Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Uporaba vektorjev

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Uvod

Čeprav smo se z mnogimi nalogami srečali že v prejšnjih poglavjih med obravnavo snovi, bomo nekatere, najznačilnejše za uporabo vektorjev, reševali še v tem zadnjem poglavju.

Naloge, v katerih nam vektorji najbolj koristijo, ponavadi zahtevajo računanje dolžin, kotov, preverjajo pravokotnost ali vzporednost kakih objektov in podobno. Vektorji so še posebno nepogrešljivi v nalogah, ki se dogajajo v tridimenzionalnem prostoru, saj si pri vprašanjih vzporednosti in pravokotnosti ne moremo pomagati s smernimi koeficienti premic oziroma daljic, kot si lahko v ravnini.

Pa začnimo!

Dokazati, da je lik kvadrat? Nič lažjega!

Dokaži, da vektorja $\vec a = (-4,-2,4)$ in $\vec b = (2,4,4)$ določata stranici kvadrata, in izračunaj njegovo ploščino.

Kaj mora veljati za vektorja, ki določata kvadrat?

Kako preverimo, ali sta vektorja pravkotna?

Oboje skupaj potrjuje, da vektorja res določata kvadrat s ploščino $S =$ °

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Vektorja morata biti pravokotna in se morata ujemati v dolžini.

Izračunamo njun skalarni produkt. Če je enak 0, sta vektorja pravokotna. Skalarni produkt danih vektorjev je $\vec a \cdot \vec b = -8-8+16=0$ , kar dokazuje pravokotnost vektorjev, njuni dolžini pa sta $|\vec a|= \sqrt{16+4+16} = \sqrt 36 = 6$ in $|\vec b|= \sqrt{4+16+16} = \sqrt 36 = 6$ .

Od kvadrata k pravokotnemu trikotniku

Pokaži, da je trikotnik z oglišči $A(5, –3, 5)$ , $B(8, 2, –2)$ in $C(2, –1, 1)$ pravokotni trikotnik, nato pa izračunaj obseg in ploščino trikotniku očrtanega kroga.

Da je trikotnik pravokoten, že znamo pokazati: mimogrede izračunamo, da je skalarni produkt vektorjev $\vec {CA}$ in $\vec {CB}$ enak 0.
Naredi to sam.

Za drugi del naloge pa potrebuješ del znanja geometrije iz 1. letnika. Se še spomniš, kako pravokotnemu trikotniku očrtamo krog?

Kje leži središče pravkotnemu trikotniku očrtanega kroga? Zakaj?

Izračunaj polmer in nato obseg ter ploščino trikotniku očrtanega kroga. Rešitve se skrivajo pod gumbkom.

Središče pravokotnemu trikotniku očrtanega kroga leži v razpolovišču hipotenuze. To zagotavlja Talesov izrek, ki pravi, da je vsak obodni kot nad premerom kroga pravi kot.

Najprej k polmeru $R$ trikotniku očrtanega kroga: izračunamo $S$ očrtanega kroga, ki je razpolovišče hipotenuze $AB$ , nato pa razdaljo med točkama $S$ in $C$ . Gre tudi drugače, z izračunom polovice dolžine hipotenuze $AB$ . Ko imamo $R$ , se lotimo obsega in ploščine:

$S =(\frac{13}{2},-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}),$ $R=|SC|=|\vec{SC}|=\frac{\sqrt{83}}{2},$ $o= 2 \pi \frac{\sqrt{83}}{2}= \pi \sqrt{83},$ $S= \pi R^2 = \pi \cdot (\frac{\sqrt{83}}{2})^2 = \frac{83 \pi}{4}.$

Paralelogram in vektorji

Dana so oglišča štirikotnika $ABCD$ : $A(–2, 0, 1)$ , $B(3, 1, –2)$ , $C(10, 3, –6)$ in $D(5, 2, –3)$ .

1. Dokaži, da je štirikotnik $ABCD$ paralelogram.

Kdaj je nek štirikotnik pralerogram?

Če je $ABCD$ paralelogram, mora biti $\vec {AB}= \vec {DC}$ . Preverimo, ali enakost drži: $\vec {AB} = \vec r_B- \vec r_A= (5,1,-3)$ , prav tako pa je $\vec {DC}= \vec r_C- \vec r_D= (5,1,-3)$ .

2. Izračunaj dolžini obeh diagonal paralelograma.

Kako si pri računanju dolžin diagonal pomagamo z vektorji?

Dolžina diagonale $AC$ je $|AC|= |\vec {AC}|= \sqrt {\vec {AC} \cdot \vec {AC}}= \sqrt {144+9+49}= \sqrt {202}$ .

