Vir:

Poskusni kolokvij iz Linearne algebre, 14.1.2005, 1. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Reši sistem enačb

$$x_1+2x_2-x_3+x_4=3$$ $$2x_1+x_2+x_3+x_4=4$$ $$-x_1+x_2-2x_3+x_4=-2$$ $$x_1+x_2+x_4=2$$

Matematično ozadje:

Glej Reševanje sistema linearnih enačb.

Sistem linearnih enačb zapišemo v matrični obliki A*x=b (A je matrika sistema, vektor b je desna stran, x pa vektor neznank) in ga rešimo z Gaussovo metodo. Najprej izračunamo rang matrike A, tvorjene iz koeficientov pri neznankah. Nato razširjeni matriki sistema (oznaka naj bo Ab) s pomočjo elementarnih transformacij poiščemo vrstično kanonično formo. Število pivotov v vrstični kanonični formi je enako rangu razširjene matrike sistema Ab, ki je enako rangu matrike A, če naj bo sistem rešljiv. Sistem ima natanko eno rešitev, če je rang enak številu neznank oz. ima več (neskončno) rešitev, če je rang manjši od števila neznank (ta razlika pove število parametrov).

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Za reševanje linearnih sistemov imamo v Matlabu vgrajeno funkcijo linsolve ali operator \. Če zastavljeno nalogo želimo rešiti v Matlabu, le-ta vrne opozorilo, da je matrika singularna (detA=0) in ne izračuna vseh rešitev, ker jih je neskončno. Z Matlabom sem izračunala rang matrike A in rang razširjene matrike Ab. V obeh primerih dobim enak rezultat, to je 3, kar pomeni, da je sistem rešljiv, in sicer ima neskončno rešitev, saj je število neznank 4, kar je več kot rang, torej imamo en parameter. Z Matlabom sem poiskala vrstično kanonično formo razširjene matrike Ab (Drugi vrstici sem odštela dvakratnik prve vrstice , tretji vrstici sem prištela prvo, četrti pa odštela prvo. Nato sem tretji vrstici prištela trikratnik četrte vrstice in dvakratnik druge.) in iz nje prebrala rešitev: $x_3$ je parameter,$x_4=-1$, $x_2=1+x_3$ in $x_1=2-x_3$.

Če nalogo rešujemo z Mathematico, je ta program sicer vrnil rešitev, a ta je bila le ena izmed mnogih.

Vir:

Poskusni kolokvij iz Linearne algebre, 14.1.2005, 2. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Reši enačbo $\begin{vmatrix} 1+x & x & x & x\\ x & 2+x & x & x\\ x & x & 3+x & x\\ x & x & x & 4+x\end{vmatrix}=-1$

Matematično ozadje:

Glej Determinanta matrike.

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Nalogo sem rešila s pomočjo Mathematice, kjer sem z ukazom Det[matrika] prvo izračunala determinanto matrike. Nato sem rezultat izenačila z -1 in izračunala, koliko je x. Rešitev: $x=-\frac{1}{2}$.

Vir:

Poskusni kolokvij iz Linearne algebre, 6.1.2006, 1. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Poišči pogoj za parametre a, b, c, pri katerem je rešljiv sistem linearnih enačb:

$$x+5y+3z=a$$ $$x+2y+z=b$$ $$-2x-y=c$$

Poišči vse rešitve, kadar obstajajo.

Matematično ozadje:

Glej Reševanje sistema linearnih enačb.

Sistem linearnih enačb bo rešljiv natanko tedaj, ko bo rang matrike A enak rangu razširjene matrike. Zato najprej izračunam rang matrike A. Nato s pomočjo elementarnih transformacij razširjeno matriko sistema privedem do ustrezne oblike (vrstična kanonična forma). Ker je desna stran sistema napisana s parametri, v Matlabu izračunamo le transformacije na matriki A, desno stran pa izračunam na roko (vrstni red transformacij je pomemben, zato si jih zapisujemo).

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

S pomočjo Matlaba izračunam vrstično kanonično formo matrike A in si zapomnim vrstni red elementarnih transformacij, ker jih moram potem uporabiti tudi na desni strani $\begin{bmatrix} a\\ b\\ c\end{bmatrix}$: drugi vrstici odštejem prvo

$\begin{bmatrix} a\\ b-a\\ c\end{bmatrix}$, tretji vrstici prištejem dvakratnik prve $\begin{bmatrix} a\\ b-a\\ 2a+c\end{bmatrix}$, nato pa še tretji vrstici prištejem trikratnik druge vrstice

$\begin{bmatrix} a\\ b-a\\ -a+3b+c\end{bmatrix}$.

