Zveza med določenim in nedoločenim integralom

Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Zveza med določenim in nedoločenim integralom

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Ponovimo osnove o določenem integralu

1. Določeni integral poljubne funkcije, ki je na celem integracijskem intervalu pozitivna, je enak ploščini krivočrtnega lika, ki ga graf funkcije na tem intervalu določa skupaj z abscisno osjo.

Pravilno.

Napačno.

Ponovimo osnove o določenem integralu

2. Določeni integral poljubne funkcije, ki je na celem integracijskem intervalu pozitivna, je pozitivno realno število.

Pravilno.

Napačno.

Ponovimo osnove o določenem integralu

3. Določeni integral funkcije, ki je na celotnem integracijskem intervalu negativna, je enak nič.

Pravilno.

Napačno.

Ponovimo osnove o določenem integralu

4. Ali velja enakost $\int_{-1}^{1} x dx = \int_{-1}^0 x dx + \int_0^1 x dx$ ?

Da, zgornja enakost je pravilna.

Ne, zgornja enakost ni pravilna.

(1.png)

Ponovimo osnove o določenem integralu

5. S pomočjo slike ugotovi, ali velja enakost $\int_{-1}{1}x dx = 0 ?$

Da, zgornja enakost je pravilna.

Ne, zgornja enakost ni pravilna.

(1.png)

Namig

Če ti je težko odgovoriti na to vprašanje, si še enkrat preberi gradivo z naslovom Določeni integral.

Namig

Pomagaj si s prvo trditvijo, ki povezuje določeni integral s ploščino krivočrtnega lika.

Namig

Pomagaj si s povezavo določenega integrala s ploščino krivočrtnega lika.

Namig

Spomni se na lastnost določenega integrala

$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x)dx,$

kjer je $c$ poljubna točka iz intervala $[a,b]$ in $f(x)$ zvezna funkcija na tem intervalu.

Namig

Pomagaj si tudi s $4$ . vprašanjem.

Narobe

Ni res.

Narobe

Ni res. Zakaj se ti zdi, da je trditev nepravilna? Razmisli še enkrat s pomočjo prve trditve, ki govori o povezavi določenega integrala s ploščino krivočrtnega lika.

Narobe

To pa ne bo držalo. Določeni integral funkcije, ki je na celem integracijskem intervalu negativna, je enak nasprotni vrednosti ploščine krivočrtnega lika, ki ga graf funkcije na tem intervalu določa skupaj z abscisno osjo, torej je negativno število.

Narobe

Nimas prav. Zakaj misliš, da zgornja enakost ne velja? Interval $[-1, 1]$ smo s točko $0$ razbili na dva dela in upoštevali naslednjo lastnost določenega integrala:

$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(c)dx + \int_c^b f(x) dx$

Narobe

Nimaš prav.

$\int_{-1}^1 x dx = \int_b{-1}^0 x dx + \int_0^1 x dx = -S + S = 0,$

kjer je $S$ ploščina osenčenega trikotnika.

Pravilno

Res je. To je osnovna geometrijska predstava o določenem integralu.

Pravilno

Seveda je tako. Določeni integral funkcije, ki je na celotnem integracijskem intervalu pozitivna, je namreč enak ploščini krivočrtnega lika, ta pa je pozitivno realno število.

Pravilno

Tako je. Določeni integral funkcije, ki je na celem integracijskem intervalu negativna, je enak nasprotni vrednosti ploščine krivočrtnega lika, ki ga graf funkcije na tem intervalu določa skupaj z abscisno osjo, torej je negativno število.

Pravilno

Res je.

Pravilno

Prav imaš. Upoštevamo enakosti

$\int_{-1}^1 x dx = \int_b{-1}^0 x dx + \int_0^1 x dx = -S + S = 0,$

kjer je $S$ ploščina osenčenega trikotnika.

Za radovedne

Ali bi znal utemeljiti, da je

$\int_{-a}^a f(x)dx = 0$

za poljubno liho funkcijo $f$ ?
Seveda. Podobno kot pri zadnjem primeru lahko integracijski interval $[-a, a]$ s točko $0$ razbijemo na dva podintervala in upoštevamo

$\int_{-a}^a f(x)dx= \int_{a}^0 f(x)dx + \int_{0}^a f(x)dx = -S + S = 0,$

kjer je $S$ ploščina krivočrtnega lika, ki ga določa graf funkcije $f$ na intervalu $[0, a]$ .

Povzetek ponovitve

POVEZAVA DOLOČENEGA INTEGRALA S PLOŠČINO KRIVOČRTNIH LIKOV

Če je $f$ zvezna nenegativna funkcija na intervalu $[a, b]$ , je vrednost določenega integrala

$\int_a^b f(x) dx$

enaka ploščini krivočrtnega lika, ki ga graf funkcije $f$ na intervalu $[a, b]$ določa skupaj z abscisno osjo. Če pa je funkcija na intervalu $[a, b]$ negativna, je vrednost določenega integrala enaka nasprotni vrednosti ploščine krivočrtnega lika.

Poveži, saj znaš

Ponovili smo osnovna dejstva o določenem integralu, ki ti bodo pomagala pri reševanju naslednje naloge. Določene integrale moraš povezati z ustreznimi ploščinami likov na slikah. Modro piko povlečeš proti pripadajoči rdeči piki in obe piki čimbolj natančno prekriješ. Bodi pozoren na povratno informacijo, ki se izpiše le, če nalogo pravilno rešiš do konca.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Povezal si že, sedaj izračunaj še vrednosti določenih integralov

Dopolni manjkajoče besedilo v okvirčkih! Besedilo se nanaša na predhodno nalogo, in sicer po vrsti na prvo, drugo, tretjo in četrto sliko.

1. Vrednost določenega integrala

$\int_{-3}^{-1} x dx$

je enaka nasprotni vrednosti ploščine lika, ki mu pravimo in je osenčen z barvo. S pomočjo njegove ploščine lahko torej izračunamo vrednost določenega integrala, ki je enaka (odgovor zapiši s številko).

2. Vrednost določenega integrala

$\int_{-1}^3 |x-2| dx$

je enaka vsoti ploščin dveh likov - , osenčenih z barvo. Vrednost določenega integrala je zato enaka (odgovor zapiši s številko).

3. Vrednosti določenih integralov

$\int_{-2}^2 x^2 dx, \quad \int_{-2}^1 (1+2x^2 - \frac{1}{2}x^4)dx$

sta enaki ploščinam krivočrtnih likov, po vrsti obarvanih z in barvo.

Pomoč

Postopek:

$\int_{-3}^{-1} x dx = -S = - \frac{1+3}{2} \cdot 2 = 4,$
kjer smo uporabili formulo za ploščino trapeza
$S= \frac{a+c}{2} \cdot v.$
$\int_{-1}^3 |x-2| dx = S_1 + S_2 = \frac{3 \cdot 3}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2} = 5,$
kjer sta $S_1$ in $S_2$ ploščini pravokotnih trikotnikov.

Rešitev

1. Vrednost določenega integrala

$\int_{-3}^{-1} x dx$

je enaka nasprotni vrednosti ploščine lika, ki mu pravimo trapez in je osenčen z rdečo barvo. S pomočjo njegove ploščine lahko torej izračunamo vrednost določenega integrala, ki je enaka -4 (odgovor zapiši s številko).

2. Vrednost določenega integrala

$\int_{-1}^3 |x-2| dx$

je enaka vsoti ploščin dveh likov - trikotnikov, osenčenih z modro barvo. Vrednost določenega integrala je zato enaka 5 (odgovor zapiši s številko).

3. Vrednosti določenih integralov

$\int_{-2}^2 x^2 dx, \quad \int_{-2}^1 (1+2x^2 - \frac{1}{2}x^4)dx$

sta enaki ploščinam krivočrtnih likov, po vrsti obarvanih z zeleno in rumeno barvo.

Narobe

Nekje si naredil napako.

Poskusi ponovno.

Pravilno

Določeni integrali funkcij, ki določajo krivočrtne like

Do sedaj smo znali določiti vrednosti nekaterih določenih integralov, in sicer s pomočjo povezave med določenim integralom in ploščino likov - trikotnikov in trapezov.

