Za začetek primerjaj grafe na spodnji sliki.

Na sliki so štirje grafi. Moder, rdeč in zelen so dobljeni z vzporednimi premiki ali raztegi rjavega grafa. Ugotovi, za katere transformacije gre in dopolni spodnje povedi.

V prostorčke vnesi ustrezne oznake za transformacije: PX – vzporedni premik vzdolž abscisne osi, PY – vzporedni premik vzdolž ordinatne osi, RX – razteg vzdolž abscisne osi, RY – razteg vzdolž ordinatne osi.

Iz rjavega grafa dobimo rdeči graf s transformacijo , zeleni graf s transformacijo in modri graf s transformacijo .

Spoznali bomo, kako narisati grafe funkcij kot so $f(x)= log_2 (x-1)$, $g(x)= -3lnx$, $h(x)= 1+log_{0,5} x$ in $u(x)= 1-2log_3 (x+1)$. Preučili bomo vsako od transformacij, nato pa jih bomo še sestavili. Še prej na kratko obnovimo naše znanje o premikih in raztegih grafov.

S premikanjem drsnika lahko opazuješ, kako izbira osnove $a$ vpliva na graf logaritemske funkcije $f(x)= log_a x$.

Označi pravilnost izjav.

Logaritemske funkcije razdelimo glede na osnovo v dve družini. V eni družini so funkcije z negativno osnovo, v drugi pa funkcije s pozitivno osnovo.

Pravilno. Nepravilno.

Logaritemska funkcija z osnovo več kot $1$ je padajoča.

Pravilno. Nepravilno.

Ordinatna os je pol ali navpična asimptota logaritemske funkcije.

Pravilno. Nepravilno.

Graf logaritemske funkcije $f(x)= log_a x$ ne seka abscisne osi.

Pravilno. Nepravilno.

Na grafu logaritemske funkcije $f(x)= log_a x$ leži točka $T(1,a)$.

Pravilno. Nepravilno.

S spodnjim apletom raziščimo premik logaritemske funkcije v smeri ordinatne osi. Pri tej transformaciji se ohranijo abscise točk, ordinate pa se povečajo za vrednost parametra $c$.

Rdeče barve je graf logaritemske funkcije $f(x)=log_2 x$, modre pa premik, graf funkcije $g(x)= f(x)+c= log_2 x +c$. Vrednost parametra $c$ lahko spreminjaš z drsnikom. Rdeči vektorji prikazujejo, kam se pri premiku preslikajo točke s prvotnega grafa. Ob vektorjih so izpisane njihove dolžine.

Spreminjaj vrednost parametra $c$ in opazuj dogajanje na sliki.

• 1. Kaj se pri premiku vzdolž ordinatne osi zgodi z asimptoto?

• 2. Kaj se pri premiku vzdolž ordinatne osi zgodi z ničlo funkcije?

• 3. Sta se definicijsko območje in zaloga vrednosti pri premiku vzdolž ordinatne osi spremenila?

Nariši grafe funkcij in določi ničli.

a)$f(x)= log_2 x -1$

b)$g(x)= 3+ log_{0,5} x$

Rešitev:
a) Ničla funkcije je .

b) Ničla funkcije je .

Sledi premik logaritemske funkcije v smeri abscisne osi. Pri tej preslikavi se abscise točk zmanjšajo za vrednost parametra $b$, ordinate pa se ohranijo.

Spet je rdeče barve graf logaritemske $f(x)= log_2 x$, modre pa premik, graf funkcije $g(x)= f(x+c)= log_2 (x+c)$. Vrednost parametra $c$ lahko spreminjaš z drsnikom. Poleg obeh grafov je na sliki prikazana še asimptota premaknjenega grafa. Rdeči vektorji prikazujejo, kam se pri premiku preslikajo točke s prvotnega grafa. Ob vektorjih so izpisane njihove dolžine. Izpisane so tudi koordinate presečišča premaknjenega grafa in abscisne osi.

Spreminjaj vrednost parametra $c$ in opazuj dogajanje na sliki.

• 1. Opazuj, kaj se pri premiku vzdolž abscisne osi zgodi z asimptoto.

• 2. Sta se definicijsko območje in zaloga vrednosti pri premiku vzdolž abscisne osi spremenila?

• 3. Ali ima funkcija $g(x)= = log_a (x+c)$ ničle?