Podobno je $|BD|= |\vec {BD}|= \sqrt {\vec {BD} \cdot \vec {BD}}= \sqrt {4+1+1}= \sqrt 6$ .

3. Določi presečišče $S$ diagonal paralelograma.

Presečišče diagonal v ravninskem liku bi verjetno izračunali z enačbami premic, na katerih presečišče leži. V prostoru pa enačb premic (še) ne znamo zapisati. Kako kljub temu določimo presečišče diagonal paralelograma?

Že veš? Pomisli na lastnost daigonal v paralelogramu.

Presečišče diagonal $S$ je razpolovišče daljice $AC$ , zato je $r_S=\frac{1}{2}(\vec r_A+\vec r_C)=\frac{1}{2} (8,3,-5)= (4,\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$ . Tako ima točka $S$ koordinate $S= (4,\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$ .

4. Izračunaj kot med diagonalama paralelograma na stotinko stopinje natančno.

Med katerima dvema vektorjema bomo računali kot, ki predstavlja kot med diagonalama?

Kot med diagonalama paralelograma lahko izračunamo takole:

$\cos \Phi=\frac{\vec {AC} \cdot \vec {BD}}{|\vec {AC}|\cdot |\vec {BD}|}=\frac{24+3+7}{\sqrt {6}\cdot \sqrt{202}}=\frac{34}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{202}} \Rightarrow \Phi = 12,41°.$

5. Kolikšna je ploščina paralelograma?

Poznaš kako formulo za ploščino paralerograma?

Ploščina paralelograma je tako $S=\frac{1}{2} ·e·f·sin?$ , kjer je $?$ kot med diagonalama $e=AC$ in $f=BD$ .

Tako je $S= \frac{e \cdot f \cdot sin \Phi}{2}= \frac{\sqrt {202} \cdot \sqrt 6 \cdot sin 12,41}{2}=3,74$ .

Štirikotnik $ABCD$ je paralelogram, ko ima dve nasprotni stranici vzporedni in skladni, kar pomeni, da sta vektorja na takih dveh stranicah enaka (če ju enako usmerimo).

Na celotno diagonalo postavimo vektor in izračunamo njegovo dolžino.

Diagonali v paralelogramu se razpolavljata, zato je presečišče $S$ obeh diagonal pravzaprav razpolovišče daljice $AC$ , pa tudi daljice $BD$ . Uporabili bomo obrazec za razpolovišče daljice.

Najbolje je računati kot med vektorjema $\vec {AC}$ in $\vec {BD}$ . Lahko bi računali tudi kot med $\vec {SA}$ in $\vec {SB}$ , ker pa bi se pri računanju točke $S$ lahko zmotili, je prva možnost računanja varnejša.

Običajno pomislimo na tisto, pri kateri je treba pomnožiti osnovnico in pripadajočo višino, torej $S=a·v$ . Če višino izrazimo s kotom paralelograma, dobimo $S=a·b·sin?$ .

Obstaja pa še druga možnost: ploščino poljubnega štirikotnika lahko izračunamo tako, da pomnožimo obe dolžini diagonal s sinusom kota med njima in produkt delimo z $2$ .

Ne pozabimo na trapez

Pokaži, da so točke $A(–2, –5, 0)$ , $B(3, 5, –5)$ , $C(1, 4, 2$ ) in $D(–1, 0, 4)$ oglišča trapeza, nato pa:

izračunaj presečišče diagonal trapeza;

zapiši enačbo premice, na kateri leži srednjica trapeza;

izračunaj ploščino trapeza.

Kaj mora biti izpolnjeno, da je štirikotnik zagotovo trapez?

Kako bomo z vektorji pokazali, da sta dve stranici vzporedni?

Pokažimo, da je $\vec {AB}= k \cdot \vec {DC}$ , pri čemer je $k$ neko realno število.

$\vec {AB}= \vec r_B - \vec r_A = (5,10,-5),$ $\vec {DC}= \vec r_C - \vec r_D = (2,4,-2)$

Hitro vidimo, da je iskano število $k=\frac{5}{2}$ , saj so količniki istoležnih komponent $\frac{5}{2}=\frac{10}{4}=\frac{-5}{-2}$ . Zato je $\vec {AB}= \frac{5}{2} \cdot \vec {DC}$ , kar potrjuje vzporednost stranic $AB$ in $CD$ in ugotovitev, da je štirikotnik trapez.