Veliko večji izziv pa predstavlja določitev (izračun) vrednosti določenih integralov funkcij, katerih grafi na integracijskem intervalu skupaj z abscisno osjo določajo KRIVOČRTNE LIKE. Ploščin takih likov namreč običajno ne znamo izračunati. Taka primera sta tudi integrala

$\int_{-2}^2 x^2 dx, \quad \int_{-2}^1 (1 + 2x^2 - \frac{1}{2}x^4)dx.$

To nezavidljivo situacijo nam bo pomagala rešiti zveza med določenim in nedoločenim integralom. Formulo sta skoraj istočasno izpeljala matematika Newton in Leibnitz, zato jo danes imenujemo po obeh.

Newton in Leibnitz

Isaac Newton

Gottfried Leibnitz

Newton - Leibnitzova formula ali osnovni izrek integralskega računa

Naj bo $f$ zvezna funkcija na intervalu $[a, b]$ . Določeni integral

$\int_a^b f(x) dx$

je enak razliki vrednosti nedoločenega integrala $F(x)$ na zgornji in spodnji meji, kar na kratko zapišemo:

$\int_a^b f(x) dx = F(x) \Bigg|_a^b =F(b) - F(a),$

če je

$F'(x) = f(x).$

O konstanti pri nedoločenem integralu

Več o izpeljavi Newton - Lebnitzove formule

Newton - Leibnitzova formula ali osnovni izrek integralskega računa

(4.gif)

Tako lahko izračunamo vrednost določenega integrala

$\int_{\pi}^{2 \pi} \cos x dx = \sin x \Bigg|_{\pi}^{2 \pi} = \sin (2 \pi) - \sin (\pi) = 0 - 0 = 0$

Brž ko torej poznamo nedoločeni integral funkcije $f$ , lahko s pomočjo Newton-Leibnitzove formule izračunamo določeni integral funkcije $f$ na poljubnem integracijskem intervalu. Seveda zgoraj zapisana formula, ki povezuje določeni in nedoločeni integral, ni samoumevna in prav je, da si vsaj tisti bolj matematično angažirani pogledamo dokaz, da res velja.

Dokaz Newton - Leibnitzove formule

O konstanti pri nedoločenem integralu

Spomnimo se, da smo nedoločeni integral funkcije $f$ definirali kot družino funkcij oblike $F+C$ , kjer je $C$ poljubna konstanta in za $F$ velja

$F'(x) = f(x)$

Tudi pri računanju določenega integrala po Newton-Lebnitzovi formuli bi za nedoločeni integral lahko vzeli poljubno funkcijo iz te družine. Funkciji $F$ bi torej lahko prišteli poljubno konstanto $C$ , ki bi se pri odštevanju vrednosti nedoločenega integrala na zgornji in spodnji meji izničila:

$\int_a^b f(x) dx = F (x) + C \Bigg|_a^b = F(b) + C - (F(a) +C) = F(b) - F(a).$

Pri računanju določenega integrala s pomočjo Newton-Leibnitzove formule lahko torej brez izgube na splošnosti za konstanto izberemo vrednost $0$ .

Več o izpeljavi Newton - Lebnitzove formule

Isaac Newton $(1642 - 1727)$ in Gottfried Wilhelm Leibnitz $(1646 - 1716)$ sta skoraj istočasno in neodvisno drug od drugega odkrila in utemeljila osnove integralskega računa. Sicer je bila Newtonova pisava integralov precej bolj nerodna od Leibnitzove, ki je veliko časa vložil prav v iskanje primernih oznak.

Dokaz Newton - Leibnitzove formule

Za dokaz Newton-Leibnitzove formule definirajmo naslednjo funkcijo:

$F(x) = \int_c^x f(u)du,$

kjer je $c$ poljubna točka definicijskega območja funkcije $f$ . Opazimo, da lahko zapišemo naslednja integrala s pomočjo funkcije $F$ :

$\int_c^a f(x) dx = F(a) \quad \mathrm{in} \quad \int_c^b f(x) dx = F(b).$

Ker je

$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$

in ker velja

$\int_a^c f(x) dx = - \int_c^a f(x) dx,$

lahko integral funkcije $f$ na intervalu $[a,b]$ zapišemo

$\int_a^b f(x) dx = - \int_c^a f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = - F(a) + F(b) = F(b) - F(a).$