1. Nariši grafa funkcij in jima določi presečišči z ordinatno osjo, ničli, asimptoti ter definicijski območji.

a) $f(x)= log_{\frac{1}{4}}(x-1)$

b) $g(x)= log_3 (x+2)$

Za presečišče z ordinatno osjo je potrebno izračunati funkcijsko vrednost v točki .

a) Presečišča z ordinatno osjo ni, saj je definicijsko območje interval (, $\infty)$. Ničla je $x=$, enačba navpične asimptote pa je $x=$.

b) Presečišča z ordinatno osjo je točka $(0, log_3 2)$ definicijsko območje je interval (, $\infty)$, ničla je $x=$, enačba navpične asimptote pa je $x=$.

2. Na sliki je prikazan graf logaritemske funkcije, premaknjene vzdolž abscisne osi. Ugotovi funkcijski predpis.

Še razteg logaritemske funkcije v smeri ordinatne osi. Pri tej preslikavi se ohranjajo abscise točk, ordinate pa se množijo s faktorjem raztega $a$. Spet je rdeče barve graf logaritemske funkcije $f(x)=$, modre pa razteg, graf funkcije $g(x)= a\cdot f(x)= a \cdot log_2 x$. Vrednost parametra $a$ lahko spreminjaš z drsnikom.

Spreminjaj vrednost parametra $a$ in opazuj dogajanje na sliki.

• 1. Opazuj, kaj se pri premiku vzdolž abscisne osi zgodi z asimptoto.

  Asimptota se pri raztegu vzdolž ordinatne osi ne spremeni.

  Pri raztegu vzdolž ordinatne osi, se skupaj z grafom premakne tudi asimptota. Enačba asimptote se pri funkciji glasi $y=a$.

  
  

• 2. Sta se definicijsko območje in zaloga vrednosti pri raztegu vzdolž ordinatne osi spremenila?

  Ne.

  Pri raztegu vzdolž ordinatne osi se definicijsko območje ne spremeni, zaloga vrednoti pa se spremeni le, če je koeficient raztega negativen. V tem primeru so zaloga vrednosti negativna realna števila.

  
  

• 3. Kaj se zgodi s presečiščem z abscisno osjo?

  Ordinata presečišča grafa logaritemske funkcije in abscisne osi se pri raztegu vzdolž ordinatne osi pomnoži s faktorjem $a$, tako kot ordinate vseh drugih točk $(0,c)$. Presečišče raztegnjenega grafa in abscisne osi je točka $P(0,a)$.

  Presečišče z abscisno osjo je še vedno točka $(1,0)$, ničla se ne spremeni.

  
  

  Preveri

Nariši grafe funkcij.

a) $f(x)= 2log_3 x$

b) $g(x)= -log_2 x$

Z raztegom v smeri abscisne osi se v primeru logaritemske funkcije ni potrebno ukvarjati. Prevedemo ga namreč na že znani premik v smeri ordinatne osi. Oglejmo si, kako to storimo. Naj bo torej $g(x)= f(kx)$. Preoblikujmo zapis:

Ker je $log_a k$ konstanta, gre za premik v smeri ordinatne osi za $log_a k$, kako opravimo z njim, pa že vemo.

Takšna zamenjava raztega v smeri abscisne osi s premikom v smeri ordinatne osi pri drugih funkcijah v splošnem ni možna.

Doslej smo na vsaki funkciji oziroma njenem grafu opravili le po eno transformacijo. Seveda pa je možno opraviti transformacijo že transformirane funkcije. Najprej združimo po dve transformaciji. Spodnja animacija prikazuje risanje grafa funkcije $f(x)= log_3 (x+1)-2$. Gre za premik v smeri abscisne osi za $1$ levo in v smeri ordinatne osi za $2$ dol. Najprej narišemo krivuljo $y= log_3 x$ (modre barve). Transformacije izvajamo po vrsti tako, kot narekuje vrstni red izvajanja računskih operacij pri računanju $f(x)$. Najprej $x$ povečamo za $1$, kar pomeni premik za $1$ v levo. Dobimo zeleno krivuljo, $y= log_3 (x+1)$. Nato ordinate točk zmanjšamo za $2$ in dobimo rdečo krivuljo, ki je graf funkcije $f(x)= log_3 (x+1)-2$. Črtkano je njena asimptota.

Animacijo sprožiš tako, da klikneš na gumb nazaj, nato pa se z gumbom v sredini pomikaš po korakih naprej.