Za izračun presečišča diagonal potrebujemo skico trapeza.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Ker iščemo koordinate točke $S$ , določamo komponente njenega krajevnega vektorja. Če ga bomo s podatki (krajevnimi vektorji oglišč trapeza) izrazili na dva različna načina in ju enačili, bomo iz nastalega sistema enačb izračunali koordinate točke S.

Za prvi način zapisa krajevnega vektorja točke $S$ izberemo na primer tega:

$\vec r_S=(\vec r_A+k \cdot \vec {AC}).$

Če pišemo, da je neznani vektor $\vec r_S=(x,y,z)$ , ostala vektorja pa izračunamo in nato obravnavamo vsako komponento vektorjev posebej, dobimo naslednji sistem enačb:

$x= -2 +3k\ \wedge y=-5+9k\ \wedge z=2k.$

Poišči še en način izražanja krajevnega vektorja in nato določi koordinate točke S.

Ker premica v prostoru ne spada v nujno znanje vsakega srednješolca, se v celoti skriva pod gumbki.

Kako zapišemo enačbo premice v prostoru?

Kako izračunamo ploščino trapeza? Obstajata dva načina. Se spomniš obeh?

Sam izračunaj vse potrebno, rešitev pa se skriva pod gumbkom.

Trapez mora imeti dve vzporedni stranici.

Če sta npr. $AB$ in $CD$ vzporedni stranici, sta vzporedna tudi vektorja, ki na teh dveh stranicah ležita. To pomeni, da lahko enega od njiju izrazimo z drugim.

Čeprav je možnosti več, izberimo tisto pot do $S$ , ki gre do $B$ in nato vzame še del vektorja $\vec {BD}$ , torej:

$\vec r_S=(\vec r_B+l \cdot \vec {BD}).$

Iz te enakosti dobimo sistem enačb:

$x= -3-4l\ \wedge y=5-5l\ \wedge z=-5+9l.$

Po enačenju obeh zapisov koordinate $x$ , obeh zapisov za $y$ in za $z$ in po potrebnem urejanju sledi:

$3k+4l=5\ \wedge 9k+5l=10\ \wedge 2k-9l=-5.$

Rešitev tega sistema da koordinate točke S:

$S= (\frac{1}{7},\frac{10}{7},\frac{10}{7})$

Tudi tokrat potrebujemo sliko trapeza z vidno nosilko srednjice trapeza. Klikni na naslednji gumbek.

Slika premice nosilke srednjice

Opisati moramo lego poljubne točke na želeni premici. Na zgornji sliki je označena s $T$ .

Da bo točka $T$ zagotovo ležala na premici skozi $M$ in $N$ , moramo najprej prehoditi vektor do premice, na primer krajevni vektor točke $M$ , potem pa se premikati vzdolž vektorja poljubno daleč v eno ali drugo stran. Vse povedano krajše strne naslednja enakost:

$\vec r_T= \vec r_M+k \dot \vec {MN}).$

Če za poljubno točko $T$ pišemo $T(x, y, z)$ , enačbo premice nosilke srednjice zapišemo kot:

$(x,y,z)= (-\frac{3}{2},-\frac{5}{2}, 2)+k \cdot (\frac{7}{2},7,-\frac{7}{2}),$

kar v zapisu po posameznih komponentah tvori sistem enačb:

$x=-\frac{3}{2}+\frac{7k}{2}$ $y=-\frac{5}{2}+7k$ $z=2-\frac{7k}{2}$

Če za $k$ izbiramo različna realna števila, s tem računamo različne točke, ki pa vse ležijo na želeni premici. Jasno je, da smo najprej morali izračunati koordinate točk $M$ in $N$ kot razpolovišči ustreznih daljic in pri tem smo dobili $M(-\frac{3}{2},-\frac{5}{2}, 2)$ in $N(2,\frac{9}{2},-\frac{3}{2})$ . Preveri sam.

Prva formula vam je znana že iz osnovne šole. To je tista, ki pravi, da je treba pomnožiti srednjico in višino trapeza, drugo pa smo navedli v tem poglavju v nalogi s paralelogramom. Poišči jo.

Srednjico izračunamo kot povprečno vrednost trapezovih osnovnic, se pravi kot $s=\frac{|AB|+|CD|}{2}$ , pri čemer si pomagamo z dolžinami ustreznih vektorjev, višino pa najlažje z uporabo kotne funkcije sinus, in sicer kot $v=|AD|\cdot sin \alpha$ ; še prej je treba izračunati kot $?$ po formuli za kot med ustreznima vektorjema, to sta $\vec {AB}$ in $\vec {AD}$ .