Vse to ročno izračunamo za desno stran in vidimo, da bo sistem rešljiv le pod pogojem, če bo –a+3b+c=0, ker bo le takrat rang razširjene matrike enak rangu matrike A. Ker je število neznank 3, rang pa 2, pomeni, da imamo en parameter in to je z. Izrazimo y in nato še x. Rešitev: Sistem je rešljiv, ko $–a+3b+c=0$, $z$ je parameter, $y=\frac{1}{3(a-b-2z)}$ in $x=\frac{1}{3(-2a+5b+z)}$.

Vir:

2. kolokvij iz Linearne algebre, 10.12.1998, 3. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Poišči vsa taka realna števila x, za katera je determinanta $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & x & 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & x & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & x & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2\end{vmatrix}$ enaka 0.

Matematično ozadje:

Glej Determinanta matrike.

Ročno reševanje:

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & x & 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & x & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & x & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & x-1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & x-1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & x-1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & x-1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & x-1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \frac{x(x-2)}{x-1} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{vmatrix}=$$ $$=(x-1)^2\frac{x(x-2)}{x-1}=(x-1)⋅x⋅(x-2)=0$$ $$⟹x_1=1,x_2=0,x_3=2$$

.

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Nalogo rešimo tudi s pomočjo Mathematice, kjer z ukazom Det[matrika] prvo izračunamo determinanto matrike. Nato rezultat enačimo z 0 in z ukazom Solve[%==0,Reals] izračunamo, koliko je x. Rešitev: $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=2$

Vir:

3. kolokvij iz Linearne algebre, 3.4.2008, 2. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Poišči vsa števila x ϵ R, za katera velja $\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & x & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & x & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & x & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & x\end{vmatrix}=0$

Matematično ozadje:

Glej Determinanta matrike.

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Nalogo rešimo s pomočjo Mathematice, kjer z ukazom Det[matrika] prvo izračunamo determinanto matrike. Nato rezultat enačimo z $0$ in z ukazom Solve[%==0,Reals] izračunamo, koliko je x. Rešitev: $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$, $x_4=\sqrt{6}$, $x_5=-\sqrt{6}$.

Vir:

Splošna matura, 4.6.2011 (Višja raven, Izpitna pola 2) – 2. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Dano je zaporedje s splošnim členom $a_n=\sqrt{n^2+4n}-n,n∈N.$

• Računsko pokažite, da število 1,97 ni člen danega zaporedja.
• Izračunajte limito zaporedja.
• Kateri členi niso v ε-okolici števila 2, če je $ε= \frac{1}{10}$ ? Zapišite odogovor.

Matematično ozadje:

Glej Limita zaporedja.

Ročno računanje:

• Število 1,97 ni člen danega zaporedja. Dokaz:

  $$\sqrt{n^2+4n}-n=1,97$$ $$\sqrt{n^2+4n}=1,97+n$$ $$n^2+4n=3,8809+3,94n+n^2$$ $$4n-3,94n=3,8809$$ $$0,06n=3,8809$$ $$n=64.6817$$ $$n ∉N$$

• Limita:

  $$\lim_{n\to ∞} a_n=\lim_{n\to ∞} \frac{(\sqrt{n^2+4n}-n)(\sqrt{n^2+4n}+n)}{\sqrt{n^2+4n}+n}=\lim_{n\to ∞}\frac{n^2+4n-n^2}{\sqrt{n^2+4n}+n}=$$ $$\lim_{n\to ∞}\frac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n}=\lim_{n\to ∞}\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{n}}+1}=2$$

• Členi, ki niso v ε-okolici števila 2, če je $ε= \frac{1}{10}$ :

  $$|a_n-a|≥ε$$ $$\sqrt{n^2+4n}-n-2≥\frac{1}{10}$$ $$\sqrt{n^2+4n}≥\frac{21}{10}+n$$ $$n^2+4n≥\frac{441}{100}+\frac{21}{5}n+n^2$$ $$-\frac{1}{5}n≥\frac{441}{100}$$ $$n≤\frac{441}{20}$$ $$n≤22,05$$

  
  

  $$-\sqrt{n^2+4n}+n+2≥\frac{1}{10}$$ $$-\sqrt{n^2+4n}≥-\frac{19}{10}-n$$ $$\sqrt{n^2+4n}≤\frac{19}{10}+n$$ $$n^2+4n≤\frac{361}{100}+\frac{19}{5}n+n^2$$ $$\frac{1}{5}n≤\frac{361}{100}$$ $$n≤\frac{361}{20}$$ $$n≤18,05$$

  Členi od $a_1$ do $a_{18}$ niso v ε –okolici.
  

