Avtor: Marco Sarich

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„Oh ne!“ se je zaslišalo iz hišice, kjer prebivajo palčki. Papir za ovijanje daril se nevzdržno približuje koncu. Samo en samcat kvadratni list papirja je še na voljo za neutrudne palčke-zavijalčke.

Papir mora zadostovati še za zavijanje 15 daril, ki pa potrebujejo različno velike kose papirja, ki se hkrati razlikujejo tudi po obliki.

Palčki se vprašujejo, kako naj najbolj racionalno razrežejo ovijalni papir. Nekateri do ugotovitve, da papir najverjetneje ne bo zadostoval za vsa darila, drugi pa se s to trditvijo nikakor ne strinjajo. Vsi pa se strinjajo pri eni stvari: papir je treba razrezati tako, da bo zadoščal za kar nejvečje število daril. Ampak, koliko daril je sploh mogoče zaviti s tem kosom zavijalnega papirja?

Es war ja nun keineswegs so, dass Rentier Rudolf allen von Weihnachtsmann Willi vorgebrachten Neuerungen prinzipiell ablehnend gegenüberstand. Obgleich er beim Gedanken an Willis - damals unter viel Gestammel hervorgebrachter - Schnapsidee vom Motorschlitten und vorzeitigem Ruhestand nach all den Jahren noch immer eine gewisse Kränkung verspürte. Einzig das zerknirschte Versprechen des Weihnachtsmanns, seine allabendlichen Weihnachtsplätzchen in Zukunft brüderlich mit Rudolf teilen zu wollen, hatte das gefräßige Rentier davon abhalten können, den Job einfach hinzuschmeißen und in die verschneiten Weiten des weihnachtlichen Tannenwaldes davonzulaufen.

Jedenfalls war es den beiden seitdem zu einer lieb gewonnen Gewohnheit geworden, sich die langen Winterabende mit dem Spiel „Schere, Stein, Papier“1 zu vertreiben. Nach jeder Runde durfte sich der Gewinner eines der knusprigen Zimt- und Zucker-Plätzchen vom immer gut gefüllten Plätzchenteller nehmen. Im Falle eines Unentschiedens teilten sich die beiden ein Plätzchen. Und dass Rudolf sich mit absichtlich nicht ganz eindeutigen Gesten seiner, zugegeben etwas ungelenken, rechten Vorderhufe einen Vorteil zu verschaen suchte, war in letzter Zeit fast gar nicht mehr vorgekommen. Schließlich war - bei geschicktem Spiel - für keinen von beiden plätzchenmäßig ein Nachteil zu erwarten. Selbst in Rudolfs vernageltem Rentierschädel war irgendwann die Einsicht gereift, dass es wohl das Beste war, in jeder neuen Runde eine der drei Gesten Schere, Stein und Papier zufällig und gleichberechtigt zu wählen, und zwar ohne dabei das Ergebnis der vorherigen Runden in Betracht zu ziehen.

Als jedoch eines Abends Weihnachtsmann Willi aus heiterem Himmel die Spielregeln um die Geste „Brunnen“ erweiterte, kam es zu einer empndlichen Störung des häuslichen Friedens. Dass Stein und Schere in den Brunnen fallen können und diesem damit unterlegen sind, das Papier jedoch den Brunnen abdeckt und damit überlegen ist, wollte Rudolf erst nicht so recht einsehen, nahm es aber mürrisch zur Kenntnis. Für ihn als Paarhufer war es jedoch schlechterdings unmöglich, die kreisförmige Brunnengeste zu imitieren. Willi dagegen fand großen Gefallen an der Geste und wollte keinesfalls auf diese Erweiterung verzichten. Andererseits sah er natürlich das mit Rudolfs Ungelenkigkeit einhergehende Plätzchenhandicap. Schließlich einigten sich beide darauf, Rudolfs Handicap dadurch auszugleichen, dass sich das Rentier alle soundsoviel Runden zusätzliche Plätzchen vom Teller nehmen darf. Natürlich brach sofort der nächste Streit über die korrekte Anzahl von Runden und Plätzchen los, die auch weiterhin eine gerechte Verteilung der Plätzchen gewährleisten würde.

Kannst du den beiden helfen? Nach wie vielen Runden sollte Rudolf sich jeweils zusätzliche Plätzchen nehmen dürfen und wie viele davon, damit auf lange Sicht die Plätzchen weiterhin gerecht zwischen Willi und Rudolf verteilt werden? (Natürlich unter der Annahme, dass beide möglichst geschickt spielen). 1Spielregeln, auch für die weiter unten erwähnte Erweiterung, findet man z.B. bei Wikipedia.

Der Wichtel Kasimir zeichnet ein regelmäßiges Zwölfeck auf eine Weihnachtskarte. Dann zeichnet er alle Diagonalen des Zwölfecks ein, und da es insgesamt 54 Diagonalen gibt, dauert dies einige Zeit. Dann zählt Kasimir die Schnittpunkte aller 54 Diagonalen im Inneren des Zwölfecks, indem er sie mit dem Finger antippt. Falls drei oder vier oder mehr Diagonalen einander im selben Punkt schneiden, so wird dieser Schnittpunkt von Kasimir natürlich nur einmal angetippt und nur einmal gezählt. Zum Beispiel zählt Kasimir den Mittelpunkt des Zwölfecks als einen einzigen Schnittpunkt (und in diesem Punkt schneiden einander sechs der Diagonalen). Bestimme die Anzahl der inneren Diagonalenschnittpunkte.

Kot vsako leto okoli božiča imata tudi letos Anton in Bertram samo neumnosti v glavi. Tako sta med drugim vlomila v Božičkovo tovarno daril in vkradla komplet dveh paketkov z darilnia bonoma za čokolado. Po izgledu in teži se paketka ne razlikujeta, Anton in Bertram vesta samo to, da je število tablic čokolade v darilnem bonu vedno potenca števila 2, ter da je v enem izmed paketkov bon za dvakrat toliko čokolade kot v drugem. Sedaj se odločata, kdo bo doibl katerega izmed paketkov. Kar naenkrat pa Anton vzame endaga izmed paketkov ter ga odpre.

Bertram (jezen): "Kaj to pomeni! Zakaj si odprl paketek?"

Anton: "32 tablic! Samo 32 tablic čokolade! Imem dobro idejo...če res želiš, potem lahko imaš ti ta kuponček. Jaz bom raje vzel drugi paketek."

Bertram: "Ah, zakaj pa želeiš zdaj poleg vsega še menjati?"

Anton: "Če dobro premisliš, potem dobim v povprečju več, če menjam. Recimo, da bi prejel kuponček za eno tablico čokolade, potem bi bili v drugem paketku natanko 2 tablici. V primeru, da bi dobil kuponček za x tablic, pri čemer je x različen od 1, potem v preimeru menjave dobim bodisi 2x bodisi tablic čokolade, z verjetnostjo za vsako od možnosti. Potem dobim v povprečju: tablic; torej 25% več"

Bertram: "Ah, kakšne neumnosti spet govoriš!"

Vprašanje 1: Kdo ima prav? Anton ali Bertram?

V bližini je bil Conrad, ki je ujel ves pogovor.

Conrad: Slučajno sem ujel, po kakšnem zanimivem mehanizmu določajo število tablic čokolade v teh paketkih. Velikonočni zajec tako dolgo meče kocko, dokler ne vrže šestice. Če je pred metom šestice x-krat vrgel nekaj drugega, potem ima prvi darilni bon tablic čokolade, drugi bon pa je za .

Anton, Bertram(skupaj): "Ah, pa saj to ne spremeni računanja."

Conrad: "Ne bodita tako prepričana!"

Moralo bi biti čudovito presenečenje. Zadnjih nekaj let, je bilo vedno premalo časa ob vsej obilici dela. Vendar se je letos Velikonočni zajček odločil da bo na prede večer Božiča obiskal svojega dobrega prijatelja, gospoda Božička. Zajček se že zelo veseli trenutka, ko bo zagledal njegov presenečen izraz na obrazu. Vendar pa so o zajčkovih načrtih po naključju izvedeli trije palčki, Franci, Rita in Oli, ki pa skrivnosti o obisku ne morejo zadržati zase. Palčki so namreč neverjetno klepetava bitja in vedno, kose srečajo, si povedo vse kar so videli ali slišali. Tudi če so v družbi Božička, jih to ne zaustavi. V veselem decembru se palčki, palčice in Božiček srečujejo pri naslednjih aktivnostih:

• Franci in Hella skupaj pijeta vročo čokolado.
  
• Oli, Hella in Emil hodijo skupaj plavat.
  
• Emil in Teo se srečujeta v savni.
  
• Teo in Erika rada klepetata ob kozarcu vina.
  
• Ina, Harry in Neli radi skuapj igrajo igro s kartami, ki se ji reče Skat.
  
• Rita in Harry skupaj igrata namizni tenis.
  
• Erika, Neli, Alfonz in Caro skupaj igrajo poker.
  
• Teo, Hana in Božiček se dobivajo pri igri košarke.
  
• Alfonz in Božiček skupaj hodita smučat.
  

Katere aktivnosti morajo biti izpuščene do Božiča, da bo presenečenje Velikonočnega zajčka zares uspelo in Božiček o obisku ne bo prej nič izvedel?

Palček Joni je povsem razburjen. "Hotel! Sredi največjih in najbolj strmih gor! Kako neumna ideja! In poleg vsega ša za - kako je že rekel - individualističe turiste."
"'Pazi to!' je rekel. 'To pisarniško stavbo sem zelo ugodno kupil- praktično mi je bila podarjena - Hohoho'. V njej so dolgočasne pisarne, iz njih bomo naredili sobe. Hohoho!'"
"Oh, kako sovražim ta smeh. Odkar je Božiček zaradi Grincha bil pri terapevtu, ima stalno čudne ideje in ta neumni smeh..."
"Ampak prav, naj mu bo, naj ima svoj hotel. Iz 25 majhnih kvadratnih pisarn bomo naredili hotel, kot ga še nihče ni videl. Podrli bomo nekaj sten in naredili sobe, pri čemer oblika nobenih dvehsob ne bo enaka po kongruenci."
"Kako bodo ljudje prišli v sobo? Nimam pojma. O hodnikih ni bilo govora, tudi najemniki pisarn niso imeli posebnih vhodov. No, očitno se bodo morali individualistični turisti po svoje znajti."
"Čimvečje možno število sob naj bi bilo v hotelu, ampak res ne vem, koliko je to..Koliko je največje število sob, ki jih lahko zgradimo v tem hotelu?"