int_a^b f(x)dx, \quad \int_b^c f(x)dx.$

Prikaži aplikacijo Skrij aplikacijo

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Prvi določeni integral označuje ploščino krivočrtnega lika med grafom funkcije $f$ in abscisno osjo na intervalu od $a$ do $c$ , drugi na intervalu od $a$ do $b$ in tretji na intervalu od $b$ do $c$ . Ker velja, da je ploščina celotnega krivočrtnega lika (med grafom funkcije $f$ in na intervalu med $a$ in $c$ ) enaka vsoti ploščin manjših krivočrtnih likov (glej zgornjo sliko), lahko zapišemo:

$\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx.$

Formulo lahko posplošimo, če osnovni integracijski interval razdelimo z dvema ali več delilnimi točkami. Tako je na primer

$\int_a^d f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx + \int_c^d f(x)dx.$

Uporabimo, kar smo se naučili

S pomočjo aplikacije, ki jo lahko uporabiš za skico, izračunaj vrednosti določenih integralov. Pri tem čimbolj spretno uporabljaj lastnosti za računanje z določenimi integrali.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

$\int_3^7 (4-2x)dx =$

$\int_0^4 (4 - 2x)dx =$

$\int_{-1}^3 (4-2x)dx=$

Preveri

Rešitev

Ker je funkcija $f(x)=4-2x$ negativna na integracijskem intervalu $[3, 7]$ , je

$\int_3^7 (4-2x)dx = -S = -(\frac{10+2}{2} \cdot 4) = -24$

Rešitev

Integracijski interval $[0,4]$ s točko $2$ razdelimo na dva dela. Pri $x=2$ namreč funkcija $f(x)=4-2x$ spremeni svoj predznak. Določeni integral razbijemo na vsoto integralov:

$\int_0^4 (4-2x)dx = \int_0^2 (4- 2x)dx + \int_2^4 (4-2x)dx = S + (-S) = 0.$

Upoštevali smo, da imata trikotnika, ki ga določa graf funkcije na intervalih $[0, 2]$ in $[2, 4]$ , enako ploščino in da je določeni integral negativne funkcije enak nasprotni vrednosti ploščine pripadajočega lika.

Rešitev

Podobno kot pri drugem primeru razbijemo določeni integral na dva dela:

$\int_{-1}^3 (4-2x)dx = \int_{-1}^2 (4-2x)dx + \int_2^3 (4-2x)dx = S_1 + (-S_2),$

kjer sta $S_1$ in $S_2$ ploščini trikotnikov, ki ju določa graf funkcije $f(x)=4-2x$ na intervalih $[-1, 2]$ in $[2, 3]$ .

$S_1 + (-S_2) = \frac{3 \cdot 6}{2} + (-\frac{1 \cdot 2}{2}) = 8$

Rešitev

Ker je funkcija $f(x)=4-2x$ negativna na integracijskem intervalu $[3, 7]$ , je
$\int_3^7 (4-2x)dx = -S = -(\frac{10+2}{2} \cdot 4) = -24$

Integracijski interval $[0,4]$ s točko $2$ razdelimo na dva dela. Pri $x=2$ namreč funkcija $f(x)=4-2x$ spremeni svoj predznak. Določeni integral razbijemo na vsoto integralov:
$\int_0^4 (4-2x)dx = \int_0^2 (4- 2x)dx + \int_2^4 (4-2x)dx = S + (-S) = 0.$
Upoštevali smo, da imata trikotnika, ki ga določa graf funkcije na intervalih $[0, 2]$ in $[2, 4]$ , enako ploščino in da je določeni integral negativne funkcije enak nasprotni vrednosti ploščine pripadajočega lika.