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Pri tej nalogi si pomagamo z Mathematico. Preverimo, če so rezultati pravilni. Z ukazom Solve[enačba] rešimo dano enačbo, z ukazom Limit[zaporedje] pa izračunamo limito danega zaporedja. N[%] mi zadnji rezultat pretvori v število.

Vir:

4. poskusni kolokvij iz Linearne algebre, 25.4.2005, 4. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Nariši krivuljo $9x^2-4xy+6y^2=10$.

Matematično ozadje:

Glej Kvadratne forme.

Kvadratni formi $9x^2-4xy+6y^2$ pripada matrika $A=\begin{bmatrix} 9 & -2 \\-2 & 6 \end{bmatrix}$. Ta ima karakteristični polinom $p_A (λ)=(9-λ)(6-λ)-4=λ^2-15λ+50=(λ-5)(λ-10)$. Lastni vrednosti sta $α_1=5$ in $α_2=10$. Glavni osi sta $L(\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix})$ in $L(\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix})$ , oziroma premici z enačbama $y=2x$ in $y=-\frac{1}{2x}$. V novem koordinatnem sistemu ima krivulja enačbo $5x^{'2}+10y^{'2}=10$, oziroma $\frac{x^{'2}}{2}+y^{'2}=1$. Krivulja je elipsa in njeni polosi sta $\sqrt{2}$ in $1$.

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Nalogo rešimo v Geogebri in v Mathematici. V Mathematici z ukazom ContourPlot[enačba, {x, xmin, xmax}, {y,ymin,ymax}] narišemo graf implicitno podane krivulje na območju od xmin do xmax na x osi ter od ymin do ymax na y osi. V Geogebri pa enačbo krivulje preprosto vnesemo v vnosno vrstico.

Vir:

3. kolokvij iz Linearne algebre, 11.3.2004, 4. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Izračunaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrike $C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.

Matematično ozadje:

Glej Lastne vrednosti in lastni vektorji.

Kompleksno število $α$ imenujemo lastna vrednost za $A$, če obstaja tak neničeln vektor $v ∈ C^n$, da je $Av = αv$. Vektor $v$ imenujemo lastni vektor za $A$ pri lastni vrednosti $α$. $(A-αI)v=0$. Polinom $p_A(α)=det(A-αI)$ v spremenljivki $α$ imenujemo karakteristični polinom matrike $A$. Kompleksno število $α$ je torej lastna vrednost matrike $A$ natanko tedaj, ko je $α$ ničla karakterističnega polinoma $p_A (α)$.

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Nalogo rešimo s programom Mathematica. Najprej vnesemo matriko c. Nato z ukazom Eigenvalues[c] izračunamo lastne vrednosti matrike c. Z ukazom Eigensystem[c] pa izračunamo še pripadajoče lastne vektorje. Rešitev: $α_1=\sqrt[3]{(-1)^2}$, $α_2=-\sqrt[3]{-1^2}$, $α_3=1$, $v_1=\begin{bmatrix} 0 \\-\frac{1+2\sqrt[3]{(-1)^2}}{\sqrt{3}} \\ 1\end{bmatrix}$, $v_2=\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{-1+2\sqrt[3]{-1}}{\sqrt{3}} \\ 1\end{bmatrix}$ , $v_3=\begin{bmatrix} 1 \\0 \\ 0\end{bmatrix}$.

Vir:

3. poskusni kolokvij iz Linearne algebre, 9.3.2004, 4. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Izračunaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrike $C=\begin{bmatrix} i & 0 \\i & -i \end{bmatrix}$.

Matematično ozadje:

Glej Lastne vrednosti in lastni vektorji.

