Izjave
Izjava je v matematiki vsak smiselni povedni stavek. Za dano izjavo lahko vedno določimo, ali je pravilna ali nepravilna. Izjave bomo označevali z velikimi tiskanimi črkami:
Izjavi A in C sta pravilni - oznaka (p ali 1), izjave C, D, E pa so nepravilne - oznaka (n ali 0)
Za velelni stavek "Odnesi smeti!" ne moremo reči, ali je pravilen ali nepravilen, zato ni izjava.
Za vprašalni stavek "Ali zunaj dežuje?" ne moremo reči, ali je pravilen ali ne, zato ni izjava.
Recimo, da je izjava "Ta izjava je nepravilna" pravilna. Potem mora biti res, kar ta izjava pravi, to je, da je nepravilna. To pa ne drži, torej izjava ni pravilna!
Preverimo še primer, ko je izjava nepravilna. Potem ni res, kar pravi izjava, to je, da je nepravilna, torej je izjava pravilna. Spet pridemo v protislovje!
Izjavam, za katere ne moremo določiti, ali so pravilne ali nepravilne, pravimo paradoksi.
Med znanimi paradoksi sta še izjavi:
Sestavljene in elementarne izjave
Izjave lahko med seboj povezujemo v "nove" sestavljene izjave, katerih pravilnost je odvisna od pravilnosti posameznih izjav, iz katerih je nova izjava sestavljena in načina povezave med izjavami.
Logika raziskuje pravilnost oziroma nepravilnost sestavljenih izjav v odvisnosti od pravilnosti elementarnih izjav.
Negacija
Negacija izjave je izjava, ki trdi nasprotno kot izjava . Negacijo izjave označimo z . Če je prvotna izjava pravilna, je negirana izjava nepravilna in obratno, če je prvotna izjava nepravilna, je negirana izjava pravilna.
PRAVILNOSTNA TABELA
Če pogledamo izjave iz prejšnje definicije:
potem se negacije teh izjav glasijo:
Negacija negirane izjave je prvotna izjava: .
Negacija je edina enočlena izjavna povezava.
Negacije besednih zvez "je najlepši", "je najtežji", NISO "je najgrši", "je najlažji". Kadar zanikamo npr. "je najlepši", to pomeni le, da ni najlepši, torej je lahko drugi najlepši, tretji najlepši ...
Konjunkcija
Konjunkcija dveh izjav in je sestavljena izjava, pri kateri hkrati veljata izjavi in . Oznaka za konjunkcijo je znak . Izraz preberemo "A in hkrati B". Ker zahtevamo hkratno pravilnost obeh izjav, je konjunkcija pravilna le, èe sta obe izjavi pravilni.
PRAVILNOSTNA TABELA
| A | B | |
| p | p | p |
| p | n | n |
| n | p | n |
| n | n | n |
Konjunkcija je pravilna, saj sta obe izjavi pravilni.
Konjunkcija ni pravilna, saj 18 ni deljivo z 8.
Disjunkcija
Sestavljeno izjavo, pri kateri hkrati veljata vsaj ena od izjav in , imenujemo disjunkcija. Oznaka za disjunkcijo je znak . Izraz preberemo "A ali B". Za pravilnost disjunkcije zahtevamo pravilnost vsaj ene od obeh izjav, zato je disjunkcija nepravilna le, če sta obe izjavi nepravilni.
PRAVILNOSTNA TABELA
| A | B | |
| p | p | p |
| p | n | p |
| n | p | p |
| n | n | n |
V vsakdanjem življenju besedico ali večkrat razumemo kot izključitev. V izjavi "Miha je sedaj v šoli ali v trgovini." je lahko hkrati pravilna samo ena od možnosti, torej bodisi je Miha v šoli bodisi v trgovini.
V matematični logiki pa razumemo besedico ali kot izpolnitev oziroma pravilnost vsaj ene od izjav, to pomeni, da lahko tudi obeh: "Miha bo jutri jedel juho ali bo šel v kino."
