Uvod
Povezava na maturitetno polo: Klik
Besedilo naloge
V koordinatnem sistemu sta narisana vektorja in .
Narišite vektor .
Kolikšni sta točni dolžini vektorjev in ?
Koliko meri kot med in (rezultat zaokrožite na stotinko stopnje)?
Ponovitev snovi
Vektor je količina, s katero lahko opišemo smer in hitrost (razdaljo, dolžino) hkrati.
Vektor je količina, ki je določena s
|
Vektorje rišemo z usmerjenimi daljicami in jih označujemo s črko, nad katero je puščica.
Velikost vektorja je ponazorjena z večjo ali manjšo dolžino usmerjene daljice. Dolžino vektorja označimo z in jo imenujemo tudi norma vektorja.
Grafično lahko vektorje seštejemo tako, da začetno točko naslednjega vektorja postavimo v končno točko prejšnjega vektorja (s tem vektorje nanizamo v verigo enega za drugim). Vsota vektorjev je vektor, ki poteka od začetne točke prvega do končne točke zadnjega vektorja.
Animacija seštevanja vektorjev
Sicer pa za seštevanje vektorjev veljajo podobne lastnosti kot za seštevanje števil:
Primer:
Vektorja in sta dana s koordinatami:
Njuno vsoto dobimo, če vektorja seštejemo po komponentah:
Odštevanje vektorjev je zelo podobno odštevanju s števili:
Primer:
Odštejmo vektorja, ki smo jih v prejšnjem primeru sešteli:
Njuno razliko dobimo, če seštejemo vektorja in .
To je množenje vektorja s številom; s tem vektorju povečamo ali pomanjšamo dolžino, ne spremenimo pa njegove smeri.
Tako kot pri seštevanju in odštevanju tudi množenje vektorja s skalarjem poteka po komponentah.
Primer:
Dan je vektor s koordinatami:
Želimo ga pomnožiti s številom 3. To storimo tako, da s tem številom pomnožimo vsako komponento vektorja.
Skalarni produkt dveh vektorjev je produkt njunih dolžin in kosinusa vmesnega kota. Če vektorja narišemo z začetkom v isti točki, je vmesni kot med vektorjema konveksni kot, ki ima dana vektorja na krakih.
Skalarni produkt izračunamo s formulo
Sicer pa za skalarno množenje vektorjev veljajo naslednje lastnosti:
Potek reševanja s pomočjo računala Ti-Nspire CX CAS
V računalu odpremo nov dokument za grafiko in v koordinatni sistem narišemo dana vektorja in .
Nato postopoma narišemo vektor :
Vsota obeh nam da iskani vektor.
Naloga od nas zahteva izračun točnih dolžin vektorjev in . Izračun bomo opravili v novem oknu za računanje (Calculator).
Iz teorije vemo, da je dolžina vektorja v bistvu njegova norma. Dana vektorja definiramo v matrični obliki in nato v katalogu ukazov najdemo ukaz norm, ki nam izračuna normo vektorjev.
Dobimo točen (analitičen) rezultat: , .
Na koncu nas zanima še velikost kota .
Postavimo se nazaj na stran v programu, kjer smo narisali dana vektorja. Kot med njima izračunamo s pomočjo orodja za merjenje kotov.
Ker nam program kot avtomatično izračuna v radianih, ga je potrebno transformirati v kotne stopinje. To lahko storimo v nastavitvah dokumenta.
Potrebno natančnost kota (na stotinko stopinje natančno) dobimo z desnim klikom na kot, kjer izberemo ukaz Attributes.
Dobili smo iskano rešitev.
Spodaj je na voljo še povezava do filmčka s celotnim postopkom reševanja naloge v programu Ti-Nspire CX CAS.
Preverjanje znanja
Dana sta vektorja in . Izračunajte vrednosti vektorjev na levi in jih nato povežite z rešitvami na desni.