Karakteristični polinom za $C$ je $p_C (α)=\begin{vmatrix} i-α & 0 \\i & -i-α \end{vmatrix}=(i-α)(-i-α)=-i^2+α^2=$ $=α^2+1=0⟹ α_1=i$ in $α_2=-i$. Lastni vektor $v_1$, ki pripada lastni vrednosti $α_1$ zadošča zvezi $(A-α_1 I) v_1=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\i & -2i \end{bmatrix} v_1=0$. Izberemo $v_1=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$. Podobno za lastni vektor $v_2$, ki pripada lastni vrednosti $α_2$ in zadošča zvezi $(A-α_2 I) v_2=\begin{bmatrix} 2i & 0 \\i & 0 \end{bmatrix} v_2=0$, izberemo $v_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$.

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Nalogo rešimo s programom Mathematica. Vnesemo matriko c in nato z ukazom Eigensystem[c] v enem koraku izračunamo lastne vrednosti matrike c ter pripadajoče lastne vektorje. Rešitev:
$α_1=i$ , $α_2=-i$,$v_1=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$, $v_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$.

Vir:

4. kolokvij iz Matematike 1, 6.6.2011, 2. naloga, dosegljiva v dokumentu

Besedilo naloge:

1. Izračunaj nedoločeni integral $\displaystyle\int(x-2)e^{-2x}\ dx$.
2. Izračunaj določeni integral $\displaystyle\int^b_0 (x-2)e^{-2x}\ dx$.
3. Ali obstajata izlimitirani integral $\displaystyle\int^∞_0 (x-2)e^{-2x}\ dx$? Če obstaja, ga izračunaj.

Matematično ozadje:

Glej Integral.

Nedoločeni integral dane funkcije f je funkcija F, katere odvod je enak dani funkciji f. V tem smislu je integriranje obratna operacija kot odvajanje. Rezultat nedoločenega integrala imenujemo primitivna funkcija. Določeni integral pa je povezan s ploščino lika, omejenega z grafom funkcije f. Naj bosta dana pozitivna funkcija f realne spremenljivke x in interval [a, b] na številski premici. Določeni integral funkcije f je ploščina lika, ki ga omejujejo graf funkcije f, os x ter navpični premici x = a in x = b. Določeni in nedoločeni integral povezuje osnovni izrek infinitezimalnega računa, ki se imenuje tudi Newton-Leibnizeva formula: Ploščino omejenega lika izračunamo tako, da najprej z nedoločenim integralom izračunamo primitivno funkcijo F, potem pa vanjo vstavimo meji intervala: p = F(b) − F(a).
Ročno računanje:

1. $\displaystyle\int(x-2)e^{-2x}\ dx= \displaystyle\int(xe^{-2x}-2e^{-2x})\ dx= \displaystyle\int e^{-2x}x\ dx -2\displaystyle\int e^{-2x}\ dx=$
   
   $=-\frac{1}{2}e^{-2x}x+\frac{1}{2} \displaystyle\int e^{-2x}\ dx + e^{-2x}= -\frac{1}{2}e^{-2x}x-\frac{1}{4}e^{-2x}+e^{-2x}=$
   
   $=-\frac{1}{2}e^{-2x}x+\frac{3}{4}e^{-2x}= \frac{1}{4}e^{-2x}(-2x+3)+ C$
   
   
2. $\frac{1}{4}e^{-2x}(-2x+3)|^b_0=\frac{1}{4}e^{-2b}(-2b+3)-\frac{3}{4}e^0=\frac{1}{4}(e^{-2b}(-2b+3)-3)$
   
   
3. $\frac{1}{4}e^{-2x}(-2x+3)|^∞_0=\frac{1}{4}e^{-∞}(-∞+3)-\frac{3}{4}e^0=\frac{3}{4}$

Opomba:

• $\displaystyle\int e^{-2x}x\ dx= -\frac{1}{2}e^{-2x}x+\frac{1}{2}\displaystyle\int e^{-2x}\ dx$
  Integral rešimo s per-partesom.
  
  
• $\displaystyle\int e^{-2x}\ dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}$
  Integral rešimo z uvedbo nove spremenljivke $t=-2x$
  
  

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Nalogo rešimo z Mathematico in z Matlabom. Seveda oba programa vrneta enake rešitve, le v malo drugačni obliki. V Mathematici integral izračunamo z ukazom Integrate, v Matlabu pa z ukazom int.

Vir:

1. izpit iz Matematike 1, 20.6.2011, 2. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Podano je rekurzivno zaporedje $a_{n+1}=\sqrt{4a_n-3}$, $a_1=2$. Dokaži, da je zaporedje naraščajoče, konvergentno in izračunaj njegovo limito.

Matematično ozadje:

Glej Zaporedja.