Rešitev

Ker je funkcija $f(x)=4-2x$ negativna na integracijskem intervalu $[3, 7]$ , je
$\int_3^7 (4-2x)dx = -S = -(\frac{10+2}{2} \cdot 4) = -24$

Podobno kot pri drugem primeru razbijemo določeni integral na dva dela:
$\int_{-1}^3 (4-2x)dx = \int_{-1}^2 (4-2x)dx + \int_2^3 (4-2x)dx = S_1 + (-S_2),$
kjer sta $S_1$ in $S_2$ ploščini trikotnikov, ki ju določa graf funkcije $f(x)=4-2x$ na intervalih $[-1, 2]$ in $[2, 3]$ .
$S_1 + (-S_2) = \frac{3 \cdot 6}{2} + (-\frac{1 \cdot 2}{2}) = 8$

Integracijski interval $[0,4]$ s točko $2$ razdelimo na dva dela. Pri $x=2$ namreč funkcija $f(x)=4-2x$ spremeni svoj predznak. Določeni integral razbijemo na vsoto integralov:
$\int_0^4 (4-2x)dx = \int_0^2 (4- 2x)dx + \int_2^4 (4-2x)dx = S + (-S) = 0.$
Upoštevali smo, da imata trikotnika, ki ga določa graf funkcije na intervalih $[0, 2]$ in $[2, 4]$ , enako ploščino in da je določeni integral negativne funkcije enak nasprotni vrednosti ploščine pripadajočega lika.

Podobno kot pri drugem primeru razbijemo določeni integral na dva dela:
$\int_{-1}^3 (4-2x)dx = \int_{-1}^2 (4-2x)dx + \int_2^3 (4-2x)dx = S_1 + (-S_2),$
kjer sta $S_1$ in $S_2$ ploščini trikotnikov, ki ju določa graf funkcije $f(x)=4-2x$ na intervalih $[-1, 2]$ in $[2, 3]$ .
$S_1 + (-S_2) = \frac{3 \cdot 6}{2} + (-\frac{1 \cdot 2}{2}) = 8$

Ker je funkcija $f(x)=4-2x$ negativna na integracijskem intervalu $[3, 7]$ , je
$\int_3^7 (4-2x)dx = -S = -(\frac{10+2}{2} \cdot 4) = -24$

Integracijski interval $[0,4]$ s točko $2$ razdelimo na dva dela. Pri $x=2$ namreč funkcija $f(x)=4-2x$ spremeni svoj predznak. Določeni integral razbijemo na vsoto integralov:
$\int_0^4 (4-2x)dx = \int_0^2 (4- 2x)dx + \int_2^4 (4-2x)dx = S + (-S) = 0.$
Upoštevali smo, da imata trikotnika, ki ga določa graf funkcije na intervalih $[0, 2]$ in $[2, 4]$ , enako ploščino in da je določeni integral negativne funkcije enak nasprotni vrednosti ploščine pripadajočega lika.

Podobno kot pri drugem primeru razbijemo določeni integral na dva dela:
$\int_{-1}^3 (4-2x)dx = \int_{-1}^2 (4-2x)dx + \int_2^3 (4-2x)dx = S_1 + (-S_2),$
kjer sta $S_1$ in $S_2$ ploščini trikotnikov, ki ju določa graf funkcije $f(x)=4-2x$ na intervalih $[-1, 2]$ in $[2, 3]$ .
$S_1 + (-S_2) = \frac{3 \cdot 6}{2} + (-\frac{1 \cdot 2}{2}) = 8$

Narobe

Narobe si rešil le 1. primer.

Narobe

Narobe si rešil le 2. primer.

Narobe

Narobe si rešil le 3. primer.

Narobe

Narobe si rešil 1. in 2. primer.

Narobe

Narobe si rešil 2. in 3. primer.

Narobe

Narobe si rešil 1. in 3. primer.

Narobe

Narobe si rešil vse primere.

Povprečna vrednost funkcije

Označimo z $m$ najmanjšo in z $M$ največjo funkcijsko vrednost funkcije $f$ na intervalu $[a, b]$ . Če integracijskega intervala $[a, b]$ ne delimo, je spodnja vsota za funkcijo $f$ na tem intervalu $m(b-a)$ in zgornja vsota $M(b-a)$ .

Ploščina je majhna

...večja...

...še večja...

Za lažjo predstavo bomo vzeli nenegativno funkcijo $f$ na intervalu $[a, b]$ in s pomočjo zgornje slike zapisali neenakosti

$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a).$

Zgornje neenakosti delimo z $b-a$ $(b-a > 0)$ in dobimo

$m \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx \leq M$

Povprečna vrednost funkcije

Definicija

Število

$p=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx$

imenujemo povprečna vrednost funkcije $\mathbf{f}$ na intervalu $\mathbf{[a,b]}$ . Število $p$ leži med najmanjšo in največjo funkcijsko vrednostjo funkcije $f$ na intervalu $[a,b]$ .

