Razlika med zveznimi in nezveznimi funkcijami
Zveznost funkcij je ena od mnogih lastnosti funkcij, ki jo na grafu funkcije hitro prepoznamo. Intuitivno preprosta lastnost, matematično pa kar zahtevna.
Na primeru grafov na spodnjih slikah bomo ugotovili intuitivno razliko med zveznimi in nezveznimi funkcijami.
Preglej grafe funkcij (slika1), (slika 2) in (slika 3) in ugotovi, v čem so si podobni in v čem se razlikujejo. Osredotoči se na funkcijsko vrednost posameznih funkcij v točki .
|
| Slika 1: | |
| Slika 2: | |
| Slika 3: |
Kaj lahko ugotovimo in sklepamo o funkcijah na slikah?
Funkcije , in so definirane za vsa realna števila, tudi za . Ravno v tej točki pa se vrednosti funkcij bistveno razlikujejo: , in . Graf funkcije je kljub deljenemu predpisu nepretrgan, saj si vrednosti funkcije sklenjeno sledijo tudi v okolici točke . Grafa funkcij in pa sta na definicijskem območju pretrgana, tudi graf , pa čeprav manjka samo ena točka – , da bi bila krivulja sklenjena.
Če sedaj nekako besedi sklenjeno, nepretrgano povežemo z matematičnim pojmom zveznost, intuitivno ugotovimo:
„Če je graf funkcije v točki nepretrgan (sklenjen), je funkcija v tej točki zvezna. Če pa je graf funkcije v točki pretrgan (nesklenjen), je funkcija v tej točki nezvezna.″
Torej sta funkciji in nezvezni, funkcija pa zvezna.
Elementarne funkcije
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V galeriji grafov elementarnih funkcij si še enkrat osveži spomin in razmisli o pravilnosti naslednjih izjav.
1. Linearna funkcija je zvezna v vsaki točki .
Odlično! Graf linearne funkcije je premica, ki pa je nepretrgana krivulja.
To pa ne bo držalo! Graf linearne funkcije je premica, ki pa je nepretrgana krivulja.
Odlično! Zaloga vrednosti funkcije ne vpliva na zveznost, pomembna je krivulja. Kvadratna parabola pa je nepretrgana krivulja, zato je v vsaki točki kvadratna funkcija zvezna.
To pa ne bo držalo! Zaloga vrednosti funkcije ne vpliva na zveznost, pomembna je krivulja. Kvadratna parabola pa je nepretrgana krivulja, zato je v vsaki točki kvadratna funkcija zvezna.
Pravilno. Vemo že, da so grafi polinomov gladke nepretrgane krivulje, to pa se sklada z intuitivno ugotovitvijo o zveznosti funkcij.
Nepravilno. Vemo že, da so grafi polinomov gladke nepretrgane krivulje, to pa se sklada z intuitivno ugotovitvijo o zveznosti funkcij.
Razmisli o obliki grafa potenčnih funkcije.
Pravilno. Vemo že, da so grafi polinomov gladke nepretrgane krivulje, to pa se sklada z intuitivno ugotovitvijo o zveznosti funkcij.
Nepravilno. Vemo že, da so grafi polinomov gladke nepretrgane krivulje, to pa se sklada z intuitivno ugotovitvijo o zveznosti funkcij.
Razmisli o obliki oz. sklenjenosti krivulje grafa polinoma.
Bistvo sklepanja o odgovorih je poznavanje grafov funkcij. Tudi druge elementarne funkcije iz galerije slik so zvezne. Vse funkcije v galeriji so zvezne v vsaki točki realne osi razen logaritemske, ki pa je zvezna za vsako pozitivno realno število, saj je definirana le za ta števila.
Zakaj niso slike 1, 2 in 3 na začetku slike elementarnih funkcij?
Sedaj, ko intuitivno znamo ugotoviti, ali je funkcija zvezna, se lotimo matematične formulacije zveznosti funkcije. Pri tem nam pomaga limita funkcije. Ta namreč veliko pove o obnašanju funkcije v okolici točke, pri kateri opazujemo zveznost.
|
|
Galerija elementarnih funkcij zajema večino elementarnih funkcij, za katere se da hitro ugotoviti, da so zvezne v vsaki točki, kjer so definirane. Zato smo morali pri primerih na slikah 1, 2 in 3 poseči po funkcijah z deljenim predpisom, ki omogoča, da tvorimo tudi nezvezne funkcije. Med elementarnimi funkcijami ni preprostih nezveznih funkcij. Kdor pomisli recimo na racionalne funkcije, funkciji tangens in kotangens ter se spomni, da imajo te funkcije graf pretrgan (nesklenjena krivulja), in meni, da so to nezvezne funkcije, se moti. Grafi so namreč pretrgani v polih teh funkcij, kjer funkcija sploh ni definirana, za ugotavljanje zveznosti funkcije pa mora biti funkcija v dani točki definirana.
Limita funkcije
Funkcija v točki ima limito, saj se vrednosti funkcije z leve in z desne bližajo k . Torej:
Obstoj limite še ne zagotavlja zveznosti v točki, saj ima recimo funkcija v točki limito, ni pa zvezna.
Funkcija v točki nima limite, saj se vrednosti funkcije z leve bližajo k , z desne pa k . Za obstoj limite pa se morajo vrednosti funkcije bližati k isti vrednosti.
Gotovo torej velja, da funkcija, ki v dani točki nima limite, v tej točki ni zvezna.
Kaj je torej pogoj za zveznost? Oglejmo si še funkcijo , ki je zvezna.
