Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Uporaba odvoda

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Ponovil boš pojma naraščanje in padanje ter spoznal, kako ti lahko pri tem pomaga odvod funkcije. Rezultate tega opazovanja boš uporabil za določanje ekstremov (minimumov in maksimumov).

Temperatura

Bilo je jutro sredi julija, ko po radiu slišim vremensko napoved. Danes bo sončno, temperature bodo višje kot včeraj, in sicer vse do $33$ stopinj Celzija, jutri pa se bo ohladilo in bo prav prijetno, $28$ stopinj Celzija. Napovedi je bilo konec in prešinila me je misel, kdaj se bo končalo to vroče poletje. Ali bodo temperature še višje? Koliko bo letos najvišja temperatura? Graf dogajanja v teh nekaj dneh je bil približno takšen.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Temperatura

Opiši!

Kdaj je temperatura samo naraščala?

od 15.7. do 17.7.

od 15.7. do 16.7.

od 15.7. do 16.7. in od 18.7. do 19.7.

Kdaj je temperatura samo padala?

od 15.7. do 18.7.

od 16.7. do 19.7.

od 16.7. do 18.7.

Preveri

Bravo

Dosegel si $100\%$ .

Napačno

Dosegel si $0\%$ .

Napačno

Dosegel si $50\%$ .

Temperatura

Najbrž ti stavka "Temperatura je višja" ali "Temperatura je nižja" zvenita malo čudno - kot da nekaj manjka. Verjetno je treba nekaj dodati, da bomo stavek pravilno razumeli.

Prvi stavek bi se lahko glasil "Temperatura je višja kot včeraj" ali pa "Temperatura je višja, kot bo jutri". Podobno si opazil tudi pri drugem stavku.

Kaj vse je potrebno preveriti,da izvemo ali temperatura narašča oz. pada?

Najprej potrebujemo dva dneva in v vsakem dnevu vrednost temperature. Takole sklepamo:

če gremo po datumih iz preteklosti v prihodnost in je pri teh ustreznih datumih temperatura večja ali enaka, potem temperatura narašča;

če gremo po datumih iz preteklosti v prihodnost in je pri teh ustreznih datumih temperatura manjša ali enaka, potem temperatura pada.

Naraščanje in padanje

Dana je funkcija $f(x)$ . Naj bo $x_0 \leq x_1$ in $f(x_0) \leq f(x_1)$ . Pravimo, da je funkcija naraščajoča.

Naj bo $x_0 \leq x_1$ in $f(x_0) \geq f(x_1)$ . Pravimo, da je funkcija padajoča.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Naraščanje in padanje

Oglej si spodnjo sliko, medtem ko boš premikal točki $A$ in $B$ .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Naraščanje in padanje

Vprašanja

Kaj nam pove odvod, izračunan v točki funkcije?

Smerni količnik sekante v tej točki.

Smerni količnik tangente v tej točki.

Smerni ali diferenčni količnik premice je pozitiven. Premica

pada

narašča

Preveri

Bravo

Dosegel si $100\%$ .

Napačno

Dosegel si $0\%$ .

Napačno

Dosegel si $50\%$ .

Tangenta

Kot opaziš na sliki, je temperatura v nekem obdobju naraščala in v nekem obdobju padala. Da pa bi natančneje pogledali, kaj se dogaja s temperaturo, je treba opazovani točki $A$ in $B$ zbližati. Tako namesto diferenčnega količnika sekante opazujemo količnik tangente.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Ponovitev
Količnik tangente je enak vrednosti odvoda v točki funkcije.

nepravilno

pravilno

Preveri

Bravo

Pravilno si odgovoril.

Napačno

Še enkrat poskusi.

Tangenta

Premikaj točko $A$ in opazuj količnik tangente.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Tangenta

Dopolni stavke. Pri tem si pomagaj z zgornjo sliko.
Če je funkcija naraščajoča, je količnik tangente . Če je funkcija padajoča, je količnik tangente . Ko pa funkcija ne narašča in ne pada, je količnik enak 0 1 .

Preveri

Kadar je odvod funkcije (količnik tangente) v dotikališču pozitiven, potem funkcija v tej točki narašča, kadar je odvod funkcije (količnik tangente) v dotikališču negativen, potem funkcija v tej točki pada.

Če je odvod funkcije na intervalu $I$ pozitiven, potem funkcija narašča na tem intervalu, če pa je odvod funkcije na intervalu $I$ negativen, potem funkcija pada na tem intervalu.

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Če je funkcija naraščajoča, je količnik tangente pozitiven. Če je funkcija padajoča, je količnik tangente negativen. Ko pa funkcija ne narašča in ne pada, je količnik enak $0$ .

Primer

Določimo interval naraščanja funkcije $f(x) = x^2 – 4x$ .

Najprej potrebuješ odvod funkcije in dobiš $f´(x) = 2x – 4$ . Ker želiš interval naraščanja, bomo rešili neenačbo $f´(x) > 0$ . Dobimo $x > 2$ . Torej je funkcija naraščajoča za vse $x$ , večje od $2$ .

Poskusi sam!

Določi intervale naraščanja in padanja za funkcijo $f(x)=x^3-3x^2.$

Funkcija narašča na intervalu $(0,2)$ , medtem ko pada na intervalu $(-\infty,0) \cup (2,\infty)$ .

Funkcija narašča na intervalu $(-\infty,0)$ , medtem ko pada na intervalu $(0,2)$ .

Funkcija narašča na intervalu $(-\infty,0) \cup (2,\infty)$ , medtem ko pada na intervalu $(0,2)$ .

Preveri

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Namig: Najprej funkcijo odvedeš in dobiš $f´(x)=3x^2-6x$ . Nato rešiš kvadratno neenačbo, pri čemer si lahko pomagalš z grafom na sliki.

Kjer je odvod enak nič

Opazuj na spodnji sliki točke, kjer je odvod oz. smerni koeficient tangente enak nič.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Kjer je odvod enak nič

Če si dobro opazoval prejšnjo sliko, si našel tri točke, kjer je odvod funkcije enak nič. Odvod funkcije v dani točki nam pove smerni koeficient tangente. Tangenta je v teh točkah vzporedna z abscisno osjo. Za te točke imamo posebno ime.

Točke funkcije, kjer je prvi odvod enak nič, imenujemo stacionarne točke.

Recimo, da smo našli točko, kjer je prvi odvod enak nič. Kaj lahko povemo o taki točki?
Ta točka je z vidika ekstremov zelo zanimiva, saj je to točka, kjer je možen ekstrem, ni pa nujen, kar se vidi z zgornje slike. Torej je ta pogoj za iskanje ekstremov potreben, ni pa zadosten.

Maksimum, minimum

Funkcija $f(x)$ ima v $x_0$ lokalni maksimum, če velja $f(x_0) \geq f(x)$ za vsak $x$ iz okolice $x_0$ .

Funkcija $f(x)$ ima v $x_0$ lokalni minimum, če velja $f(x_0) \leq f(x)$ za vsak $x$ iz okolice $x_0$ .

Preveri na sliki

Ekstremi z odvodom

Opazuj spodnjo sliko. Potreben pogoj za ekstreme je, da je prvi odvod enak nič. Take točke so tri na spodnjem grafu (A, B, C). Opazuj odvod v okolici teh točk in ugotovi, kdaj nastopi maksimum in kdaj minimum.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Ekstremi z odvodom

Maksimum nastopi, ko je

v dovolj majhni okolici $x_0$ je levo odvod negativen, desno pa pozitiven.

v dovolj majhni okolici $x_0$ je levo odvod pozitiven, desno pa negativen.

Minimum nastopi, ko je

v dovolj majhni okolici $x_0$ je levo odvod negativen, desno pa pozitiven.

v dovolj majhni okolici $x_0$ je levo odvod pozitiven, desno pa negativen.

Ponovitev
Za določitev vrste ekstrema je dovolj, da opazujemo ničle in predznak prvega odvoda. Tako poleg ekstremov dobimo še intervale naraščanja in padanja.

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat premisli.

Naloga 1

Na spodnji sliki sta grafa funkcije in njenega odvoda. S slike razberi, kje funkcija narašča, kje pada in kje ima ekstreme.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Naloga 1

Funkcija pada na intervalu $(-\infty,$ $) \cup ($ $,\infty)$ in narašča na intervalu $($ , $)$ .

Ekstrem pri je minimum, ker je levo odvod , desno pa .

Ekstrem pri je maksimum, ker je levo odvod , desno pa .

Preveri

Pravilno

Rešitev

Funkcija pada na intervalu $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ in narašča na intervalu $(-1,1)$ .

Ekstrem pri $-1$ je minimum, ker je levo odvod negativen, desno pa pozitiven.

