Sintaksa ukaza

V slovenščini: Ponavljaj[ <funkcija>, <začetna-vrednost>, <število ponovitev> ]

V angleščini: Iteration[ <Function>, <Start Value>, <Number of Iterations> ]

Princip uporabe ukaza Ponavljaj

Z ukazom dosežemo, da začetno vrednost iteriramo n-krat po določenem algoritmu (funkcija). Iteracija v našem primeru pomeni ponavljanje nekega algoritma tako, da štartamo z neko začetno vrednostjo . Vrednost, ki nam jo ta algoritem vrne ponovno uporabimo na novem algoritmu. Ko to naredi Geogebra n-krat(toliko krat kolikor zahteva uporabnik) ukaz Ponavljaj vrne ustrezno vrednost po n-ti iteraciji.

Preprost primer

• funkcija ->

• začetna vrednost -> 2

• število iteracij -> 4

Potek ukaza:

1. vrednost po 1. iteraciji -> 4
2. vrednost po 2. iteraciji -> 16
3. vrednost po 3. iteraciji -> 256
4. vrednost po 4. iteraciji -> 65536

Dejanski ukaz v Geogebri bi bil:

Ponavljaj[ , 2, 4 ]

Geogebri bi nam res vrnila vrednost 65536.

Kje lahko uporabljamo ta ukaz?

Kjerkoli potrebujemo izvajati nek iterativni algoritem

Npr.:

• Banachovo skrčitveno načelo
• Newtonova metoda
• ...

Na kratko o Newtonovi metodi

To je metoda, ki se uporablja za numerično iskanje ničel funkcij. Da bo metoda delovala, bomo morali imeti podan nek približek ničle. V točki funkcije kjer je x začetna vrednost bomo narisali tangento. Iskali bomo presečišče abscisne osi s tangento. To bo naš nov približek ničle. Vidimo, da se v tej metodi pojavlja iteracija, torej zanjo lahko uporabimo metodo Ponavljaj.

Formula za Newtonovo metoda je sledeča:

V nadaljne bomo uporabljali naslednje oznake:

• - to naj bo neka funkcija, kateri bomo iskali ničlo

• - to naj bo odvod

Koraki konstrukcije

• Najprej si izberemo neko funkcijo f(x), ki ima kako ničlo
• Definiramo drsnik, ki bo predstavljal število iteracij (drsnik mora zavzemati le naravna števila z ničlo)
• Definiramo začetno vrednost, pri kateri bomo začeli iteracijo (to lahko definiramo tudi z drsnikom)
• uporabimo ukaz ponavljaj, da izračunamo približno ničlo (Ponavljaj[x − f(x) / g(x), zacVr, iteracija])
• v ustrezni funkcijski vrednosti narišemo še tangento, tako da bo lažje videti idejo te metode

Tako lahko vidimo, da z povečevanjem iteracij (s premikanjem drsnika) vedno bolje aproksimiramo iskano ničlo.

Poglejmo si primer uporabe Newtonove metode

Iskanje ničle funkcije

Začetna vrednost naj bo 5.

Rdeča premica predstavlja tangento na funkcijo pri vrednosti prvotnega približna ničle.

Točka, kjer tangenta seka abscisno os pa je nov približek ničle.

Pribležek ničle po tretji iteraciji.

Vidimo, da je absolutna napaka med pravo ničlo in približno vedno le manjša. Več iteracij kot naredimo boljši bo približek.

Filmček, ki prikazuje konstrukcijske korake Newtonove metode in uporabe ukaza Ponavljaj