Tu so podani natančni rezultati, brez zaokroževanja, razen v primeru ploščine:

$a= 5\sqrt 6,$ $c= 2\sqrt 6,$ $cos \alpha = \frac{\sqrt 7}{6} \Rightarrow sin \alpha = \frac{\sqrt {29}}{6},$ $v= \frac{\sqrt {1218}}{6},$ $S= \frac{7\sqrt {203}}{6}=49,87.$

Sam izračunaj ploščino še na drugi način tako, da pomnožiš dolžini obeh diagonal s polovico sinusa kota med diagonalama.

Vzporedni premiki – snov, kjer vektorji zablestijo

Ni boljšega matematičnega objekta za opis vzporednega premika, kot je vektor, saj v sebi zajema tako opis smeri kot dolžine premika.

Rešimo naslednjo nalogo

Trikotnik $ABC$ z oglišči $A(–3, –1, –4)$ , $B(2, 1, –2)$ in $C(–1, 3, 1)$ vzporedno premakni tako, da se bo oglišče $A$ premaknilo v točko $A'(1, –5, –3)$ .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Kam se premakneta oglišči $B$ in $C$ ? Kako bomo določili točki $B'$ in $C'$ ?

So vse točke na isti premici? Preveri, ali so točke $A(0, –2, 8)$ , $B(2, 4, 6)$ , $C(6, 16, 2)$ in $D(14, 40, –6)$ kolinearne.

Kako preverimo, ali štiri točke ležijo na isti premici?

Kaj si ugotovil glede danih točk? Tukaj preveri pravilnost svojega odgovora.

Očitno je, da se tako $B$ kot $C$ premakneta za isti vektor kot točka $A$ , ki se premakne za vektor

$\vec {AC'}= \vec r_C'-\vec r_A= (0,a,a)-(a,0,0) =(-a,a,a)$

Tako je , torej je točka

$B'(6, –3, –1)$ .

Točko $C' (3, –1, 2)$ določi z računom sam.

Če točke $A$ , $B$ , $C$ in $D$ ležijo na isti premici, so vektorji $\vec {AB}$ , $\vec {BC}$ in $\vec {CD}$ zagotovo kolinearni, kar pomeni, da vse izrazimo z enim od njih. Poudariti je treba, da samo kolinearnost vektorjev $\vec {AB}$ in $\vec {CD}$ ne zadošča za to, da bi vse štiri točke ležale na isti premici, saj se lahko zgodi, da sta $A$ in $B$ na eni, $C$ in $D$ pa na drugi premici. Obe možnosti prikazuje spodnja slika.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Točke $A$ , $B$ , $C$ in $D$ določajo naslednje vektorje: $\vec {AB}= (2,6,-2)$ , $\vec {BC}= (4,12,-4)$ in $\vec {CD}=(8,24,-8)$ . Hitro uvidimo, da je $\vec {BC}=2\vec {AB}$ in $\vec {CD}=4\vec {AB}$ . Ker lahko vse tri vektorje izrazimo z enim, so kolinearni, s tem pa so kolinearne tudi točke $A$ , $B$ , $C$ in $D$ .

Kot med telesnima diagonalama kocke - drugič

Vam je naloga o kotu med telesnima diagonalama kocke $ABCDA'B'C'D'$ znana? Če ste skrbno naredili domačo nalogo v poglavju o skalarnem produktu, se je morda spomnite. Tam smo imeli opravka s kocko z robom $a$ .

Ohranimo to kocko. Tokrat jo za spremembo postavimo v koordinatni sistem tako, da je oglišče $D$ v koordinatnem izhodišču, robovi kocke pa potekajo v smeri koordinatnih osi. Narišimo skico.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Med katerima dvema vektorjema bomo računali kot med telesnima diagonala kocke?

Zapiši komponente teh dveh vektorjev

Uporabimo formulo za kot med dvema vekotrjema, pa bo. Če ne gre, pokukaj pod gumb.

To sta lahko vektorja $\vec {AC'}$ in $\vec {BD'}$ .

