Kvadratna funkcija je definirana s predpisom .
Realna števila , ki ne sme biti 0, ter števili in imenujemo koeficienti. Število imenujemo vodilni koeficient, število pa konstantni člen. Grafu kvadratne funkcije pravimo parabola.
Kvadratna funkcija - teorija
Kvadratna funkcija - teorija
skupina NAUK
Zapis kvadratne funkcije, risanje grafov kvadratne funkcije, reševanje kvadratne enačbe in neenačbe, branje matematičnega besedila ter prevod v kvadratno enačbo
Definicija kvadratne funkcije
Koeficient a
Če sta in enaka nič, lahko funkcijo zapišemo kot . Tedaj leži za graf funkcije pod abscisno osjo, za pa nad abscisno osjo.
Koeficient c
Graf kvadratne funkcije se v smeri osi vzporedno premakne za . Če je , se funkcija premakne v navzgor, če je pa navzdol.
Koeficient je 0
Če je vodilni koeficient enak 0, je graf kar linearna funkcija. Preizkusite sami.
Oblike zapisa kvadratne funkcije
Kvadratno funkcijo lahko zapišemo v treh oblikah:
- SPLOŠNA OBLIKA
- TEMENSKA OBLIKA
, kjer je teme parabole v točki . - NIČELNA OBLIKA
, kjer sta in ničli kvadratne funkcije.
Presečišče parabole in njene simetrale imenujemo teme parabole , kjer sta
Funkcija v temenu doseže ekstremno vrednost. Če je , doseže funkcija v temenu najmanjšo vrednost oziroma minimum, če je pa največjo vrednost oziroma maksimum.
Teme
Če želimo kvadratno funkcijo s temenom v točki spremeniti tako, da bo imela teme v točki jo moramo premakniti najprej za vektor v vodoravni smeri ter za vektor v navpični smeri. Tako dobimo funkcijo , ki ima teme v točki .
|
Ničli kvadratne funkcije
V ničelni obliki kvadratno funkcijo zapišemo kot , zato tedaj, ko je enak ali , funkcija doseže vrednost 0. Povedano drugače, ter , zato pravimo, da sta in ničli funkcije.
Pretvorbe iz splošne oblike
Če pretvarjamo zapis kvadratne funkcije iz splošne v temensko obliko, si nam ni potrebno zapomniti obrazca za izračun koordinat temena na pamet, ampak jo lahko izpeljemo. Poglejmo, kako to storimo za funkcijo
- izpostavimo vodilni koeficient
- dopolnimo do popolnega kvadrata
- poenostavimo
V ničelno obliko pretvorimo kvadratno enačbo tako, da ugotovimo ničli s pomočjo reševanja kvadratne enačbe, kar si bomo pogledali v nadaljevanju.
Splošna oblika
Iz temenske ali ničelne oblike kvadratne funkcije dobimo splošno obliko kar s poenostavitvijo izraza. Na primer:
- iz temenske oblike: ,
- iz ničelne oblike: .
Kvadratna enačba
Enačbo imenujemo kvadratna enačba. Rešitvi kvadratne enačbe lahko izračunamo na dva načina:
z Vietovima formulama:
kjer sta in korena oziroma rešitvi enačbe.
Zanju veljata Vietovi formuliz uporabo obrazca za reševanje kvadratne enačbe:
Korena enačbe stakjer je diskriminanta.
Pomen diskriminante:
- če je , ima enačba dve različni realni rešitvi Grafični prikaz
- če je , enačba nima realne rešitve Grafični prikaz
- če je , ima enačba eno dvojno rešitev Grafični prikaz
Ničle in koreni
Ničle so točke, v katerih ima kvadratna funkcija vrednost 0, koreni pa so rešitve kvadratne enačbe. Ko iščemo ničle funkcije , v resnici rešujemo enačbo , zato so koreni te enačbe ravno ničle dane funkcije.
Primer:
Kvadratna funkcija ima eno dvojno ničlo , kvadratna enačba pa ima dva enaka korena .
