Potence z naravnim eksponentom
Potenca , kjer je naravno število, je krajši zapis za produkt -faktorjev števila .
Številu rečemo tudi -ta potenca števila . Število imenujemo osnova, število pa stopnja potence ali eksponent.
Kadar je eksponent naravno število, je osnova lahko poljubno realno število.
Pravila za računanje s potencami:
Potenci z eksponentoma 2 in 3 imata še posebno ime. Potenci z eksponentom 2 rečemo tudi kvadrat, , potenci z eksponentom 3 pa kub, . Imeni imata geometrijski izvor.
0 ni naravno število. Za 0 veljajo posebna pravila pri potenciranju.
Eksponenta 1 ne pišemo, ker je = a. Eksponent namreč pove, kolikokrat osnovo pomnožimo samo s sabo. Če je eksponent 1, pomnožimo enkrat, kar je enako .
Potence s celim eksponentom
Potence z negativnim celim eksponentom definiramo kot .
Potence z eksponentom 0 definiramo kot .
Kadar je eksponent negativno število ali 0, je osnova lahko poljubno realno število razen 0.
Pravila za računanje s potencami:
Poglejmo, kaj pomeni :
Formula velja za katerakoli števila a, m in n. Če vzamemo , potem na levi strani formule dobimo 1, na desni pa .
Kvadratni koren
Ko poznamo kvadrat števila, nas lahko zanima, katero število moramo množiti samo s seboj, da bomo dobili dani kvadrat. Postopku iskanja tega števila rečemo korenjenje, najdenemu številu pa kvadratni koren.
Kvadratni koren števila je tisto število , za katerega je . Število zapišemo kot . Simbolu rečemo korenski znak, številu pa korenjenec.
Poglejmo, kakšni sta lahko števili a in x:
za definicijo kvadratnega korena vzamemo pozitivno od obeh vrednosti, torej
Do rešitev kvadratne enačbe lahko pridemo tudi z razstavljanjem:
Rešitvi sta dve: in
Poglejmo še, kaj se zgodi, če imamo v istem izrazu kvadrat in kvadratni koren. Podariti je treba pomembno razliko glede na to ali najprej korenimo korenjenec in potem kvadriramo ali obratno:
n-ti koreni
Pri kvadratnem korenu smo povedali, da je korenjenje obratna operacija od kvadriranja. Zdaj ta pojem razširimo za poljuben eksponent , kjer je naravno število. -ti koren števila je tisto število , za katerega velja . Dobljeno število zapišemo kot .
Ločimo dve definiciji, glede na to kakšna sta korenski eksponent in število :
Pravila za računanje s koreni:
za lihe korenske eksponente velja še
Dogovor glede zapisa :
Ta koren ne obstaja, zato ker je soda potenca poljubnega števila (pozitivnega ali negativnega) pozitivno število.
Ta koren ne obstaja. Korenski eksponent je lahko samo naravno število, 0 pa ni naravno število.
Zveza ne velja v splošnem, velja pa za nekatera izbrana števila n, a in b.
Primer 1- zveza ne velja:
Primer 2 - zveza velja:
Delno korenjenje in racionalizacija imenovalca
Delno korenjenje je postopek, ki ga uporabimo, kadar želimo koreniti število, ki ni popoln kvadrat, ga pa lahko zapišemo kot produkt popolnega kvadrata in še enega števila.
Zgled:
Postopek, kjer v imenovalcu ulomka odpravimo koren, imenujemo racionalizacija imenovalca. To naredimo tako, da ulomek (števec in imenovalec) pomnožimo s takim izrazom, da v imenovalcu odpravimo ulomek.
Zgled 1:
Zgled 2:
Delno korenimo, kadar je eksponent korenjenca večji od korenskega eksponenta, ni pa večkratnik korenskega eksponenta. Delno korenimo tako, da eksponent korenjenca zapišemo kot vsoto večkratnika korenskega eksponenta in ostanka. Večkratniški del potem korenimo, ostanek pa pustimo pod korenom.
Primer:
Potence z racionalnim eksponentom
Koren lahko zapišemo tudi kot potenco z racionalnim eksponentom. Definiramo oziroma .
Pravila za računanje s potencami z racionalnim eksponentom so enaka kot pravila za računanje s potencami s celim eksponentom:
Dogovorimo se, da bomo računali s potencami z racionalnim eksponentom samo takrat, kadar sta osnovi in pozitivni realni števili. Le v tem primeru je namreč vseeno, ali sta korenski in potenčni eksponent soda ali liha. Če bi imeli lahko tudi negativne osnove, bi morali vsako pravilo obravnavati posebej glede na to, kakšni so eksponenti.
Potenco pretvorimo tako, da predznak minus pripišemo številu v števcu. Potenčni eksponent je namreč lahko negativno število, korenski eksponent pa je lahko samo naravno število.
Zgled
Zdaj, ko poznamo povezavo med koreni in potencami, lahko izraze s koreni računamo na dva načina:
Oglejmo si oba načina pri poenostavljanju izraza .
Postopek 1 - računamo s koreni:
Postopek 2 - računamo s potencami:
Pri obeh postopkih dobimo isti rezultat, le zapis je različen, v prvem primeru rezultat zapišemo s korenom, v drugem pa s potenco z racionalnim eksponentom.