$\vec {AC'}= \vec r_C'-\vec r_A= (0,a,a)-(a,0,0) =(-a,a,a)$ $\vec {BD'}= \vec r_D'-\vec r_B= (0,0,a)-(a,a,0) =(-a,-a,a)$

$\cos \Phi=\frac{\vec {AC'} \cdot \vec {BD'}}{|\vec {AC'}|\cdot |\vec {BD'}|}=\frac{(-a,a,a)\cdot (-a,-a,a)}{\sqrt {3 a^2}\cdot \sqrt{3 a^2}}=\frac{a^2-a^2+a^2}{\sqrt{3 a^2}}= \frac {a^2}{3 a^2}= \frac{1}{3} \Rightarrow \Phi = 70,53°.$

Točke, ki razdelijo daljico na enake dele

Kako izračunamo razpolovišče daljice, že vemo. Tokrat bi radi izpeljali obrazec za koordinate točke $T_x$ , ki stoji na koncu $x$ -tega dela, če smo daljico $AB$ razdelili na $n$ enakih delov. Narišimo skico.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Poišči še en način izražanja krajevnega vektorja in nato določi koordinate točke S.

Ker premica v prostoru ne spada v nujno znanje vsakega srednješolca, se v celoti skriva pod gumbki.

Kako zapišemo enačbo premice v prostoru?

Ker smo daljico $AB$ razdelili na $n$ enakih delov, je $x$ lahko najmanj $0$ (takrat je $T_x=A$ ) in največ $n$ (takrat je $T_x=B$ ).

Do točke $T_x$ pridemo tako, da gremo do točke $A$ , nato pa vzamemo primeren del celotne daljice $AB$ . Glede na to, da je vseh delov daljice $n$ , do točke $T_x$ pa jih potrebujemo $x$ , prehodimo del daljice, ki ga opiše ulomek . Vse to strnemo v enakost:

$\vec r T_x = \vec r_A + \frac{x}{n} \vec{AB}$

Če vektor $\vec{AB}$ izrazimo s krajevnima vektorjema točk $A$ in $B$ in izraz uredimo, pridemo do iskanega obrazca:

$\vec r T_x = \frac{n-x}{n}\vec r_A + \frac{x}{n} \vec r_B$

V tem primeru mora biti $n=2$ (delitev daljice na $2$ enaka dela) in $x=1$ , saj nas zanima točka na koncu prvega delitvenega dela. Preveri, ali res dobiš znano formulo. Pa naj bo primerov dovolj. Upam, da nam je uspelo prikazati uporabnost vektorjev, ki jo boš še bolje utrdil v dodatnih nalogah.

Naloga 1

Premakni trikotnik z oglišči $A(2, -3, 0)$ , $B(-4, 1, 2)$ in $C(-3, 2, 1)$ tako, da se bo oglišče $A$ premaknilo v koordinatno izhodišče. Kam se pri tem premakneta točki $B$ in $C$ ?

$B'=$ ( , , )
$C'=$ ( , , )

Vektor premika je $\vec p =$ ( , , ).

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 2

V trikotniku z oglišči $A(2, -3, 0)$ , $B(-4, 1, 2)$ in $C(-3, 2, 1)$ izračunaj: a) obseg,
b) največji kot,
c) dolžino težiščnice na stranico $a = BC$ .
(Odgovor zaokroži na dve decimalni mesti natančno)

$o =$

$110$

$\sqrt {110}$

$\sqrt 13 + \sqrt {21} \sqrt {51}$

$\sqrt 3 + 2\sqrt {14}$

$\gamma =$ °
$t_a =$

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 3

Ugotovi, ali so točke $A(2, 0, -1)$ , $B(7, 2, -4)$ , $C(1, 5, -3)$ in $D(-4, 3, 0)$ oglišča paralelograma. Če so, utemelji, ali gre v tem primeru za romb. To napravi na podlagi lastnosti diagonal.

Dane točke določajo paralelogram, ker sta vektorja na nasprotnih stranicah pravokotna enotna vzporedna enaka , torej:

$|\vec {AB}| = |\vec {DC}|$ .

$\vec {AB} \cdot \vec {DC}= 0$ .

$\vec {AB} = -1 \cdot \vec {DC}$ .

$\vec {AB} = \vec {DC} = (5, 2, −3)$

Paralelogram ni je romb, saj diagonali nista pravokotni enotni vzporedni enaki , torej:

$|\vec {e}| = |\vec {f}|$ .

$\vec {e} \cdot \vec {f}= 0$ .

$\vec {e} = -1 \cdot \vec {f}$ .

$\vec {e} \cdot \vec {f}= 8$ .

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Naloga 4

Pod kolikšnim kotom vidimo iz težišča trikotnika $ABC$ stranico $AB$ , če so oglišča trikotnika v točkah: $A(14, 4, 6)$ , $B(-2, 6, 8)$ in $C(6, 2, 4)$ ?
(Odgovor zaokroži na dve decimalni mesti natančno)
$\gamma =$ °

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Naloga 5

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Uporaba vektorjev

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Uporaba vektorjev

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno