Uvod
Povezava na maturitetno polo: Klik
Besedilo naloge
Tangenta na graf funkcije v točki z absciso je pravokotna na premico z enačbo . Izračunajte realno število .
Ponovitev snovi
Tangenta je premica, ki se dani funkciji v okolici dane točke najbolj prilega - se je dotika.
S premikanjem rdeče točke po krivulji na spodnji sliki lahko opazujete premikanje tangente na krivuljo.
Naj bo podana funkcija in točka , ki leži na grafu funkcije . Tangento na graf funkcije v točki dobimo po naslednjem postopku:
Najprej izberemo na grafu funkcije še drugo točko . Skozi obe točki poteka premica, ki graf funkcije seka v dveh točkah - imenujemo jo sekanta. Potem točko približujemo dani točki . V limiti, ko točka doseže , se sekanta spremeni v tangento.
Tangenta na graf funkcije je povezana z odvodom: odvod funkcije pri je namreč enak smernemu koeficientu tangente na graf funkcije v točki . Zaradi tega lahko v okolici točke vrednost funkcije dobro aproksimiramo z odvodom: |
Pravokotnica je premica, ki dano premico seka pod pravim kotom.
Dana je premica ter njena pravokotnica . Za smerna koeficienta in velja enačba
Ali sta premici in pravokotni?
Drugo premico najprej zapišemo v eksplicitni obliki:
Sedaj lahko razberemo njen koeficient: . Koeficient prve premice pa je . Zapišemo enačbo za koeficiente in vstavimo podatke.
Enakost velja. Premici sta torej pravokotni.
Reševanje naloge s pomočjo Ti-Nspire CX CAS
Naloge se samo z uporabo računala ne da rešiti. Potrebno je znanje o pravokotnicah in enačbi za smerne koeficiente.
V dokumentu programa najprej definiramo dano funkcijo in koordinato .
Tangento na graf funkcije v lahko dobimo z ukazom tangentLine(funkcija, spremenljivka, točka).
Dobimo, da je naša tangenta premica s predpisom .
Iz besedila naloge vemo, da je tangenta pravokotna na premico z enačbo . Če predpis premice preračunamo v eksplicitno obliko, dobimo
Da bomo dobili iskani , moramo uporabiti enačbo, ki velja za smerne koeficiente pravokotnic: kjer je koeficient dane premice, pa koeficient izračunane tangente.
V okno programa definiramo oba koeficienta in vpišemo ukaz za reševanje enačbe s smernimi koeficienti.
Dobimo rešitev .
Preverjanje znanja
Dana je funkcija . V eksplicitni obliki zapišite enačbo tangente na graf v točki .
Nalogo rešite na dva načina: najprej brez uporabe računala Ti-Nspire, nato pa še z njim.
Reševanje naloge brez pomoči Ti-Nspire
Postopek reševanja brez pomoči računala:
izračunamo odvod funkcije
s pomočjo odvoda in točke dobimo smerni koeficient tangente.
izračunamo , ki ga dobimo tako, da vstavimo v zgornjo enačbo točko :
enačba tangente:
