Logaritemska funkcija z osnovo (kjer je in ) je preslikava , za vse . Logaritemska funkcija je inverzna eksponentni funkciji z enako osnovo, velja:
Logaritemska funkcija - teorija
Logaritemska funkcija - teorija
skupina NAUK
Razumevanje pojma logaritemske funkcije, risanje grafa logaritemske funkcije, uporaba pravil za računanje z logaritmi in reševanje logaritemskih enačb.
Definicija logaritemske funkcije
Ničla logaritemske funkcije
Vse logaritemske funkcije imajo pri vrednost . To pomeni, da je ničla logaritemske funkcije v točki .
Definicijsko območje in zaloga vrednosti logaritemske funkcije
Definicijsko območje logaritemske funkcije je množica vseh pozitivnih realnih števil: , zaloga vrednosti pa je množica vseh realnih števil: .
Lastnosti logaritemske funkcije
Funkcija ima naslednje lastnosti:
- Za je funkcija naraščajoča, za je funkcija padajoča.
- Funkcija je navzgor in navzdol neomejena.
- Graf logaritemske funkcije gre skozi točko .
Ordinatna os je navpična asimptota.
Graf logaritemske funkcije
Graf logaritemske funkcije je krivulja z enačbo . Grafično jo dobimo tako, da eksponentno funkcijo prezrcalimo preko simetrale lihih kvadrantov .
Graf logaritemske funkcije
Zgled: Narišite graf funkcije , zapišite definicijsko območje in pol dane funkcije.
Rešitev:
Najprej narišemo graf eksponentne funkcije ter ga zrcalimo preko simetrale . Funkcija je premaknjena za v levo, kar pomeni, da je tudi premica, čez katero zrcalimo, premaknjena za v levo oz. .
Definicijsko območje:
Pol:
Pravila za računanje z logaritmi
Dokaz
lahko zapišemo v obliki potence kot . Torej lahko z upoštevanjem 5. pravila zapišemo .
Dokaz za logaritem produkta
Vzemimo: in . Produkt logaritmiramo in dobimo . Dokazali smo, da je logaritem produkta pri isti osnovi enak vsoti logaritmov posameznih faktorjev.
Desetiški logaritem in naravni logaritem
Kot posebna primera logaritmov si oglejmo desetiški in naravni logaritem:
logaritme z osnovo 10 imenujemo desetiški (Briggsovi) logaritmi in jih zapišemo kot
logaritme z osnovo imenujemo naravni (Napierovi) logaritmi in jih zapišemo kot
Vrednost števila
Prehod k novi osnovi
Logaritma števila pri osnovi in pri osnovi povezuje zveza:
Velja:
Dokaz za prehod k novi osnovi
Definicijo logaritma že poznamo: .
Logaritmiramo glede na osnovo : .
Izrazimo : , ter vstavimo .
Dobimo:
Logaritemske enačbe
V logaritemski enačbi nastopa neznanka v logaritmu ali v njegovi osnovi. Pri reševanju logaritemskih enačb običajno dobimo eno izmed dveh oblik rešitve:
Reševanje logaritemskih enačb si oglejmo na naslednjih zgledih.
Zgled: Rešite enačbo .
Rešitev:
Zgled: Rešite enačbo .
Rešitev:
Ne. Logaritem negativnega števila ni definirano število, zato je logaritmand lahko le pozitivno število.
Zgledi logaritemskih enačb
Zgled: Rešite enačbo .
Rešitev:
Zgledi logaritemskih enačb
Zgled: Rešite enačbo .
Rešitev:
Zgledi logaritemskih enačb
Zgled: Rešite enačbo .
Rešitev:
