Ponovimo
Ponovimo, kar že vemo o sinusu in kosinusu kotov med in .
V ravnini narišemo pravokotni koordinatni sistem z izhodiščem in krog s središčem in radijem . Poltrak z vrhom v točki skozi točko naj bo prvi krak našega kota. Točko zavrtimo za kot okrog izhodišča in dobimo točko na enotski krožnici.
Ponovimo
Na spodnji sliki lahko z miško zagrabiš točko in jo vrtiš po krožnici. S tem spreminjaš kot . Na sliki sta grafično predstavljena sinus in kosinus kota , njuni številski vrednosti pa sta izpisani spodaj.
Vprašanja za ponovitev in utrjevanje
Suuper, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Suuper, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Za radovedne
Kaj misliš, koliko je takih kotov med in , za katere velja ? Poskusi tudi odčitati približne vrednosti teh kotov. Pomagaj si z vrtenjem točke na sliki.
Sinus in kosinus poljubnega kota
Doslej smo ponovili, kar že vemo, zdaj pa napravimo droben korak naprej.
Pri definiciji sinusa in kosinusa kota med in smo točko zavrteli za kot okrog izhodišča in dobili točko . Omejitev na kote s tega intervala ni potrebna. Isti postopek ima smisel tudi, če je kot bodisi večji kot bodisi negativen. V prvem primeru točko zavrtimo za več kot , v drugem pa vrtenje namesto v pozitivni smeri izvajamo v negativni. V vsakem primeru po vrtenju točke za kot dobimo točko , sinus in kosinus pa sta definirana tako kot zgoraj.
Oglejmo si vsako od možnosti: in posebej.
Sinus in kosinus poljubnega kota
Za ilustracijo prve možnosti si oglejmo sinus in kosinus kota . Pomagajmo si s spodnjo sliko, kjer bomo točko dobili tako, da bomo točko zavrteli za kot .
Sinus in kosinus poljubnega kota
Zdaj pa se posvetimo še negativnim kotom. Pri pozitivnih vrednostih smo točko zavrteli v pozitivni smeri, to je v smeri, obratni od smeri gibanja urinih kazalcev. Če pa je negativen, vrtenje poteka v nasprotni, negativni smeri, to je v smeri gibanja urinih kazalcev.
Spodnja slika nam ilustrira sinus in kosinus kota .
Sinus in kosinus smo torej zdaj definirali za poljuben realni kot . V nadaljevanju bomo spoznali, da zadošča, če se pri obravnavi omejimo na interval od do oziroma od do radianov.
Periodičnost
S sinusom in kosinusom kota smo se že ukvarjali. K tej situaciji se vrnimo še enkrat s spodnjim apletom. Sinus in kosinus kota sta ordinata in abscisa točke , ki jo dobimo z vrtnjem točke za kot . To vrtenje pa opravimo v dveh korakih: najprej zavrtimo za , potem pa še za .
Periodičnost
Točko smo najprej zavrteli za kot in dobili točko . To smo potem naprej zavrteli za preostalih in dobili točko . Ker je šlo za vrtenje za polni kot, točki in sovpadata. Torej sta enaki tudi njuni koordinati.
Koordinati teh dveh točk sta:
Na podlagi tega sklepa lahko povzamemo:
Razmislek v zvezi s sovpadanjem točk, ki jih zavrtimo polni kot, velja čisto splošno. Na podlagi tega smo ugotovili, da za poljubno realno število veljata zvezi:
oziroma v radianih:
Periodičnost
Seveda lahko krožnico v celoti obkrožimo tudi več kot enkrat. Če to storimo -krat, , podobno kot zgoraj dobimo naslednji zvezi:
V tej zvezi je lahko celo število, saj se tudi pri vrtenju za polni kot v negativno smer vrnemo v isto točko.
Periodičnost
Vse povedano se lepo vidi tudi na spodnji animirani sliki.
Ko kot doseže vrednost oz. radianov, smo krožnico enkrat obkrožili. Če z vrtenjem nadaljujemo, se zgodba začne ponavljati. Tovrstno ponavljanje s tujko imenujemo periodičnost.
Periodičnost
Dogovorimo se:
Realna fukcija je periodična s periodo , če za vsako realno število velja
Zgoraj zapisani dve enakosti nam torej sporočata:
Funkciji sinus in kosinus sta prvi periodični funkciji, ki smo ju spoznali. V nadaljevanju bomo srečali še nekatere druge periodične funkcije.
Poglavje bomo končali z nekaj nalogami
Suuper, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Suuper, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Suuper, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Kaj splošnega se lahko naučimo iz teh primerov?
Obravnavane naloge nam dajejo slutiti, kako lahko sinus in kosinus poljubno velikega pozitivnega kota izrazimo s sinusom in kosinusom kota med in oziroma med in radiani. Od danega kota torej odštejemo tolikokrat po ali radianov, da dobljena vrednost pade na željeni interval:
, . Končano, smo že med in .
Če postopek malo natančneje pogledamo, opazimo, da zgodbo končamo, ko dobimo tako vrednost med in , da je . Zapis nas spominja na osnovni izrek o deljenju. Če to zvezo delimo s , dobimo: . Število je naravno, število pa z intervala . Število je torej celi del kvocienta . V konkretnem primeru je , zato je . Podobno je v drugem primeru , zato od odštejemo -krat po .
Podobna je zgodba pri radianih, vendar tokrat namesto s delimo z .
S prištevanjem večkratnikov oziroma radianov bi lahko obravnavali tudi negativne kote.
1. naloga
Izračunaj naslednje vrednosti in ustrezno poveži.
Suuper, rešitev je pravilna.
2. naloga
Izračunaj naslednje vrednosti in ustrezno poveži.
Suuper, rešitev je pravilna.
3. naloga
Izrazi s sinusi in kosinusi kotov med in radiani ter ustrezno poveži.
Suuper, rešitev je pravilna.
4. naloga
Izrazi s sinusi in kosinusi kotov med in .
Suuper, rešitev je pravilna.
Rezultati