Tako je potrebno dokazati le še, da za funkcijo $F$ velja

$F'(x) = f(x).$

Oglejmo si razliko $F(x')-F(x)$ , kjer je $x'>x$ . Razlika $F(x')-F(x)$ predstavlja ravno površino lika pod krivuljo funkcije $f$ na intervalu $[x,x']$ . Z $m$ in $M$ označimo minimalno in maksimalno vrednost zvezne funkcije $f$ na intervalu $[x,x']$ . Tedaj velja:

$(x' -x)m \leq F(x') - F(x) \leq (x' - x)M.$

Če zgornji neenačbi delimo z $x'-x$ , dobimo

$m \leq \frac{F(x') -F(x)}{x' - x} \leq M.$

Ker je $f$ zvezna funkcija, se vrednosti $m$ in $M$ približujeta k vrednosti $f(x)$ , kakor hitro se $x'$ približuje vrednosti $x$ , zato je

$f(x) = \lim_{x' \to x} \frac{F(x') - F(x)}{x' - x} = F'(x),$

kar sta Newton in Leibnitz tudi želela dokazati.

Primeri računanja s pomočjo Newton-Leibnitzove formule

1. primer:

Izračunajmo vrednost določenega integrala

$\int_{-2}^2 x^2 dx.$

V Newton-Leibnitzovi formuli potrebujemo najprej nedoločeni integral funkcije $f(x)=x^2$ :

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$

Nedoločeni integral in integracijski meji vstavimo v formulo:

$\int_{-2}^2 x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Bigg|_{-2}^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{16}{3}.$

Z vrednostjo zgornjega določenega integrala smo izračunali tudi ploščino krivočrtnega lika (pri uvodni nalogi osenčen z zeleno barvo), ki ga graf pozitivne funkcije $f(x)=x^2$ na integracijskem intervalu $[-2, 2]$ določa skupaj z abscisno osjo.

(5.png)

Primeri računanja s pomočjo Newton-Leibnitzove formule

2. primer:

Izračunajmo vrednost določenega integrala

$\int_{-2}^1 (1+ 2x^2 - \frac{1}{2} x^4) dx.$

Za Newton-Leibnitzovo formulo potrebujemo spet najprej nedoločeni integral funkcije:

$\int (1+ 2x^2 - \frac{1}{2} x^4)dx = x + \frac{2}{3} x^3 - \frac{1}{10} x^5.$

Nedoločeni integral in integracijski meji vstavimo v formulo:

$\int_{-2}^1 (1+2x^2 - \frac{1}{2} x^4)dx = x + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{10} x^5 \Bigg|_{-2}^1 =$ $=(1+ \frac{2}{3} \cdot 1^3 - \frac{1}{10} \cdot 1^5) - (-2 + \frac{2}{3} \cdot (-2)^3 - \frac{1}{10} \cdot (-2)^5) = 5,7.$

Z vrednostjo zgornjega določenega integrala smo izračunali tudi ploščino krivočrtnega lika (pri uvodni nalogi osenčen z rumeno barvo), ki ga graf pozitivne funkcije

$f(x) = 1 + 2x^2 - \frac{1}{2} x^4$

na integracijskem intervalu $[-2, 1]$ določa skupaj z abscisno osjo.

(6.png)

Pokaži svoje znanje

V spodnje okvirčke zapiši natančni vrednosti prvih dveh določenih integralov in na tri decimalke zaokroženo vrednost tretjega določenega integrala. Pri zapisu uporabi decimalno vejico.

$\int_2^4 t^3 dt=$

$\int_e^{e^2} \frac{du}{u}=$

$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} (3 \cos x - \sin x)dx \doteq$

Pomoč

$\int_2^4 t^3 dt = \frac{t^4}{4} \Bigg|_2^4 = \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} =\frac{256}{4} - \frac{16}{4} = \frac{240}{4} =60$
$\int_e^{e^2} \frac{du}{u} = (\ln |u|)_e^{e^2} = \ln (e^2) - \ln (e) = 2 \ln e - \ln e = \ln e = 1$
$\int_{-\frac{\pi}{3}}^\frac{\pi}{3} (3 \cos x - \sin x) dx = 3 \sin x + \cos x \Bigg|_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} =$ $= 3 \sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3} - (3 \sin (-\frac{\pi}{3}) + \cos (- \frac{\pi}{3})) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - (3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{1}{2}) = \frac{3}{\sqrt{3}} \doteq 5,196$

Narobe

Nekje si naredil napako.

