Uvod
Povezava na maturitetno polo: Klik
Besedilo naloge
V koordinatnem sistemu sta narisana vektorja in .
Narišite vektor .
Kolikšni sta točni dolžini vektorjev in ?
Koliko meri kot med in (rezultat zaokrožite na stotinko stopnje)?
Ponovitev snovi
Vektor je količina, s katero lahko opišemo smer in hitrost (razdaljo, dolžino) hkrati.
Vektor je količina, ki je določena s
|
Vektorje rišemo z usmerjenimi daljicami in jih označujemo s črko, nad katero je puščica.
Velikost vektorja je ponazorjena z večjo ali manjšo dolžino usmerjene daljice. Dolžino vektorja označimo z in jo imenujemo tudi norma vektorja.
Grafično lahko vektorje seštejemo tako, da začetno točko naslednjega vektorja postavimo v končno točko prejšnjega vektorja (s tem vektorje nanizamo v verigo enega za drugim). Vsota vektorjev je vektor, ki poteka od začetne točke prvega do končne točke zadnjega vektorja.
Animacija seštevanja vektorjev
Sicer pa za seštevanje vektorjev veljajo podobne lastnosti kot za seštevanje števil:
Primer:
Vektorja in sta dana s koordinatami:
Njuno vsoto dobimo, če vektorja seštejemo po komponentah:
Odštevanje vektorjev je zelo podobno odštevanju s števili:
Primer:
Odštejmo vektorja, ki smo jih v prejšnjem primeru sešteli:
Njuno razliko dobimo, če seštejemo vektorja in .
To je množenje vektorja s številom; s tem vektorju povečamo ali pomanjšamo dolžino, ne spremenimo pa njegove smeri.
Tako kot pri seštevanju in odštevanju tudi množenje vektorja s skalarjem poteka po komponentah.
Primer:
Dan je vektor s koordinatami:
Želimo ga pomnožiti s številom 3. To storimo tako, da s tem številom pomnožimo vsako komponento vektorja.
Skalarni produkt dveh vektorjev je produkt njunih dolžin in kosinusa vmesnega kota. Če vektorja narišemo z začetkom v isti točki, je vmesni kot med vektorjema konveksni kot, ki ima dana vektorja na krakih.
Skalarni produkt izračunamo s formulo
Sicer pa za skalarno množenje vektorjev veljajo naslednje lastnosti:
Reševanje naloge s pomočjo programa Geogebra
V program najprej narišemo dana vektorja in . Ker Geogebra vektorje označuje z , ,... je potrebno narisana vektorja preimenovati v in .
Nato narišemo vektor . Za to nam ni potrebno poznati pravil za seštevanje vektorjev. V vnosno okence le vpišemo predpis za vektor in program ga samodejno nariše v dani koordinatni sistem.
Naloga od nas zahteva, da izračunamo dolžino vektorjev in . Dolžino lahko dobimo z orodjem Razdalja ali dolžina, tako da kliknemo na začetno in nato še na končno točko vektorja. Ampak kmalu ugotovimo, da Geogebra razdalje ne izračuna natančno, temveč dobimo le numerični približek. Zato nam pri računanju dolžine vektorja Geogebra ne more pomagati; dolžino moramo izračunati sami. Vektor pa po drugi strani program izračuna pravilno, saj je rezultat dolžine celo število.
Potrebujemo še velikost kota med vektorjema in . Pomagamo si z ukazom Kot.
Dobimo rešitev in naloga je tako zaključena.
Na spodnji povezavi je na voljo filmček s postopkom reševanja naloge v Geogebri 4.2.
Preverjanje znanja
Dana sta vektorja in . Izračunajte vrednosti vektorjev na levi in jih nato povežite z rešitvami na desni.