Disjunkcija je pravilna, ker je druga izjava pravilna.
Disjunkcija je nepravilna, ker sta obe izjavi nepravilni.
Implikacija
Implikacija je izjava oblike "iz A sledi B" oziroma "če velja A, potem velja B". Označimo jo z . Izjavo A imenujemo pogoj, izjavo B pa posledica ali sklep.
Implikacija je nepravilna, če iz pravilnega pogoja sledi nepravilna posledica.
Implikacija je pravilna v vseh ostalih primerih.
PRAVILNOSTNA TABELA
| A | B | |
| p | p | p |
| p | n | n |
| n | p | p |
| n | n | p |
Primer implikacije je:
Če je število deljivo z 8, potem je deljivo tudi s 4.
Sklep je jasen, saj velja . Ne velja pa obratno! Če je število deljivo s 4, še ni nujno, da je deljivo tudi z 8 (primer: 12 je deljivo s 4, ni pa deljivo z 8).
PREMISLITE
Starši ti obljubijo: "Če boš uspešno maturiral, ti bomo kupili avto.". Kdaj je njihova izjava pravilna?
Le v primeru, če si uspešno maturiral in ti avta niso kupili, boš rekel, da so prelomili obljubo, torej, je izjava nepravilna. Starši ti namreč nič niso rekli, kaj se bo zgodilo v primeru neuspešnega maturiranja. Lahko ti kupijo avto ali pa ne. Vidimo, da je implikacija nepravilna le v primeru, ko iz pravilnega pogoja, sledi nepravilna posledica.
Ekvivalenca
Ekvivalenca je izjava oblike (beremo: "izjava A velja natanko tedaj, ko velja izjava B" oz. "izjava A velja, če in samo če velja izjava B").
Ekvivalenca je pravilna v primeru, da sta izjavi A in B enakovredni (imata isto logično vrednost). Torej velja, da je ekvivalenca pravilna natanko tedaj, kadar sta obe izjavi A in B hkrati pravilni ali hkrati nepravilni.
PRAVILNOSTNA TABELA
| A | B | |
| p | p | p |
| p | n | n |
| n | p | n |
| n | n | p |
Primer ekvivalence:
Ta izjava pomeni, da ti avto kupijo če in samo če boš uspešno maturiral. V tej izjavi je skrita tudi informacija, kaj bo sledilo, če ne boš uspešneo maturiral - ostal boš brez avta. Vidimo, da je ekvivalenca pravilna, kadar iz pravilnega pogoja sledi pravilen sklep ali če iz nepravilnega pogoja sledi nepravilen sklep.
Če sta A in B ekvivalentni, potem sta bodisi obe hkrati pravilni bodisi obe hkrati napačni. Potem pa sta tudi B in A ekvivalentni.
Velja torej: natanko tedaj, ko .
Vrstni red izvajanja logičnih povezav
Primer: lahko zapišemo kot: .
lahko z oklepaji zapišemo kot (iz ne A sledi B).
V drugem primeru ni res, da iz A sledi B. Iz teorije implikacije vemo, da natanko tedaj, ko velja.
Imamo torej izraza
ki sta seveda različna. Vrstni red in oklepaji so, kot smo videli, zelo pomembni.
Povezovanje izjav
Poveži osnovno logično operacijo z njenim imenom.
Še enkrat poskusi.
| NE | NEGACIJA |
| IN | KONJUNKCIJA |
| ALI | DISJUNKCIJA |
| SLEDI oz. "če - potem " | IMPLIKACIJA |
| NATANKO TEDAJ | EKVIVALENCA |
Povezovanje izjav
Poveži znak za osnovno logično operacijo z njenim imenom.
Še enkrat poskusi.
| ali ~ | NEGACIJA |
| KONJUNKCIJA | |
| DISJUNKCIJA | |
| IMPLIKACIJA | |
| EKVIVALENCA |
