Avtor: Marco Sarich

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„Oh ne!“ se je zaslišalo iz hišice, kjer prebivajo palčki. Papir za ovijanje daril se nevzdržno približuje koncu. Samo en samcat kvadratni list papirja je še na voljo za neutrudne palčke-zavijalčke.

Papir mora zadostovati še za zavijanje 15 daril, ki pa potrebujejo različno velike kose papirja, ki se hkrati razlikujejo tudi po obliki.

Palčki se vprašujejo, kako naj najbolj racionalno razrežejo ovijalni papir. Nekateri do ugotovitve, da papir najverjetneje ne bo zadostoval za vsa darila, drugi pa se s to trditvijo nikakor ne strinjajo. Vsi pa se strinjajo pri eni stvari: papir je treba razrezati tako, da bo zadoščal za kar nejvečje število daril. Ampak, koliko daril je sploh mogoče zaviti s tem kosom zavijalnega papirja?

Es war ja nun keineswegs so, dass Rentier Rudolf allen von Weihnachtsmann Willi vorgebrachten Neuerungen prinzipiell ablehnend gegenüberstand. Obgleich er beim Gedanken an Willis - damals unter viel Gestammel hervorgebrachter - Schnapsidee vom Motorschlitten und vorzeitigem Ruhestand nach all den Jahren noch immer eine gewisse Kränkung verspürte. Einzig das zerknirschte Versprechen des Weihnachtsmanns, seine allabendlichen Weihnachtsplätzchen in Zukunft brüderlich mit Rudolf teilen zu wollen, hatte das gefräßige Rentier davon abhalten können, den Job einfach hinzuschmeißen und in die verschneiten Weiten des weihnachtlichen Tannenwaldes davonzulaufen.

Jedenfalls war es den beiden seitdem zu einer lieb gewonnen Gewohnheit geworden, sich die langen Winterabende mit dem Spiel „Schere, Stein, Papier“1 zu vertreiben. Nach jeder Runde durfte sich der Gewinner eines der knusprigen Zimt- und Zucker-Plätzchen vom immer gut gefüllten Plätzchenteller nehmen. Im Falle eines Unentschiedens teilten sich die beiden ein Plätzchen. Und dass Rudolf sich mit absichtlich nicht ganz eindeutigen Gesten seiner, zugegeben etwas ungelenken, rechten Vorderhufe einen Vorteil zu verschaen suchte, war in letzter Zeit fast gar nicht mehr vorgekommen. Schließlich war - bei geschicktem Spiel - für keinen von beiden plätzchenmäßig ein Nachteil zu erwarten. Selbst in Rudolfs vernageltem Rentierschädel war irgendwann die Einsicht gereift, dass es wohl das Beste war, in jeder neuen Runde eine der drei Gesten Schere, Stein und Papier zufällig und gleichberechtigt zu wählen, und zwar ohne dabei das Ergebnis der vorherigen Runden in Betracht zu ziehen.

Als jedoch eines Abends Weihnachtsmann Willi aus heiterem Himmel die Spielregeln um die Geste „Brunnen“ erweiterte, kam es zu einer empndlichen Störung des häuslichen Friedens. Dass Stein und Schere in den Brunnen fallen können und diesem damit unterlegen sind, das Papier jedoch den Brunnen abdeckt und damit überlegen ist, wollte Rudolf erst nicht so recht einsehen, nahm es aber mürrisch zur Kenntnis. Für ihn als Paarhufer war es jedoch schlechterdings unmöglich, die kreisförmige Brunnengeste zu imitieren. Willi dagegen fand großen Gefallen an der Geste und wollte keinesfalls auf diese Erweiterung verzichten. Andererseits sah er natürlich das mit Rudolfs Ungelenkigkeit einhergehende Plätzchenhandicap. Schließlich einigten sich beide darauf, Rudolfs Handicap dadurch auszugleichen, dass sich das Rentier alle soundsoviel Runden zusätzliche Plätzchen vom Teller nehmen darf. Natürlich brach sofort der nächste Streit über die korrekte Anzahl von Runden und Plätzchen los, die auch weiterhin eine gerechte Verteilung der Plätzchen gewährleisten würde.

Kannst du den beiden helfen? Nach wie vielen Runden sollte Rudolf sich jeweils zusätzliche Plätzchen nehmen dürfen und wie viele davon, damit auf lange Sicht die Plätzchen weiterhin gerecht zwischen Willi und Rudolf verteilt werden? (Natürlich unter der Annahme, dass beide möglichst geschickt spielen). 1Spielregeln, auch für die weiter unten erwähnte Erweiterung, findet man z.B. bei Wikipedia.

