Geometrijski pojem	Točka	Premica	Ravnina
Slika
Oznaka	velika tiskana črka	mala pisana črka	velika grška črka

Dve različni točki v ravnini določata natanko eno premico:

Točke, ki ležijo na isti premici, so kolinearne.

Če ima premica z dano ravnino dve različni skupni točki, potem premica leži na ravnini:

Točke, ki ležijo na isti ravnini, so komplanarne.

• Dve premici se sekata, ko imata le eno skupno točko, ki ji pravimo presečišče.
• Če premici nimata skupne točke, sta vzporedni. Dve premici sta vzporedni natanko takrat, ko ležita v isti ravnini in nimata skupne točke ali pa sovpadata. * Dve ravnini sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke ali če sovpadata.
• Premica in ravnina sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke ali če premica leži v ravnini.
• Premica, ki ima z ravnino natanko eno skupno točko, ravnino prebada.

Med poljubnima dvema točkama A in B v prostoru lahko izmerimo razdaljo oziroma dolžino daljice , to je nenegativno realno število, ki ga označimo z .

Lastnosti razdalje:

• Trikotniška neenakost:

V ravnini si izberemo točko (središče) in poljubno pozitivno število (polmer). Potem velja:

• Krog je množica točk v ravnini, ki so največ za polmer oddaljene od središča.
• Krožnica je množica točk v ravnini, ki so za polmer oddaljene od središča.
• Notranjost kroga je množica točk, ki so za manj kot polmer oddaljene od središča.
• Zunanjost kroga je množica točk, ki so za več kot polmer oddaljene od središča.

S je središče kroga, r pa polmer ali radij.

Tetiva je daljica, ki veže dve točki na krožnici. Najdaljša tetiva poteka skozi središče kroga in jo imenujemo premer ali diameter:

Dolžina najdaljše tetive je ravno 2r ali d.

• KONVEKSNOST - vsaka množica točk v prostoru je konveksna, če hkrati z vsakima svojima točkama vsebuje tudi daljico, ki ju poveže. Primer:

  Pri drugi sliki daljica ne leži znotraj lika, zato lik ni konveksen.

• POLRAVNINA - premica ravnino razdeli na dve polravnini:

  Premica p razdeli ravnino na dve polravnini.

• KOT - dva poltraka s skupnim izhodiščem razdelita ravnino na dva kota:

• TRIKOTNIK
  Tri nekolinearne točke A,B in C so oglišča trikotnika, , , notranji koti trikotnika, daljice AB, AC in BC pa stranice trikotnika. V trikotniku je dolžina vsake stranice manjša od vsote dolžin drugih dveh stranic.

  Velja , in .

• ŠTIRIKOTNIK
  To je lik s štirimi oglišči in štirimi stranicami, po dve nasprotni oglišči pa povezuje diagonala.

  Ta štirikotnik je konveksen, kar pa pri štirikotnikih ni vedno nujno.

• VEČKOTNIKI
  N-kotnik ima n oglišč in n stranic, ki omejujejo večkotnik.

  Večkotniki.

Togi premik je taka preslikava ravnine nase, ki ohranja razdaljo: in , . Lastnosti togih premikov:

• to je bijektivna preslikava ravnine nase,
• togi premik preslika premico in daljico na enako dolgo premico oziroma daljico.

Primeri togih premikov:

Vzporedni premik za vektor.	Zrcaljenje čez premico.
Zrcaljenje čez točko .	Vrtenje okoli točke .

- trikotnika sta skladna, če obstaja tak togi premik, ki en trikotnik preslika na drugega. Skladna trikotnika imata paroma skladne stranice in paroma skladne kote. Dva trikotnika sta skladna, če se ujemata:

• v vseh treh stranicah,
• v dveh stranicah in kotu med njima,
• v eni stranici in obeh kotih ob njej,
• v dveh stranicah in kotu nasproti daljše stranice.

Kako načrtamo simetralo kota oziroma kot razdelimo na dva skladna dela:

Pri merjenju kotov uporabljamo enoto [stopinje]. Ena stopinja pripada eni tristošestdesetini polnega kota. Manjše enote od stopinj so minute in sekunde, tako da je in .

• meri pravi kot,
• meri iztegnjeni kot,
• meri polni kot.
  
• ostri kot - kot, ki meri med in ,
• topi kot - kot, ki meri med in ,
• suplementarna kota - kota, ki skupaj merita ,
• komplementarna kota - kota, ki skupaj merita .

Zgledi

Koti , in so notranji koti trikotnika, , in pa zunanji koti trikotnika. Vsota notranjih kotov v trikotniku je enaka , vsota zunanjih kotov pa .

Zunanji kot je enak vsoti nepriležnih notranjih kotov, zato velja , in .

