Gradiva nauk.si zahtevajo za pravilen prikaz sodoben brskalnik. Preverjeno delujejo
z brskalniki Mozilla Firefox 3.5+, Google Chrome 4.0+, Safari 4.0+, Internet Explorer 8.0+ ali Opera 10.50+.
V primeru, da uporabljate Internet Explorer 8, preverite, če imate vklopljen združljivostni način
(Compatibility view), ki ga lahko izklopite s klikom na ikono, ki jo vidite na spodnji sliki.
Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način
vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.
Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.
Definicija kotnih funkcij in lastnosti
Avtor: Skupina NAUK in Klavdija Erhartič
Učni cilji: definicije in lastnosti kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku, definicije kotnih funkcij na enotski krožnici, zveze med kotnimi funkcijami
Za začetek narišimo ostri kot in nekaj pravokotnic na vodoravni krak tega kota:
Pravokotni trikotniki , , , ki pri tem nastanejo, so podobni; imajo namreč enake kote. Zato so razmerja dveh enakoležnih stranic pri vseh trikotnikih enaka. Ta razmerja se lahko spremenijo le, če spremenimo kot - torej so odvisna le od kota. V matematiki pa takim odvisnim količinam rečemo funkcije.
Ker so razmerja stranic v pravokotnem trikotniku odvisna le od kota, jih imenujemo kotne funkcije.
Vseh razmerij po dveh stranic v pravokotnem trikotniku je šest, vendar večinoma uporabljamo samo štiri, to so: sinus, kosinus, tangens in kotangens kota.
Definicije kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku
Kotne funkcije so razmerja dveh stranic pravokotnega trikotnika.
Sinus kota
je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasproti ležečo kateto in hipotenuzo.
Kosinus kota
je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.
Tangens kota
je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasproti ležečo kateto in kotu priležno kateto.
Kotangens kota
je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in kotu nasprotno kateto.
Tangens lahko označimo tudi s tg ali s tan, kotangens pa s ctg ali s ctan.
Obstajata tudi funkciji sekans in kosekans , ki pa se v praksi ne uporabljata.
Natančne vrednosti kotnih funkcij kotov in dobimo iz polovice enakostraničnega trikotnika, za kot pa iz polovice kvadrata. Vemo, da je višina enakostraničnega trikotnika s stranico enaka dolžina diagonale kvadrata s stranico enaka . (Sicer lahko oboje dokažemo z uporabo Pitagorovega izreka.)
Izpeljava sledi z uporabo definicij kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku. Za kotne funkcije kotov in bomo lažje dokazali s pomočjo enotske krožnice.
Zgled kotnih funkcij v pravokotniku
Pravokotnik ima stranici 18,42 cm in 7,56 cm. Določite kota med diagonalo in stranicama.
Če želimo izračunati kot si lahko pomagamo s kotu priležno in kotu nasproti ležno stranico.
Tangens je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasproti ležečo kateto in kotu priležno kateto.
Kot in tako izračunamo s pomočjo kotne funkcije tangens.
Izračunali smo tangens kota, vendar mi potrebujemo kot. Zato izračunamo še kot s pomočjo računala in uporabimo inverzno funkcijo .
Kot .
Podobno izračunamo kot :
Kot .
Enotska krožnica
Enotska krožnica je krožnica z radijem 1 enoto. Njeno središče postavimo v koordinatno izhodišče.
Kot postavimo v enotsko krožnico tako, da je njegov vrh v središču krožnice, en krak leži na pozitivnem delu abscisne osi in ga imenujemo nepremični krak, drug krak kota pa je premični krak ter seka enotsko krožnico v točki T.
Zaenkrat se omejimo le na prvi kvadrant, kjer je kot ostri. Če narišemo pravokotno projekcijo skozi točko na abscisno os, dobimo pravokotni trikotnik.
Uporabimo definicijo kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku in dobimo:
Presečišče premičnega kraka kota in enotske krožnice določa vrednost kotnih funkcij.
Definicije kotnih funkcij na enotski krožnici
Zdaj lahko definiramo kotne funkcije tudi za kote večje od
Sinus kota je ordinata točke T, v kateri premični krak kota seka enotsko krožnico. Kosinus kota je abscisa točke T, v kateri premični krak kota seka enotsko krožnico. Tangens kota je ordinata točke, kjer nosilka premičnega kraka kota seka tangento na enotsko krožnico pri x = 1. Kotangens kota je abscisa točke, kjer nosilka premičnega kraka kota seka tangento na enotsko krožnico pri y = 1.
PREMISLITE
Poljubno lahko premikate točko T.
S pomočjo izračuna na računalu se prepričajte ali sta sinus in kosinus kota resnično enaka koordinatam točke T.
Razširitev kotnih funkcij do polnega kota
Oglejmo si, kako lahko vrednosti kotnih funkcij zapišemo s pomočjo ostrih kotov.
Točka je presečišče premičnega kraka kota in enotske krožnice, zato velja: in , točka pa je presečišče premičnega kraka kota in enotske krožnice, zato velja: in . Torej lahko zaključimo:
in , kjer je .
V tem primeru je točka presečišče premičnega kraka kota in enotske krožnice, zato velja: in . Torej lahko zaključimo:
in , kjer je oziroma krajše kar .
Spomnimo se, da se pri vrtenju premičnega kraka na enotski krožnici, krak po polnem krogu zopet vrne v prvotno lego. Torej s prištevanjem ali odštevanjem poljubnega večkratnika polnega kota, se vrednosti kotnih funkcij ne spremenijo. Pravimo, da so funkcije periodične.
Koti merjeni v stopinjah ali v radianih
Kadar smo govorili o kotu smo se poslužili definicije, kjer je kot definiran kot del ravnine med dvema poltrakoma s skupnim izhodiščem. S tem smo bili omejeni na kot od do .
Za definicijo kotnih funkcij, potrebujemo kote, ki so lahko poljubna realna števila, saj želimo kotne funkcije definirati kot funkcije realne spremenljivke.
Zato se spomnimo druge merske enote za kote - radiane.
Središčni kot, ki pripada loku krožnice z dolžino radija krožnice, meri 1 radian.
Dolžina loka, ki mu pripada središčni kot se premosorazmerno spreminja s spreminjanjem velikosti središčnega kota. Torej pripadajočemu središčnemu kotu ustreza lok, ki meri .
Kadar je , je . Od tod sledi, da je 1 radian enak . Sam lahko z računalom preveriš, da je to približno .