Kompleksne rešitve kvadratne enačbe
Ko je diskriminanta manjša od nič, kvadratna enačba nima realnih rešitev, ima pa rešitvi v obsegu kompleksnih števil. Pravimo jima konjugirano kompleksni rešitvi in ju zapišemo kot
Diskriminanta je večja od 0
Če ima kvadratna enačba diskiminanto večjo od 0, potem graf kvadratne funkcije seka abscisno os v dveh različnih točkah (v korenih enačbe).
|
|
Diskriminanta je manjša od 0
Če ima kvadratna enačba diskiminanto manjšo od 0, potem graf kvadratne funkcije ne seka abscisne osi.
|
|
Diskriminanta je enaka 0
Če ima kvadratna enačba diskiminanto enako 0, potem se graf kvadratne funkcije dotika abscisne osi v eni točki (v korenu enačbe).
|
|
Zgledi reševanja kvadratnih enačb
1. zgled: Razstavimo izraz .
- Uporabimo Vietovi formuli: in .
- Z ugibanjem dobimo rešitvi in .
|
Zgledi reševanja kvadratnih enačb
2. zgled: Poiščimo realne rešitve enačbe z uporabo obrazca za reševanje kvadratne enačbe.
- Uporabimo novo spremenljivko . Tako dobimo enačbo -
- Enačbo lahko delimo z 2 ter dobimo .
- Nato jo rešimo z uporabo diskriminante .
- Velja .
- Ker je , dobimo dve različni realni rešitvi:
- Upoštevamo . To naredimo tako, da v enačbo vstavimo oba korena in izračunamo .
- Tak v realnem ne obstaja.
Realni rešitvi enačbe sta torej
Graf kvadratne funkcije
Graf kvadratne funkcije narišemo tako, da:
- Poiščemo ničle funkcije , tako da rešimo enačbo .
- Izračunamo teme kvadratne funkcije, pri tem pa uporabimo znana obrazca za izračun temena .
- Izračunamo . V vrednosti, ki jo dobimo, funkcija seka ordinatno os.
- Če je vodilni koeficient pozitiven, je funkcija odprta navzgor, če pa je negativen, je funkcija odprta navzdol.
Graf funkcije
|
Načini izračuna temena
Če ne veste obrazca za izračun koordinat temena, si lahko pomagate na dva načina:
- Funkcijo pretvorite v temensko obliko, koordinati temena pa dobite iz temenske oblike enačbe kot .
Če ste pozabili postopek, se vrnite nazaj na razlago oblik zapisa kvadratne funkcije in ga ponovite.
Ponovi
- Upoštevate dejstvo, da je abscisa temena ravno aritmetična sredina ničel.
Zgled: Poiščimo teme kvadratne funkcije s pomočjo drugega postopka.
Funkcija ima ničli in , zato je abscisa temena enaka . Ordinata temena je tako .
Kvadratna neenačba
Neenačba oblike ali , kjer , je kvadratna neenačba. Neenačbo rešimo tako, da najprej poiščemo morebitne ničle kvadratne funkcije ter določimo predznak vodilnega koeficienta , da vemo, če je graf konveksen ali konkaven. Potem narišemo skico grafa in zapišemo interval ali unijo intervalov, na katerih je kvadratna funkcija pozitivna oziroma negativna.
Zgled: Preverite možne rešitve neenačbe glede na vrednosti parametrov.
Konveksnost in konkavnost parabole
Parabola, s katero opišemo graf kvadratne funkcije, je konveksna natanko takrat, ko je in konkavna natanko takrat, ko je .
Stroge neenakosti
Če so v kvadratnih neenačbah neenakosti stroge, ničel kvadratnih funkcij, ki ustrezajo neenačbam, ne upoštevamo v množici rešitev.
Množica rešitev kvadratne neenačbe
Možne rešitve neenačbe oblike lahko opišemo glede na vrednost parametra ter diskriminante (ki je seveda odvisna od izbire in ). V spodnji tabeli lahko vidite vse možnosti.
| D>0 | D=0 | D<0 | |
| a >0 | |||
| a <0 |
Če rešujete neenačbo , pa je najlažje, če jo pomnožite z ter gledate neenakost .