Iz definicije povprečne vrednosti sledi enakost

$p(b-a) = \int_a^b f(x)dx$

Povprečna vrednost $p$ funkcije $f$ je torej taka višina pravokotnika z osnovnico $b-a$ , pri kateri ima pravokotnik isto ploščino kot krivočrtni lik med grafom funkcije $f$ na intervalu $[a, b]$ in abscisno osjo.

Zapiši in izračunaj povprečno vrednost funkcije

Zapiši povprečno vrednost funkcije $f(x)=x^3-x^2$ na intervalu $[-1, 10]$ .

$\int_{-1}^{10} (x^3 - x^2)dx$

$\frac{1}{11} \int_{-1}^{10} (x^3 - x^2)dx$

$\frac{1}{10} \int_{-1}^{10} (x^3 - x^2)dx$

Izračunaj povprečno vrednost funkcije $f(x)=2-2x$ na intervalu $[-3, 5]$ .

$0$

$15$

$-1$

Namig

Pravilno

Narobe

Namig

Najprej izračunaj določeni integral

$\int_{-3}^5 f(x)dx$

Dodatne naloge

Izračunaj vrednosti določenih integralov:

a)

$\int_{-1}^{-1} (2x^2 + 5x - 1)dx =$

b)

$\int_0^5 |x| dx =$

c)

$\int_{-1}^3 |x| dx =$

d)

$\int _0^{2 \pi} \cos x dx =$

e)

$\int_{2 \pi}^{4 \pi} \sin x dx =$

f)

$\int_0^1 (x^2 - x) dx + \int_1^0 (x^2 - x) dx =$

g)

$\int_2^5 (3-3x) dx =$

Preveri

Rešitve

a) $0$ (ker meji sovpadata)

b) $\frac{25}{2}$

c) $\int_{-1}^3 |x| dx = \int_{-1}^0 |x| dx + \int_0^3 |x| dx = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5$

d) $\int_0^{2 \pi} \cos x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x dx + \int_{\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x dx = S_1 + (-S) + S_2 = S + (-S) = 0$

e) $\int_{2 \pi}^{4 \pi} \sin x dx = \int_{2 \pi}^{3 \pi} \sin x dx + \int_{3 \pi}^{4 \pi} \sin x dx = S + (-S) =0$

f) $\int_0^1 (x^2 - x)dx + \int_1^0 (x^2 -x)dx = \int_0^1 (x^2 - x) dx - \int_0^1 (x^2 - x) dx = 0$

g) $\int_2^5 (3-3x) dx = -S = -(\frac{3+12}{2} \cdot 3) = -\frac{45}{2}$

Narobe

Rezultat: /7

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

Premica z enačbo $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ oklepa s koordinatnima osema trikotnik. Izračunaj ploščino trikotnika in jo zapiši kot določeni integral, tako da izpolniš spodnje parametre.

$S = \int_{x_1}^{x_2} (kx +n) dx =$

$x_1 =$

$x_2 =$

$k =$

$- \frac{4}{3}$

$\frac{4}{3}$

$-\frac{3}{4}$

$-12$

$n =$

Preveri

Rešitve

$S = \int_0^3(-\frac{4}{3}x + 4) dx = 6$

Narobe

Poskusi ponovno.

Narobe

Napačno si izračunal ploščino.

Poskusi ponovno.

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

Izračunaj povprečno vrednost funkcije $f(x) = - |x|$ na intervalu $[-1, 5]$ .

$-\frac{13}{6}$

$\frac{13}{6}$

$\frac{6}{13}$

$-\frac{6}{13}$

$13$

$-13$

Rešitve

$p=\frac{1}{6} \int_{-1}^{5} (- |x|) dx = \frac{1}{6}(-13) = - \frac{13}{6}$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Konec

Lastnosti določenega integrala

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Lastnosti določenega integrala

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Pomoč

Rešitve

Narobe

Pravilno

Razlaga za bolj radovedne

Narobe

Pravilno

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Narobe

Narobe

Narobe

Narobe

Narobe

Narobe

Narobe

Definicija

Pravilno

Narobe

Namig

Rešitve

Narobe

Pravilno

Rešitve

Narobe

Narobe

Pravilno

Rešitve

Narobe

Pravilno