Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Funkcija

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Uvod

O funkciji govorimo, kadar obstaja neki predpis (pravilo), ki vsakemu elementu iz neke množice na enoličen način priredi element iz druge množice.

Pazljivo preberi opise prirejanj in razmisli, kateri nam predstavljajo funkcijo.
1. Vsakemu prebivalcu Slovenije priredimo številko zdravstvene izkaznice. Pravilno. Napačno.

2. Vsakemu uspešnemu dijaku podelimo priznanje. Pravilno. Napačno.

3. Vsaki točki ravnine priredimo točko, ki je od nje oddaljena za $5$ . Pravilno. Napačno. Vsaki točki lahko priredimo več takih, ki ustrezajo pogoju.

4. Vsakemu večkratniku števila $–2$ priredimo njegov kvadrat. Pravilno. Napačno.

5. Vsakemu $15$ -letniku priredimo zabavo za odlično oceno. Pravilno. Napačno.

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.
Enemu prebivalcu ne moremo prirediti dveh različnih številk.
Dijak z več odličnimi ocenami ima več zabav.
Vsaki točki iz tretje točke lahko priredimo več takih, ki ustrezajo pogoju.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.
Namig:
Enemu prebivalcu ne moremo prirediti dveh različnih številk.
Dijak z več odličnimi ocenami ima več zabav.
Vsaki točki iz tretje točke lahko priredimo več takih, ki ustrezajo pogoju.

Funkcija

Pri funkciji moramo paziti na to, da vsakemu elementu priredimo natačno določen element. Neko prirejanje ni funkcija, če enemu elementu priredi več vrednosti.

Funkcija ali preslikava iz množice $A$ v množico $B$ je predpis, ki vsakemu elementu $x$ iz množice $A$ priredi natanko en element $y$ iz množice $B$ .

Elemente množice $A$ imenujemo originali oziroma neodvisne spremenljivke, ki sestavljajo definicijsko območje funkcije $D_f$ , njihove slike pa sestavljajo zalogo vrednosti funkcije $Z_f$ , ki je podmnožica množice $B$ . Kadar je tako definicijsko območje kot zaloga vrednosti množica realnih števil, govorimo o realni funkciji.

Funkcije lahko ponazarjamo na več načinov: s puščičnim diagramom, s tabelo ali z grafom.

Puščični diagram

Puščični diagram največkrat uporabljamo takrat, kadar sta množici $A$ in $B$ končni z majhnim številom elementov. Tako lahko nazorno prikažemo lastnosti funkcij.

Kateri izmed diagramov ponazarjajo funkcijo? Utemelji.

Namig

Diagrama $a$ in $b$ ponazarjata funkciji, saj je vse v skladu z definicijo; vsakemu elementu iz množice $A$ priredita natančno določen element množice $B$ .

Primer $c$ ne predstavlja funkcije, saj ima element $b$ dve sliki.

Primer $d$ ne predstavlja funkcije, saj niso preslikani vsi elementi iz množice $A$ .

Tabela

Tabelo uporabimo, kadar računamo določene funkcijske vrednosti.

Dopolni tabeli za podani funkciji. Podane vrednosti vnesi na prava mesta v tabeli.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Rešitev

Graf funkcije

V koordinatnem sistemu narišemo graf funkcije tako, da pri izbranih vrednostih $x$ izračunamo funkcijsko vrednost; v koordinatni sistem narišemo točko $(x, f(x))$ . Če izračunamo funkcijsko vrednost za vsak $x$ iz definicijskega območja, narisane točke tvorijo graf funkcije.

Spodaj se izrisuje graf linearne funkcije $f(x)=x+2$ .

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Graf funkcije $f$ je množica vseh tistih točk $(x, y)$ v pravokotnem koordinatnem sistemu, ki imajo za absciso vrednost neodvisne spremenljivke $x$ iz definicijskega območja funkcije, ordinata $y$ pa je vrednost funkcije $f(x)$ pri tem $x$ .

$G_f = \{T (x, f(x)); \in D_f\}$

Nad vsako točko definicijskega območja funkcije obstaja natanko ena točka grafa. Torej vsaka vzporednica osi $y$ seka graf funkcije največ v eni točki.

Krožnica ni graf funkcije, saj vzporednica osi $y$ seka krivuljo v dveh točkah. [image:krog.PNG, width=400]] Krivulja (krožnica), ki ni graf nobene realne funkcije.

Značilne točke grafa

Ker ne moremo izračunati vseh funkcijskih vrednosti in potem narisati grafa funkcije, si pri risanju grafov pomagamo z nekaterimi pomembnimi točkami grafa. Premikaj točko $A$ na podanem grafu. Katere točke bi nam lahko pomagale pri risanju grafov funkcij?

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Zapiši točke, v katerih funkcija seka abscisno os. Kako bi jih izračunal, če bi poznal predpis funkcije?

Rešitev

Kje graf seka ordinatno os? Koliko je takih točk na grafu funkcije?

Rešitev

Za vajo opiši lastnosti funkcije, katere graf imaš podan.

Rešitev

Graf seka abscisno os v točki $A_1(–1, 0)$ in $A_2(5, 0)$ . Ker je ordinata teh točk $0$ , jih izračunamo tako, da funkcijski predpis enačimo z $0$ .

Graf seka ordinatno os v točki $(0, –5)$ , ki je ena sama, saj se samo $x=0$ preslika v to točko.