Najprej izračunajmo nekaj členov zaporedja: $a_1=2$, $a_2=\sqrt{5} \doteq 2.2$, $a_3=\sqrt{4\sqrt{5}-3}\doteq2.4.$ Videti je, da je zaporedje naraščajoče. Dokaz:

$$a_{n+1}-a_n>0$$ $$\sqrt{4a_n-3}-a_n>0$$ $$\sqrt{4a_n-3}>a_n$$ $$4a_n-3>a_n^2$$ $$a_n^2-4a_n+3<0$$ $$(a_n-1)(a_n-3)<0$$

Zaporedje je naraščajoče, če je $a_n>1$ in $a_n<3$. $1<a_n<3$ za vsak n iz množice naravnih števil. Trditev dokažemo s popolno indukcijo. Za $n=1$ trditev velja.

$$1<a_{n+1}<3$$ $$1<\sqrt{4a_n-3}<3$$

Ker po predpostavki popolne indukcije velja, da je $1<a_n<3$ in $4a_n-3$ linearna funkcija.

$$1<4a_n-3<9$$

in

$$1<\sqrt4a_n-3<3$$

za poljubne $n$ iz množice naravnih števil. Zaporedeje je naraščajoče. Zaporedje je navzgor omejeno s $3$. Torej, ker je zaporedje naraščajoče in omejeno, je konvergentno. Konvergira k zgornji meji.

$$\lim_{n\to ∞}⁡ a_n =3$$

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Z Excelom izračunamo nekaj členov zaporedja. Členi zelo hitro konvergirajo k limiti. Narišemo tudi graf.

Vir:

3. izpit iz Matematike 1, 30.8.2011, 2. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Določi definicijsko območje, ničle, ekstreme, intervale naraščanja in padanja, območje konveksnosti in konkavnosti, razišči obnašanje na robu definicijskega območja ter nato čim bolj natančno nariši graf funkcije $f(x)=\frac{1-x}{e^x}$.

Matematično ozadje:

Definicijsko območje naše funkcije $f(x)$ je $x∈(-∞,∞)$. Graf funkcije seka $x$ os (ničla) v točki $(1,0)$: $\frac{1-x}{e^x}=0→ 1-x=0→x=1$ , $y$ os (začetna vrednost) pa v $(0,1)$: $f(0)=\frac{1-0}{e^0} =1$. Ekstreme dobimo, ko izračunamo $f'(x)=0$, in s tem tudi intervale naraščanja in padanja: $f'(x)=\frac{x-2}{e^x} =0→x=2,y=-\frac{1}{e^2}$ $\Rightarrow$ minimum $(2,-\frac{1}{e^2})$, funkcija pada na intervalu $(-∞,2)$ in narašča na $(2,∞)$. Območje konveksnosti pa dobimo, ko izračunamo $f''(x)>0: f''(x)=\frac{-x+3}{e^x}>0$. Funkcija bo konveksna na intervalu $(-∞,3)$in konkavna na $(3,∞)$. Asimptota funkcije $f(x)$ je $y=0$. Ko pošljemo $x$ proti neskončno se graf funkcije približuje asimptoti, a se je nikoli ne dotakne.

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Graf dane funkcije narišemo v Geogebri, tako da v vnosno vrstico vnesemo enačbo funkcije. Za izračun ničle in ekstrema si pomagamo z Matlabom. Najprej definiramo funkcijo y. Nato s funkcijo solve(y,0) izračunamo ničlo funkcije. Z ukazom diff(y) izračunamo odvod funkcije. Ekstrem poiščemo tako, da zopet uporabimo funkcijo solve.

Vir:

Splošna matura, 4.6.2011 (Osnovna raven, Izpitna pola 1) – 2. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Prvi člen aritmetičnega zaporedja je -4, peti člen pa 8. Izračunajte diferenco (razliko) in stoti člen tega zaporedja.

Matematično ozadje:

Glej Aritmetično zaporedje.

Splošni člen aritmetičnega zaporedja je $a_n=a_1+(n-1)d$. V enačbo vstavimo podatke in izrazimo diferenco: $a_5=a_1+4d⟶d=\frac{a_5-a_1}{4}=\frac{8-(-4)}{4}=3$. Sedaj lahko izračunamo tudi stoti člen: $a_{100}=a_1+(100-1)d=-4+99⋅3=293$.

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

V Excel sem vnesla prvi in drugi člen zaporedja, ju označila in potegnila vse do stotega člena. Tako sem preverila, če dobim enako rešitev.