Der Wichtel Kasimir zeichnet ein regelmäßiges Zwölfeck auf eine Weihnachtskarte. Dann zeichnet er alle Diagonalen des Zwölfecks ein, und da es insgesamt 54 Diagonalen gibt, dauert dies einige Zeit. Dann zählt Kasimir die Schnittpunkte aller 54 Diagonalen im Inneren des Zwölfecks, indem er sie mit dem Finger antippt. Falls drei oder vier oder mehr Diagonalen einander im selben Punkt schneiden, so wird dieser Schnittpunkt von Kasimir natürlich nur einmal angetippt und nur einmal gezählt. Zum Beispiel zählt Kasimir den Mittelpunkt des Zwölfecks als einen einzigen Schnittpunkt (und in diesem Punkt schneiden einander sechs der Diagonalen). Bestimme die Anzahl der inneren Diagonalenschnittpunkte.

Wie jedes Jahr zur Vorweihnachtszeit haben die Wichtel Anton und Bertram nur Blödsinn im Kopf. Eben sind sie in die Geschenkefabrik des Weihnachtsmanns eingebrochen und haben zwei Päckchen mit Geschenkgutscheinen für Schokoladentafeln entwendet. Bezüglich des Aussehens und des Gewichtes unterscheiden sich die beiden Päckchen nicht; Anton und Bertram wissen nur, dass ausschließlich 2-er Potenzen als Gutscheinwert auftreten und für den einen Gutschein doppelt so viele Tafeln einzulösen sind wie für den anderen. Nun sind sie gerade dabei auszuknobeln, wer nun welches Päckchen bekommen soll. Plötzlich schnappt sich Anton ein Geschenk und reißt es auf. Bertram (verärgert): Was soll das? Weshalb machst du das erste Päckchen auf?

Anton: 32 Tafeln! Nur 32 Tafeln! Ich habe eine gute Idee ... wenn du unbedingt willst, kannst du den Gutschein haben. Ich nehme lieber das andere Päckchen.

Bertram (trotzig): Das könnte dir so passen. Weshalb willst du jetzt auch noch tauschen?

Anton: Wenn du dir das genau überlegst, dann bekomme ich im Durchschnitt mehr. Angenommen ich hätte einen Gutschein für eine Tafel gefunden, dann wären im zweiten Päckchen genau zwei Tafeln gewesen. In dem Fall, dass ich x Tafeln für x verschieden von 1 gezogen hätte, bekäme ich durch das Tauschen entweder x∕2 oder 2x Tafeln und zwar jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1∕2. Das macht im Schnitt 1∕2 ⋅ 2x + 1∕2 ⋅ x∕2 = 5∕4 ⋅ x Tafeln; also 25 Prozent mehr.

Bertram: Was erzählst du da wieder für einen Unfug. Du machst da einen gravierenden Denkfehler…

Frage 1: Wer hat hier Recht? Anton oder Bertram?

In der Zwischenzeit hat Conrad das ganze Treiben mitbekommen und sagt: Conrad: Zufälligerweise habe ich mitbekommen, nach welchem raffinerten Mechanismus der Inhalt solcher Päckchenpaare jedesmal festgelegt wird. Der Osterhase würfelt solange mit einem fairen Würfel bis zum ersten Mal eine Sechs erscheint. Wird dabei x-mal keine Sechs gewürfelt, so kommt in das eine Päckchen ein Wertgutschein über 2x Tafeln und in das andere Päckchen der Gutschein über 2x+1 Tafeln.

Anton, Bertram (gemeinsam): Das ändert doch nun wirklich nichts an der Betrachtungsweise.

Conrad: Da seid euch mal nicht zu sicher!

Frage 2: In welcher Spanne liegt, mit der Zusatzinformation von Conrad, der Erwartungswert für die Menge an Schokolade des anderen Päckchens, wenn man das erste Päckchen mit einem Gutschein über 32 Schokoladentafeln geöffnet hat?

Es sollte eine tolle Überraschung werden. In den letzten Jahren hat es die viele Arbeit immer nicht zugelassen. Aber dieses Jahr will der Osterhase seinen guten Freund, den Weihnachtsmann, am Weihnachtsabend besuchen und freut sich schon sehr auf das überraschte Gesicht von ihm. Doch irgendwie haben drei Wichtel, Franz, Rita und Ole, von dem geplanten Besuch erfahren. Leider können sie nichts für sich behalten. Sobald sich Wichtel treffen, reden sie über alles, was sie gehört haben. Selbst, wenn der Weihnachtsmann dabei ist, werden alle Informationen ausgetauscht. Bei folgenden Aktivitäten treffen Wichtel bzw. Wichtel und Weihnachtsmann aufeinander.

Franz und Hella treffen sich bei einer heißen Schokolade. Ole, Hella und Emil gehen zusammen schwimmen. Emil und Theo treffen sich in der Sauna. Theo und Erika diskutieren gerne bei einem Glas Wein. Ina, Harry und Nelly spielen zusammen Skat. Rita und Harry treffen sich beim Tischtennis. Erika, Nelly, Alfons und Caro spielen zusammen Poker. Theo, Hanna und der Weihnachtsmann gehen zusammen rodeln. Ina, Caro und der Weihnachtsmann spielen zusammen Basketball. Alfons und der Weihnachtsmann fahren zusammen Ski. Welche Aktivitäten müssten bis zum Weihnachtsabend ausfallen, damit der Weihnachtsmann ganz sicher nichts vom geplanten Besuch erfährt?