• Vsota notranjih kotov štirikotnika je ,
• vsota notranjih kotov n-kotnika je ,
• vsota zunanjih kotov n-kotnika je ,
• vsak notranji kot pravilnega n-kotnika pa meri .

ENAKOKRAKI TRIKOTNIK

Za enakokraki trikotnik je značilno, da sta dve stranici enako dolgi, ti dve stranici imenujemo kraka, tretjo stranico pa osnovnica. Kota ob osnovnica sta enaka, simetrala osnovnice pa razpolavlja kot ob vrhu trikotnika. Trikotnika in sta skladna, saj velja, da sta dva trikotnika skladna takrat, ko se ujemata v dveh stranicah in kotu, ki leži nasproti večje od stranic.

ENAKOSTRANIČNI TRIKOTNIK

Za enakostranični trikotnik je značilno, da ima vse tri stranice in vse tri kote enake.

V splošnem v trikotniku leži nasproti daljše stranice večji kot in večjemu kotu nasproti daljša stranica.

PARALELOGRAM

To je štirikotnik, ki ima dva para vzporednih stranic, nasprotni stranici sta enako dolgi, nasprotna kota skladna, sosedna pa suplementarna. Poljuben štirikotnik je paralelogram takrat, ko se diagonali razpolavljata in sta vsaki dve nasprotni stranici skladni.

TRAPEZ

To je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic, stranici in sta osnovnici, in pa kraka. Vsota nasprotnih kotov je enaka .

Pravokotni trikotnik je s katetama in natančno določen. Dolžina hipotenuze je odvisna le od dolžine katet in velja Pitagorov izrek:

Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet:

Če je hipotenuza , kateti pa in , velja .

Zgled

Pravokotno projekcijo dobimo tako, da točke ravnine projiciramo na dano premico in te točke so najbližje prvotnim točkam. To naredimo tako, da skozi točko načrtamo pravokotnico na premico. V tabeli si oglejte pravokotno projekcijo točke na premico in pravokotno projekcijo daljice na premico:

Točka je pravokotna projekcija točke na premico .	Daljica je pravokotna projekcija daljice na premico .

Zgled: V koordinatnem sistemu imamo točki in . Kolikšna je dolžina pravokotne projekcije na os daljice AB?
Rešitev

Pravokotna projekcija na os da točki C in D.

Pravokotna projekcija točke A na os je točka , točke B pa . Zato je treba izračunati dolžino daljice CD, ki je enaka: . Dolžina pravokotne projekcije daljice AB na os je enaka 6.

Višinsko točko in težišče trikotnika ste spoznali že pri lastnostih trikotnika. Drugi dve pomembni točki pa sta središče trikotniku očrtanega kroga in središče trikotniku včrtanega kroga.

SREDIŠČE TRIKOTNIKU OČRTANEGA KROGA je presečišče simetral stranic.

Stranicam trikotnika načrtamo simetrale, kjer se sekajo je središče trikotniku očrtanega kroga.

SREDIŠČE TRIKOTNIKU VČRTANEGA KROGA je presečišče simetral kotov.

Kotom trikotnika načrtamo simetrale, kjer se sekajo je središče trikotniku včrtanega kroga.
Polmer je pravokoten na stranice in gre skozi središče kroga.

Okoli negibne točke na ravnini želimo zavrteti točko za kot . To storimo tako, da povežemo točki in in načrtamo kot . Na loku, pri kotu leži točka :

Vrtenje ohranja razdalje, zato velja .

Okoli točke lahko vrtimo v pozitivni

ali negativni smeri

Dogovor je, da je vrtenje v pozitivni smeri vrtenje za pozitiven kot, v negativni smeri pa za negativen kot.

Zavrtimo točko okoli točke še za :

Točka razpolavlja daljico .

Tako vrtenje kot zrcaljenje čez točko sta toga premika.

Središčni kot je kot z vrhom v središču kroga. Del krožnice, ki leži v kotu, je krožni lok, ki pripada danemu središčnemu krogu:

Če merimo kot v stopinjah, se dolžina krožnega loka izračuna po obrazcu

Ker pa je obseg kroga enak , je dolžina loka

Če merimo kot v radianih, se dolžina krožnega loka izračuna kot

Kot v polkrogu je tak kot, ki ima vrh na krožnici, njegova kraka pa potekata skozi krajišči premera. To je pravi kot. S premikanjem točke C preverite, da je kot res vedno enak .

Geogebra datoteka

Konstrukcija tangente na dano krožnico iz dane točke v zunanjosti kroga:

• načrtamo daljico ST,
• narišemo krožnico s središčem v razpolovišču daljice ST in polmerom ,
• dotikališče tangente je presečišče te krožnice z dano krožnico,
• povežemo dano točko z dotikališčem in dobimo tangento,
• dobimo dve rešitvi.