Vir:

Splošna matura, 4.6.2011 (Osnovna raven, Izpitna pola 1) – 3. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Poenostavite izraz $((-a)^4 )^3⋅(-a)^{-3}:a^9$.

Matematično ozadje:

Glej Potence.

$((-a)^4 )^3⋅(-a)^{-3}:a^9=(-a)^{12}⋅(-a)^{-3}:a^9=(-a)^9:a^9=-a^9⋅a^{-9}=-a^0=-1$

Upoštevamo pravila za računanje s potencami (potenciranje, množenje, deljenje).

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

V Mathematico vtipkamo dani izraz, pritisnemo Shift+Enter in dobim poenostavljen izraz.

Vir:

Splošna matura, 4.6.2011 (Osnovna raven, Izpitna pola 1) – 5. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Kompleksno število $(5-10i)^2(2+i)^{-1}$zapišite v obliki $a+bi$, $a$, $b$ $\epsilon$ $\mathbb{R}$.

Matematično ozadje:

Glej Kompleksna števila.

Kompleksna števila definiramo kot $\mathbb{C}= \{ z=a+bi;a, b$ $\epsilon$ $\mathbb{R} \wedge i^2=-1 \}$. Število $a$ imenujemo realna komponenta (Re $z$), število $b$ pa imaginarna komponenta (Im $z$) kompleksnega števila $z$; število $i$ je imaginarna enota.

Računanje na roko:

$(5-10i)^2(2+i)^{-1}=(25-100i+100i^2)\frac{1}{2+i}=(25-100i-100)\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}=(-75-100i)\frac{2-i}{4-i^2}=$

$=\frac{(-75-100i)(2-i)}{5}=\frac{-150-125i-100}{5}=\frac{-250-125i}{5}=-50-25i$

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

V Mathematici z ukazom Simplify[izraz] poenostavimo dani izraz. Imaginarno enoto $i$ pišemo z veliko črko $I$. Rešitev: $-50-25i$.

Vir:

Splošna matura, 4.6.2011 (Osnovna raven, Izpitna pola 1) – 6. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Zapišite polinom tretje stopnje, katerega graf je narisan v koordinatnem sistemu.

Matematično ozadje:

Glej Polinomi.

Iz slike vidimo, da ima polinom ničlo v $x_1=-2$ in dvojno ničlo v $x_{2,3}=1$ ter začetno vrednost $f(0)=4$ .

Vse to vstavimo v enačbo $p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ in dobimo $p(x)=a(x+2)(x-1)^2$;

$p(0)=a(0+2)(0-1)^2=2a=4 \to a=2$

$\Rightarrow p(x)=2(x+2)(x-1)^2=2x^3-6x+4$

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

V Geogebro vnesemo enačbo polinoma in preverimo, če dobimo enak graf.

Vir:

Splošna matura, 4.6.2011 (Osnovna raven, Izpitna pola 1) – 11. naloga, dosegljiva v dokumentu.

Besedilo naloge:

Marjetica ima 21 prijateljic in 11 prijateljev (le enemu prijatelju je ime Andrej in le enemu Borut). Na zabavo bo povabila 3 svoje prijateljice in 4 prijatelje. Na koliko načinov lahko to stori? Kolikšna je verjetnost, da bosta med temi povabljenci Andrej in Borut, če bo Marjetica izbirala povabljence naključno?

Matematično ozadje:

Glej Kombinacije.

Marjetica bo izmed 21 prijateljic izbrala 3 prijateljice: $\binom{21}{3}$ načinov, in izmed 11 prijateljev bo izbrala 4 prijatelje: $\binom{11}{4}$ načinov. Verjetnost, da bosta med povabljenci Andrej in Borut pa je: $\frac{število ugodnih izidov}{število vseh izidov}$.
Število ugodnih izidov je $\binom{21}{3}\binom{9}{2}$, saj je že izbrala Andreja in Boruta (to pomeni, da izbira le še 2 prijatelja izmed 9).
Število vseh izidov pa je $\binom{21}{3}\binom{11}{4}$.

In verjetnost je $0,1091$

Uporaba orodja pri reševanju naloge:

Za reševanje naloge potrebujemo znanje kombinatorike in verjetnostnega računa. S programom si lahko pomagamo le izračunati sestavljen račun. V Mathematici binomski simbol izračunamo z ukazom Binomial[n,k], v Matlabu pa z ukazom nchoosek(n,k).