Funkcija je definirana za vsa realna števila, slika pa v množico $[–9, \infty)$ , kar pomeni, da je navzdol omejena. Pada na intervalu $(–\infty, 2)$ in potem na intervalu $(2, \infty )$ narašča. V točki $(2, –9)$ doseže najmanjšo vrednost. Ni niti soda niti liha.

Ničla funkcije

Ničla funkcije je tako število $x$ , pri katerem je vrednost funkcije enaka $0$ . Dobimo jo tako, da rešimo enačbo:

$f(x)=0$

Če je $x$ ničla funkcije, je $f(x)=0$ in obratno. Torej točka $T(x, 0$ ) leži na abscisni osi, kar pomeni, da graf v tej točki seka abscisno os ali pa se je dotika.

Začetna vrednost funkcije

Začetna vrednost funkcije je vrednost funkcije pri $x=0$ , torej $f(0)$ .

Začetna vrednost nam pove presečišče grafa funkcije z ordinatno osjo.

Več o grafu funkcije si oglej v poglavju Risanje grafov funkcij.

Naloga 1

Opazuj podane krivulje in razmisli, katere izmed njih predstavljajo graf funkcije. V teh primerih zapiši njihovo definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničlo in začetno vrednost.

Je graf linearne funkcije, kjer sta def. območje in zaloga vrednosti realna števila, ničla je pri $x=2$ in $f(0)=–4$ .

Ni graf nobene funkcije, saj ima en $x$ več različnih vrednosti (vzporednica ordinatni osi večkrat seka dano krivuljo).

S slike lahko razberemo, da je funkcija definirana povsod, razen za $x=–2$ in $x=3$ ; $D_f= \mathbb{R}- \{-2,3\}$ , doseže vse vrednosti, razen tiste od $0$ do $1$ ; $Z_f = \mathbb{R}-(0,1]$ , ničlo ima pri $x=0$ , kjer je tudi začetna vrednost.

Naloga 2

a) Dana je funkcija $f(x)=-2x+3$ .

Zapiši definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničlo in začetno vrednost.

Rešitev

b) Naj bo $g(x)=|x+2|-3$ . Izračunaj ničli in začetno vrednost ter nariši graf. Kaj je njena množica slik?

Rešitev

$|x+2|=3$ $x+2=3 \textrm{ in } x+2=-3$ $x_1 =1 \textrm{ in } x_2 = -5$ $g(0) = -1$

Z grafa razberemo, da funkcija zavzame samo vrednosti $[–3, \infty )$ .

Funkcija $f(x)$ je linearna funkcija, ki je definirana povsod in zavzame vse vrednosti, zato sta $D_f$ in $Z_f$ množici realnih števil.
$-2x+3= 0$ , $x= \frac{3}{2}$ je ničla, $f(0)=3$ je začetna vrednost.

Naloga 3

S puščičnimi diagrami podaj vse mogoče funkcije iz $\{1,2\}$ v $\{3,4\}$ tako, da vedno preslikaš vse elemente.

Rešitev

Naloga 4

Funkcija $f$ priredi vsakemu realnemu številu od $−3$ do $2$ njegovo dvakratno vrednost, zmanjšano za $1$ .
a) Napiši predpis funkcije.
b) Tabeliraj funkcijo s korakom $1$ .
c) Nariši graf funkcije.
d) Zapiši definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničlo in začetno vrednost.

Predpis funckije: $f(x)=$ $x +$

Tabela funkcije:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$

$D_f =[$ , $]$

$Z_f =[$ , $]$

Ničla je: $x= \frac {m}{n}$ ; $m=$ , $n=$

Začetna vrednost: $f(0)=$

Preveri

Graf funkcije

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

$f(x) = 2x + (-1)$

Naloga 5

Funkcija $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ je podana s predpisom

$g(x) = x^2 + 2.$

a) Ugotovi, ali so točke $(−1, 1)$ , $(−2, 6)$ in $(a − 1, a^2 − 2a + 3)$ na grafu funkcije.
b) Ali je $2$ v množici slik funkcije? Kaj pa 0?
c) Določi vse točke na grafu funkcije $g$ , katerih ordinata je enaka $18$ .

Točka $(−1, 1)$ na grafu funkcije,
točka $(−2, 6)$ na grafu funkcije in
točka $(a − 1, a^2 − 2a + 3)$ na grafu funkcije.

$2$ v množici slik.
$0$ v množici slik.

Ordinata je enaka $18$ v točkah:

Taka točka je $(4, 18)$ .

Takih točk je neskončno.

Taki točki sta dve: $(-4, 18)$ in $(4, 18)$ .

Take točke ne obstajajo.

Preveri

Utemeljitev rešitve

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

a) $(1,-1)$ ni na grafu funkcije, saj je $g(1) = 3$ ,
točka $(−2, 6)$ je na grafu funkcije, saj je $g(-2) =6$

b) Ker je $g(0) = 2$ , je $2$ v množici slik in hkrati začetna vrednost funkcije. Funkcija ne seka abscisne osi, saj je $x^2 +2 \neq 0$ za vsa realna števila, torej število $0$ ni v množici slik.

c) To sta $(-4, 18)$ in $(4, 18)$ .

$x^2 +2 = 18$ $x^2 = 16$ $x = \mp 4$

Funkcija

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Funkcija

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno

Pravilno

Napačno