Središčni kot je kot z vrhom v središču kroga. Kot, ki ima vrh na krožnici in izreže iz krožnice dani lok, pa je obodni kot.

Geogebra datoteka

... središčni kot
... obodni kot
... krožni lok
Nad izbranim lokom je en sam središčni kot in nešteto obodnih kotov. Preverite to trditev s premikanjem točke .

Vsi obodni koti nad istim lokom so enako veliki, velja , obodni kot je enak polovici središčnega kota nad istim lokom. Preverite to trditev s premikanjem točke ali .

Štirikotnik je tangenten, če njegove stranice ležijo na tangentah nekega kroga. To pomeni, da mu lahko včrtamo krog. Štirikotnik je tetiven, če so njegove stranice tetive nekega kroga. To pomeni, da mu lahko očrtamo krog.

Tangentni štirikotnik	Tetivni štirikotnik
Velja	Velja
Primeri: kvadrat, romb, deltoid.	Primeri: kvadrat, pravokotnik, romb.

Dva trikotnika sta podobna, če imata enake kote. Podobnost trikotnikov označimo kot ~ in pomeni, da je kot pri oglišču skladen s kotom pri oglišču , kot pri oglišču s kotom pri oglišču in kot pri oglišču s kotom pri oglišču .

Podobna si trikotnika.

Razmerje stranic podobnih trikotnikov je koeficient podobnosti in velja

Za stranice velja tudi

IZREK O PODOBNIH TRIKOTNIKIH
Dva trikotnika sta podobna, če:

• se ujemata v dveh kotih,
• se ujemata v razmerju po enakoležnih stranicah (),
• se ujemata v enem kotu in razmerju stranic, ki ta kot oklepata.

SREDNJICA TRIKOTNIKA je daljica, ki povezuje razpolovišče dveh stranic, s tretjo pa je vzporedna. Trikotnik ima tri srednjice, za katere velja, da je njihova dolžina enaka polovici dolžine vzporedne stranice.

SREDNJICA TRAPEZA je daljica, ki povezuje razpolovišči krakov trapeza in je vzporedna osnovnicama. Njena dolžina je aritmetična sredina dolžin osnovnic: .

V pravokotnem trikotniku tudi lahko uporabimo podobnost.

Ugotovimo, da so si pravokotni trikotniki ABC, ACD in CBD podobni. Zato velja:

• in iz tega . Na podoben način ugotovimo še, da velja tudi .
  EVKLIDOVA IZREKA:
  kvadrat hipotenuze je enak zmnožku projekcije te katete na hipotenuzo in hipotenuze.

• in iz tega . Če enačbo še korenimo, dobimo
  VIŠINSKI IZREK:
  višina na hipotenuzo je geometrična sredina pravokotnih projekcij obeh katet na hipotenuzo.

Oglejte si risanje kvadratnih korenov s pomočjo Evklidovih izrekov: Grafični prikaz

Oglejte si risanje kvadratnih korenov s pomočjo višinskega izreka: Grafični prikaz

Podobnostna preslikava SREDIŠČNI RAZTEG je preslikava točk v ravnini, ki točki preslika tako, da je . Če je gre za razteg, če je pa za skrčitev.

Središčni razteg daljice AB.

Negibna točka podobnostne preslikave je točka O. Središčni razteg ohranja kote in premice skozi O, ostale premice in daljice pa preslika v vzporedne premice in daljice.

Primer je togi premik, ki je podobnostna preslikava s faktorjem , zato ta preslikava ohranja razdalje, kote, ploščine...

Kotne funkcije določimo kot razmerja dveh stranic pravokotnega trikotnika, ki oklepata kot. Ker so razmerja stranic odvisna le od kota, se imenujejo kotne funkcije. Uporabljamo jih lahko le v pravokotnih trikotnikih. Če je nasproti pravemu kotu stranica in sta kateti in , kot je prikazano na zgornjem trikotniku, velja:

• SINUS kota je razmerje med nasprotno kateto in hipotenuzo:
• KOSINUS kota je razmerje med priležno kateto in hipotenuzo:
• TANGENS kota je razmerje med nasprotno kateto in priležno kateto:
• KOSINUS kota je razmerje med priležno kateto in nasprotno kateto: .

Med kotnimi funkcijami veljajo naslednje zveze:

Zgleda

Enotska krožnica je taka krožnica, ki ima središče v izhodišču in polmer 1:

Abscisa presečišča gibljivega kraka kota z enotsko krožnico je . Ordinata presečišča gibljivega kraka kota z enotsko krožnico je .

Geogebra datoteka