Ekstrem pri $1$ je maksimum, ker je levo odvod pozitiven, desno pa negativen.

Napačno

Še enkrat poskusi.

Naloga 2

Na spodnji sliki je podan graf odvoda funkcije. Določi intervale naraščanja in padanja ter ekstreme funkcije.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Naloga 2

Funkcija narašča na intervalu $(-\infty,$ $) \cup ($ $,\infty)$ in pada na intervalu $($ , $)$ .

Pri ima funkcija maksimum, ker je levo odvod , desno pa .

Pri ima funkcija minimum ker je levo odvod , desno pa .

Preveri

Pravilno

Rešitev

Funkcija narašča na intervalu $(-\infty,1) \cup (6,\infty)$ in pada na intervalu $(1,6)$ .

Pri $1$ ima funkcija maksimum, ker je levo odvod pozitiven, desno pa negativen.

Pri $6$ ima funkcija minimum, ker je levo odvod negativen, desno pa pozitiven.

Napačno

Še enkrat poskusi.

Dodatne naloge 1

Določi intervale naraščanja in padanja naslednjih funkcij.Poveži!

$f(x^4-x^2)$

$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$

$(x-2)^2e^{-x}$

Počisti

Narašča na intervalu $(-\frac{\sqrt{2}}{2},0) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2},\infty )$ .

Pada na intervalu $(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (0,\frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Narašča na intervalu $(-1,1)$ .

Pada na intervalu $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ .

Narašča na intervalu $(2,4)$ .

Pada na intervalu $(-\infty,2) \cup (4,\infty)$ .

Preveri

Pravilno

Rešitev

$f(x^4-x^2)$
Narašča na intervalu $(-\frac{\sqrt{2}}{2},0) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2},\infty )$ .
Pada na intervalu $(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (0,\frac{\sqrt{2}}{2})$ .

$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$
Narašča na intervalu $(-1,1)$ .
Pada na intervalu $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ .

$(x-2)^2e^{-x}$
Narašča na intervalu $(2,4)$ .
Pada na intervalu $(-\infty,2) \cup (4,\infty)$ .

Napačno

Poskusi še enkrat.

Dodatne naloge 2

Funkcijam iz prejšnje naloge določi stacionarne točke ter vrsto ekstremov.

$f(x^4-x^2)$

Stacionarni točki $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $0$ sta maksimuma, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ je minimum.

Stacionarni točki $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sta maksimuma, $0$ je minimum.

Stacionarni točki $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sta minimuma, $0$ je maksimum.

Funkcija $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ ima v stacionarni točki minimum, v točki pa maksimum.

Funkcija $(x-2)^2e^{-x}$ ima v stacionarni točki minimum, v točki pa maksimum.

Preveri

Pravilno

Rešitev

Funkcija $f(x^4-x^2)$ ima v stacionarni točki $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $\frac{\sqrt{2}}{2}$ minimum, v $0$ pa maksimum.

Funkcija $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ ima v stacionarni točki $-1$ minimum, v točki $1$ pa maksimum.

Funkcija $(x-2)^2e^{-x}$ ima v stacionarni točki $2$ minimum, v točki $4$ pa maksimum.

Napačno

Še enkrat poskusi.

Dodatne naloge 3

Dan je graf odvoda funkcije $f(x)$ , kot kaže spodnja slika. Določi intervale naraščanja in padanja, stacionarne točke ter ekstreme.

Funkcija narašča na intervalu $(-\infty,$ $) \cup ($ , $) \cup ($ $,\infty)$ .
Funkcija pada na intervalu $($ , $)$ .
Stacionarne točke: minimum: , maksimum .

Preveri

Pravilno

Rešitev

Funkcija narašča na intervalu $(-\infty,3) \cup (-1,2) \cup (2,\infty)$ .
Funkcija pada na intervalu $(-3,-1)$ .
Stacionarne točke: minimum: $-1$ , maksimum $-3$ .

Napačno

Še enkrat poskusi.

Uporaba odvoda

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Uporaba odvoda

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Bravo

Napačno

Napačno

Bravo

Napačno

Napačno

Bravo

Napačno

Pravilno

Napačno

Rešitev

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Rešitev

Napačno

Pravilno

Rešitev

Napačno

Pravilno

Rešitev

Napačno

Pravilno

Rešitev

Napačno

Pravilno

Rešitev

Napačno