Kvadratna neenačba - zgled
Poglejmo si zgled reševanja kvadratne neenačbe. Denimo, da moramo rešiti neenačbo .
- Najprej poiščemo korene enačbe . To lahko storimo s pomočjo Vietovih pravil in dobimo ter .
- Vodilni koeficient , torej je večji od nič. Zato je funkcija konveksna, njen graf pa odprt navzgor.
- Narišemo skico funkcije.
- Ker mora biti v rešitvah vrednost , upoštevamo le tista števila, za katera je vrednost funkcije manjša od nič.
- Kot je razvidno iz skice, so to števila na odprtem intervalu .
|
Presečišče parabole in premice
Presečišče parabole in premice dobimo tako, da rešimo sistem dveh enačb. Tako dobimo eno enačbo, iz te enačbe pa koren/a. Z vstavljanjem korenov v eno izmed enačb izračunamo še drugo koordinato in tako dobimo presečišče/i.
Zgled: Poiščimo presečišča parabole in premice .
- Izenačimo enačbi parabole in premice ter dobimo .
- Rešimo enačbo .
- Diskriminanta je enaka .
- Rešitvi sta :
,
. - V enačbo premice (ali v enačbo parabole) vstavimo vrednosti in :
,
. - Presečišči sta tako ter .
Grafični prikaz rešitve
|
Presečišče dveh parabol
Presečišče dveh parabol dobimo tako, da rešimo sistem dveh enačb, s tem dobimo eno koordinato, drugo pa tako, da vstavimo koordinato v eno izmed parabol.
Zgled: Poiščimo presečišča parabol in .
- Izenačimo enačbi parabol .
- Rešimo enačbo .
- Diskriminanta je enaka .
- Rešitvi sta :
,
. - V eno od enačb parabol vstavimo vrednosti in :
,
. - Presečišči sta tako ter .
Grafični prikaz rešitve
|
Uporaba kvadratne neenačbe
Za katera števila velja: če kvadratu tega števila, zmanjšanemu za zmnožek tega števila s številom prištejemo , dobimo manj od ?
Oglejmo si postopek reševanje dane naloge:
- Označimo iskano število z . Potem je kvadrat tega števila enak .
- To število zmanjšamo za število .
- Vsemu skupaj prištejemo še .
- Ker mora biti vsota manjša od , dobimo kvadratno neenačbo .
- Kvadratno enačbo rešimo in dobimo dve rešitvi, in .
- Na skici grafa funkcije pogledamo, za katere so vrednosti manjše od .
- Dobimo interval rešitev, .
Grafični prikaz rešitve
Poglejmo si, kdaj je .
|
Ekstremalni problem
Vsota katet pravokotnega trikotnika meri . Določi dolžini katet tako, da bo hipotenuza najmanjša.
Oglejmo si postopek reševanja dane naloge:
- Vsoto katet in lahko zapišemo z .
- Eno kateto izrazimo z drugo; npr. .
- Za pravokotni trikotnik velja .
- V enačbo namesto vstavimo in dobimo .
- Ker želimo, da je hipotenuza najmanjša, moramo poiskati teme kvadratne enačbe na desni strani enakosti.
- Z dopolnitvijo do popolnega kvadrata dobimo .
- Hipotenuza je najkrajša, ko je in posledično .
Grafični poizkus
Poskusite s premikanjem dolžine ene od katet poiskati najmanjšo možno vrednost hipotenuze.
- Definicija kvadratne funkcije
- Oblike zapisa kvadratne funkcije
- Pretvorbe iz splošne oblike
- Kvadratna enačba
- Zgledi reševanja kvadratnih enačb
- Zgledi reševanja kvadratnih enačb
- Graf kvadratne funkcije
- Kvadratna neenačba
- Kvadratna neenačba - zgled
- Presečišče parabole in premice
- Presečišče dveh parabol
- Uporaba kvadratne neenačbe
- Ekstremalni problem