Poskusi ponovno.

Pravilno

Še dve lastnosti določenega integrala

Pri računanju določenega integrala s pomočjo nedoločenega integrala smo povsem neobremenjeno uporabljali dve preprosti lastnosti nedoločenega integrala, ki se "preneseta" tudi na določeni integral:

Nedoločeni integral vsote funkcij je vsota nedoločenih integralov funkcij.
Nedoločeni integral funkcije, pomnožene s konstanto, je enak produktu nedoločenega integrala s to konstantno.

Naj bosta $f$ , $g$ zvezni funkciji na intervalu $[a, b]$ in $k$ poljubno realno število (konstanta).

Določeni integral vsote je vsota določenih integralov:
$\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
Konstantni faktor pod integralskim znakom lahko prenesemo pred integralski znak:
$\int_a^b kf(x) = k \int_a^b f(x) dx$
Utemeljitvi obeh lastnosti sta zelo enostavni in si ju lahko pogledaš pod spodnjim gumbom.

Utemeljitvi obeh lastnosti sta zelo enostavni in si ju lahko pogledaš pod spodnjim gumbom.

Primer

Določeni integral

$\int_0^{\pi} (3 \sin x - 2x) dx$

smo izračunali kot

$(-3 \cos x - x^2) \Bigg|_0^{\pi} = - 3 \cos \pi - \pi^2 - (- \cos 0 - 0^2)= 6-\pi^2,$

saj je

$\int(3 \sin x - 2x) dx = 3 \int \sin x dx - 2 \int x dx = - 3 \cos x - x^2 + C.$

Utemeljitev

Naj bo $F$ nedoločeni integral funkcije $f$ in $G$ nedoločeni integral funkcije $g$ . Potem je $F+G$ nedoločeni integral za funkcijo $f+g$ , $kF$ pa nedoločeni integral za funkcijo $kf$ . Uporabimo še Newton-Leibnitzovo formulo, s čimer zaključimo utemeljitvi za obe lastnosti določenega integrala:

$\int_a^b (f(x) + g(x))dx = (F(x) + G(x)) \Bigg|_a^b =$ $= F(b) + G(b) - (F(a) + G(a))= F(b) - F(a) + G(b) - G(a) = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
$\int_a^b kf(x)dx = k F(x) \Bigg|_a^b = k F(b) - kF(a) = k(F(b) - F(a)) = k \int_a^b f(x)dx$

Primer

Zdaj izračunajmo določeni integral

$\int_0^{\pi} (3 \sin x - 2x) dx$

še enkrat tako, da uporabimo novi lastnosti določenega integrala:

$\int_0^{\pi} (3 \sin x - 2x) dx = \int_{0}^{\pi} 3 \sin x dx - \int_0^{\pi}2x dx = 3 \int_0^{\pi} \sin x dx - 2 \int_0^{\pi}x dx =$ $=3(- \cos x)\Bigg|_0^{\pi} - 2 \left( \frac{x^2}{2} \right) \Bigg|_0^{\pi} = \dots = 6 - \pi^2.$

Rezultat je seveda v obeh primerih enak. Seveda pri računanju določenega integrala izberemo tisto pot, ki nam je lažja oziroma krajša.

Še nekaj nalog za utrditev znanja

1. Kateremu določenemu integralu je enaka vsota določenih integralov

$\int_0^2 2^x dx + \int_2^3 2^x dx + \int_{-3}^0 2^x dx ?$

$\int_{-3}^3 2^x dx$

$\int_{0}^3 2^x dx$

$\int_{-3}^2 2^x dx$

2. Vrednost določenega integrala

$\int_0^1 x^3 dx =$

3. Če vemo, da je odvod funkcije $f$ enak funkciji $g$ , potem je

$\int_a^b f(x) dx = g(x) \big|_a^b$

$\int_a^b g(x) dx = f(x) \big|_a^b$

$\int_a^b f(x) dx = g(x) \big|_b^a$

Rešitve

$\int_0^2 2^x dx + \int_2^3 2^x dx + \int_{-3}^0 2^x dx = \int_{-3}^3 2^x dx$
$\int_0^1 x^3 dx = 0,25$
Če vemo, da je odvod funkcije $f$ enak funkciji $g$ , potem je
$\int_a^b g(x) dx = f(x) \Bigg|_a^b$

Narobe

Tvoj rezultat je / 3.