Vprašanje
Ali obstaja limita funkcije , ko gre proti ?
Kje je torej razlika?
Pomembna razlika je v vrednosti funkcij in v točki . Vrednost funkcije je ravno , kot vrednost limite, medtem ko vrednost funkcije ni enaka njeni limiti, saj je enaka . In prav to je argument za matematično definicijo zveznosti. Limita funkcije mora v dani točki obstajati in biti enaka vrednosti funkcije v tej točki.
Funkcija v točki ima limito, saj se vrednosti funkcije z leve in z desne bližajo k . Torej:
Zveznost
Dogovorimo se.
Funkcija je v točki zvezna natanko tedaj, ko je v točki definirana in velja: |
| Funkcija je zvezna na intervalu , če je zvezna v vsaki točki tega intervala. |
Zapomnimo si, da so že zgoraj omenjene elementarne funkcije zvezne. Tej skupini lahko dodamo še konstantno funkcijo, ki je tudi zvezna. Znane zvezne funkcije:
|
Zveznost
Za računanje pa so pomembne še naslednje ugotovitve:
| Če sta funkciji in v točki zvezni, so tudi funkcije vsota , produkt in količnik (če ) zvezne v točki . |
Zato velja: |
Če pokukaš v poglavje Računanje limit funkcij, najdeš pravila, ki jih lahko strneš takole:
Če obstajata limiti funkcij
in
potem velja:
Če ta pravila uporabimo v naših primerih in pri tem upoštevamo
in
, pridemo do zgornjih formul, ki so zelo uporabne.
Primer uporabe formul
Naloga
Imamo trigonometrično funkcijo .
| Poišči |
Rešitev
Če narišeš graf te funkcije, kar že znaš, ugotoviš, da je ta funkcija zvezna. Po drugi strani pa lahko prideš do iste ugotovitve, če pogledaš njen predpis. Predpis lahko z adicijskim izrekom spremeniš tako, da je funkcija zapisana kot vsota, produkt samih elementarnih zveznih funkcij: .
Ker je ta funkcija zvezna, je naloga preprosta, saj moramo za njeno rešitev izračunati zgolj vrednost funkcije v točki .
| Torej: |
Preizkusi se
| Poišči |
Tako je. Funkcija je zvezna funkcija, zato je limita enaka vrednosti funkcije v točki:
Narobe. Funkcija je zvezna funkcija, zato je limita enaka vrednosti funkcije v točki:
Narobe. Funkcijo poznamo in je zvezna, zato je limita enaka vrednosti funkcije v točki:
Razmisli, ali je funkcija zvezna.
Preizkusi se
Dana je funkcija .
| Izračunajte |
| Narobe: |
| Narobe: |
Uporabi pravila oz. formule.
Preizkusi se
| Izračunajte |
Racionalne funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane. Racionalne funkcije v polih niso definirane, zato o zveznosti v teh točkah ne moremo govoriti.
Narobe. Racionalne funkcije niso zvezne v polih, kjer sploh niso definirane, sicer pa so posamezni deli grafa sklenjene – zvezne krivulje.
Lastnosti zveznih funkcij
Spoznali bomo tri najpomembnejše lastnosti zveznih funkcij, ki jih uporabljamo pri problemih, povezanih s funkcijami in njihovim obnašanjem. Vse te lastnosti pa izhajajo iz dejstva, da so grafi zveznih funkcij nepretrgane krivulje.
Prva lastnost
| Če zvezna funkcija na intervalu ne zavzame vrednosti , potem je na celem intervalu enakega predznaka, bodisi pozitivnega bodisi negativnega. |
Sliki ponazarjata splošen izgled zveznih funkcij s prvo lastnostjo.
Druga lastnost
| Če za zvezno funkcijo na intervalu velja , potem ima ta funkcija na tem intervalu vsaj eno ničlo. |
Funkciji na slikah sta zvezni na intervalu in izpolnjujeta pogoje za drugo lastnost. Leva funkcija (modra) ima na tem intervalu le eno ničlo, desna funkcija (rdeča) pa ima kar tri ničle. Torej o številu ničel ne moremo sklepati ničesar, lahko sklepamo le o njihovem obstoju na danem intervalu.
Pogoj pomeni, da imata vrednosti in različen predznak; ali je in ali pa in .
Tretja lastnost
| Če je funkcija na nekem zaprtem intervalu zvezna, potem je na njem omejena. |
Naj bo funkcija na intervalu zvezna. Potem na tem intervalu zasede svojo natančno zgornjo mejo in spodnjo mejo . Torej: .
Slika kaže primer splošne funkcije, ki na intervalu zavzame vse vrednosti od do . Torej zvezne funkcije slikajo zaprte intervale v zaprte intervale.
Preizkusi se
Ali je funkcija zvezna funkcija povsod, kjer je definirana?
Ali ima polinom na intervalu ničlo?
Določi zalogo vrednosti funkcije s predpisom .
Vsi odgovori so pravilni.
Pravilno si rešil od 3 vprašanj.
Dodatne naloge
Dodatne naloge
Dodatne naloge
Dodatne naloge
Dodatne naloge
Dobro si oglej sliko, na kateri je narisan graf funkcije (njen predpis za nalogo ni pomemben). Ali je funkcija zvezna v točkah ?
| Funkcija je zvezna v točki |
Poskusi ponovno.
Dodatne naloge
Določi parameter tako, da bo funkcija zvezna.
Ko je a = , je funkcija tudi v točki x = zvezna.