Sedaj pa združimo premik in razteg v smeri ordinatne osi. Po korakih narišimo graf funkcije $f(x)= -3 \cdot log_{\frac{1}{2}}x+1$. Gre za razteg v smeri ordinatne osi s faktorjem $-3$ (zaradi negativnega predznaka se graf prezrcali čez abscisno os) in nato za premik v smeri ordinatne osi za $1$ gor. Spodnjo animacijo spet krmiliš z gumbi tako kot zgornjo. Modre barve je krivulja $y= log_{\frac{1}{2}}x$, zelene je $y= -3 \cdot log_{\frac{1}{2}}x$. Rdeče barve je graf funkcije $f(x)= -3 \cdot log_{\frac{1}{2}}x+1$.

Naslednja animacija prikazuje razteg v smeri ordinatne osi združen s premikom v smeri abscisne osi. Gre za funkcijo $f(x)= \frac{1}{2} ln(x-2)$, torej za premik za $2$ v desno, nato pa razteg za $\frac{1}{2}$ vzdolž ordinatne osi. Modre barve je krivulja $fy= ln(x)$, zelene barve je krivulja $y= ln(x-2)$, rdeče barve pa je graf funkcije $f(x)= \frac{1}{2} ln(x-2)$. Premakne se tudi asimptota.

Čaka nas še komponiranje obeh premikov in raztega v smeri ordinatne osi. Narišimo graf funkcije $f(x)= 2\cdot log_3 (x-1)-2$. Najprej je potreben premik za $1$ desno, nato razteg v smeri ordinatne osi za faktor $2$, na koncu pa še premik za $2$ dol. Kot zgornje animacije lahko tudi spodnjo krmiliš z gumbi. Modre barve je krivulja $y= log_3 x$, rjave je krivulja $y= log_3 (x-1)$, zelene barve je krivulja $y= 2\cdot log_3 (x-1)$ in rdeče barve je graf funkcije $f(x)= 2\cdot log_3 (x-1)-2$.

S spodnjim apletom lahko transformiraš funkcijo $f(x)= log_2 x$. S premikanjem drsnikov $a$, $b$ in $c$ narišeš graf funkcije $g(x)= a \cdot log_2 (x+b)+c$. Spreminjaj vrednosti vseh treh parametrov in opazuj dogajanje na sliki. Nato odgovori na vprašanja pod nalogo.

Označi pravilnost naslednjih izjav, povezanih z zgornjim apletom.

• Če hočemo narisati graf funkcije $g(x)= -log_2 (x+1)$, moramo parameter $a$ nastaviti na $1$.
  Pravilno. Nepravilno.

• Če hočemo narisati graf funkcije $g(x)= 2 \cdot log_2 (x-1)$, moramo parameter $a$ nastaviti na $2$, $b$ pa na $-1$. Pravilno. Nepravilno.

• Če hočemo narisati graf funkcije $g(x)=log_2 (x-2)+1$, moramo parameter $a$ nastaviti na $1$, $b$ na 2 in $c$ na $1$. Pravilno. Nepravilno.

Graf funkcije $g(x)= log_3 (x-2)$ je enak premaknjenemu grafu funkcije $f(x)=log_3 x$, ki ga premaknemo za $2$

Definicijsko območje funkcije $f(x)= 2log_3(x+5)-1$ je interval

Graf funkcije $g(x)= log_3(x+1)-2$ dobimo tako, da graf funkcije $f(x)= log_3x$ premaknemo

Graf funkcije $g(x)= -log_2 x +1$ dobimo z naslednjo transformacijo grafa funkcije $f(x)= log_2 x$:

Nariši grafe naslednjih funkcij:

a) $f(x)= -log_2 (x+3)$

b) $g(x)= 3 \ cdot log_{\frac{1}{4}}(x-1)$

c) $h(x)= 2 \cdot log_3 x-1$

d) $v(x)= log_2 (x-1)+1$

Nariši grafe funkcij:

a) $f(x) = log_4(x + 1)$

b) $g(x) = log_4 x + 1$

c) $h(x) = −log_4 x$

d) $u(x) = −2 log_4(x − 1)$

e) $v(x) = log_4(x − 2) + 2$

f) $w(x) = 3 log_4 x + 2$

Nariši grafe funkcij: a) $f(x) = 2 \cdot log_{0,5}(x + 2) − 2$

b) $g(x) = 3 \cdot log_5 x − 3$

c) $h(x) = −log_{1,5}(x + 3)$

d) $u(x) = −1, 5 \cdot log_5(x + 2)$

e) $v(x) = −0, 5 \cdot log_4 x + 3$

f) $w(x) = −3 log_2(x + 1) + 2$