Pravilno

Dodatne naloge

1. naloga Izračunaj natančne vrednosti določenih integralov:
(Vpiši na 3 decimalna mesta zaokrožen rezultat.)

a)

$\int_{-1}^2 (x^3 - x) dx=$

b)

$\int_0^1 (1 - 2e^x) dx=$

c)

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{sin^2 u} du=$

d)

$\int_{-1}^{1} (x^{-2} - x^{-3}) dx=$

e)

$\int_{0}^{1} \frac{1- x^2}{\sqrt{x}} dx=$

Dodatne naloge

2. naloga Pokaži, da velja

$\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx = \sqrt{2x + 1} + C$

in s pomočjo zgornje enakosti izračunaj spodnji integral.

$\int_4^{12} \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}dx =$

Rešitev

$\int_4^{12} \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}dx = (\sqrt{2x + 1}) \Bigg|_4^{12} =2$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Rešitve

a) $\frac{9}{4} = 2,25$
b) $2e-1 \doteq 4,437$
c) $-2$
d) $-2$
e) $\frac{8}{5} = 1,6$

Narobe

1. naloga: /5

Dokaz

$(\sqrt{2x + 1} + C)' = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$

Pravilno

Dodatne naloge

3. naloga Izračunaj ploščino krivočrtnega lika, ki ga graf funkcije $f$ oklepa z abscisno osjo na intervalu $[a, b]$ .

a) $f(x) = 3 \sin x$ na intervalu $[- \pi, 0]$
$S=$

b) $f(x) = \frac{1}{x}$ na intervalu $[1, e^3]$
$S=$

4. naloga Izračunaj čim bolj na kratko:

$\int_0^1 (x-1)^2 dx + \int_{-1}^0 (x-1)^2 dx +\int_1^2 (x-1)^2 dx.$

Rešitev:

Poglej postopek

5. naloga Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta graf funkcije $f(x) = 1 - x^2$ in abscisna os.
(Rezultat zaokroži na 2 decimalki natančno.)

$S=$

Rešitve

3. naloga

a) Funkcija $f(x) = 3 \sin x$ je na intervalu $[- \pi, 0]$ negativna.

$S = - \int_{- \pi}^0 3 \sin x dx = 6.$

b) Funkcija $f(x) = \frac{1}{x}$ je na intervalu $[1; e^3]$ pozitivna.

$S = \int_1^{e^3} \frac{1}{x} dx = 3.$

4. naloga

$\int_0^1 (x-1)^2 dx + \int_{-1}^0 (x-1)^2 dx +\int_1^2 (x-1)^2 dx = \int_{-1}^2 (x-1)^2 dx = (\frac{x^3}{3} - x^2 + x) \Bigg|_{-1}^2 = 3.$

5. naloga

$S=\frac{4}{3}$

Narobe

Rezultat: /4

Postopek

$\int_0^1 (x-1)^2 dx + \int_{-1}^0 (x-1)^2 dx +$\int_1^2 (x-1)^2 dx = \int_{-1}^2 (x-1)^2 dx = (\frac{x^3}{3} - x^2 + x) \Bigg|_{-1}^2 = 3.$

Pravilno

Kazalo

Ponovimo osnove o določenem integralu
Povzetek ponovitve
Poveži, saj znaš
Povezal si že, sedaj izračunaj še vrednosti določenih integralov
Določeni integrali funkcij, ki določajo krivočrtne like
Newton - Leibnitzova formula ali osnovni izrek integralskega računa
Primeri računanja s pomočjo Newton-Leibnitzove formule
Pokaži svoje znanje
Še dve lastnosti določenega integrala
Primer
Še nekaj nalog za utrditev znanja
Dodatne naloge

Zapri

Pomoč
Komentarji
Velikost črk
Zapiski
Za učitelja
Natisni

Natisni trenutno prosojnico
Natisni celotno gradivo

0%