Izračunajte točno vrednost določenega integrala:

$$\int_0^\frac{\pi}{2} \! (sin(x)+3cos(x)-x) \, \mathrm{d} x$$

viri
Splošna matura, junij 1997, osnovna raven: 3.naloga

V koordinatnem sistemu vzemimo lik, ki je omejen z abscisno osjo, premicama x=a in x=b in grafom zvezne funkcije y=f(x).

Definicija integrala

• Razdelimo interval [a,b] z n+1 točkami na n podintervalov.
• Na vsakem podintervalu izberemo po eno točko ti.
• produkt f(ti).Δxi je ploščina pravokotnika označenega na sliki.

• V kolikor seštejemo vse pravokotnike $\sum_{i=1}^{n}f(t_i \Delta x_i)$, dobimo ploščino prej omenjenega lika.
  Torej, določeni integral na intervalu [a,b] zvezne funkcije f(x) je število, ki je enako:
  

  $$\int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d} x = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n}f(t_i \Delta x_i)$$

  Oziroma, določeni integral $\int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d} x$ pozitivne zvezdne funkcije f(x) je število, ki podaja ploščino lika med krivuljo, abscisno osjo in pravokotnicama na os-x, ki grsta skozi začetno in končno točko danega intervala [a,b].

Z orodjem Mathematica si pomagamo izračunat določen integral. Ukaz za izračun se glasi: Integrate[], kjer v oglatih oklepajih, na prvo mesto navedemo izraz, katerega hočemo integrirat, na drugem mestu pa v zavitih oklepajih navedemo neznano spremenljivko, nato spodnjo mejo ter še zgornjo mejo.
Zapis rezultata lahko zapišemo še na tradicionalen način ter v obliki numeričnega zapisa.

Izračunajte nedoločen integral

$$\int (x\sqrt{x} - \cfrac{3}{x^2}) \mathrm{d}x$$

viri
Splošna matura; junij 1998, osnovna raven: 2.naloga

Integrirajočo funkcijo y=f(x) pomeni, poiskati tako funkcijo F(x), ki ima za odvod dano funkcijo f(x), torej F'(x)=f(x). Iščemo tako funkcijo F(x), da bo njen diferencial dF(x)=f'(x)dx. Funkcijo F(x) imenujemo nedoločeni integral funkcije f(x) in zapišemo $\int f(x) \mathrm{d}x$. Nedoločeni integral je določen do konstante natančno.

Z programom Mathematica rešimo nalogo. V ta namen pride v poštev ukaz 'Integrate[]', ki sprejme dva parametra, funkcijo ter neznano spremenljivko x. Koren nekega števila se zapiše 'Sqrt[število/spremenljivka]'.

Narišite graf funkcije $f(x)=4x^2+4x-3$.
Izračunajte ničli in ekstrem te funkcije.

viri
Splošna matura; jesen 1998, osnovna raven: 3.naloga

Kvadratna funkcija je realna funkcija, ki se jo da zapisati z enačbo oblike: $f(x)=ax^2+bx+c$, kjer so koeficienti a, b in c realna števila in je a različen od 0 (če bi bil a enak 0, bi bila to linearna funkcija).

Ekstrem kvadratne funkcije oz. teme kvadratne funkcije

Kvadratno funkcijo lahko vedno preoblikujemo v temensko obliko:

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Števili p in q, ki nastopata v temenski obliki, sta koordinati točke, kjer kvadratna funkcija doseže ekstremno vrednost. To točko imenujemo tême: T(p,q).
Koordinati temena izračunamo po formulah: $p=-\frac{b}{2a}$ $q=\frac{4ac-b^2}{4a}$
Teme omogoča lažje risanje grafa kvadratne funkcije.

Ničli kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija ima lahko eno ali dve ničli, lahko pa je tudi brez ničel. Ničli izračunamo po formuli:

$$x_{1,2}=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Število, ki nastopa pod kvadratnim korenom, imenujemo diskriminanta ($D = b_2 − 4*ac)$ in pišemo tudi:

$$x_{1,2}=\cfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$

Diskriminanta nam pove, koliko ničel ima kvadratna funkcija, tj. kolikokrat graf kvadratne funkcije seka abscisno os:

• Če je diskriminanta pozitivna, ima funkcija dve (realni) ničli - graf seka os x v dveh točkah.
• Če je diskriminanta enaka 0, ima funkcija eno (realno) ničlo - graf se v eni točki dotika osi x.
• Če je diskriminanta negativna, funkcija nima (realnih) ničel - graf ne seka osi x.
  Če ima kvadratna funkcija ničli x_1,x_2, lahko njeno enačbo preoblikujemo v ničelno obliko:
  $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

Z orodjem MATLAB si pomagamo rešiti nalogo. Narisali bomo kvadratno funkcijo ter s pomočjo slike poiskali ničli ter ekstrem.
Torej najprej izvedemo ukaz clf, ki nam pobriše vse na grafičnem oknu. Sledi ukaza: x=Linspace(-5,5) ter y=4*x.^2+4*x-3. Za abscisno os smo določilo poljuben interval, ker na začetku ne vemo, kako izgleda funkcija, za ordinatno os pa zapišemo funkcijo. Paziti moramo, da pred korenjenjem postavimo piko, da bo vsak člen skvadriran posebej. Seveda ne smemo pozabiti na podpičje, če ne želimo, da se nam izpiše rezultat ukaza. Sledi ukaz 'plot(x,y)', ki nam izriše graf funkcije.

Čeprav naredimo mrežne črte, ne moremo točno določiti ničli funkcije, zato si interval primerno zmanjšajmo. Ponovno najprej zbrišemo grafično površino. Nato zapišemo ukaza: x=Linspace(-2,2) ter f=inline('4*x.^2+4*x-3','x'). Z drugim ukazom, smo povedali, da je f funkcija v odvisnosti od y. Če hočemo narisati graf moramo poleg omenjenega ukaza zapisati še y=f(x). Ko pa izvedemo ukaz 'grid on' pa kot že povedano dobimo mrežne črte na grafu, kar je razvidno na sliki.

Iz grafa je razvidno, da ko je x=-1.5 ter ko je x=0.5 graf seka abscisno os, torej tam je ničla funkcije. Zapišemo ukaz za iskanje ničl, torej: fzero(f,-1.5) ter fzero(f,0.5). Dobimo dva rezultata, torej ničli sta res x=-1.5 ter x=0.5.

Za iskanje ekstremov si pomagamo z ukazom 'fminsearch', kjer na prvo mesto podamo funcijo na drugo mesto pa približek točke, torej 'fminsearch(f,-0.5)'.
Rešitev: ničli sta res x=-1.5 ter x=0.5, ekstrem pa je na mestu (-0.5,4)

Izračunajte, v katerih točkah se sekata graf funkcije $f(x)=2x^3+x^2-x+1$ in premica $y-x-2=0$.

viri
Splošna matura, junij 1998, osnovna raven: 5.naloga

Podano imamo kubično funkcijo oz. polinom tretje stopnje ter premico. Poiskati je potrebno njuna presečišča. Računsko poiščemo presečišče tako, da eno od spremenljivk enačimo. Vemo, da velja $f(x)=y$,torej $y=2x^3+x^2-x+1$. Enačbo premice pa zapišemo v obliki $y=x+2$ in dobimo $2x^3+x^2-x+1=x+2$. V GeoGebri si lahko grafično pomagamo poiskati rešitev.

V vnosno polje vnesemo funkcijo: f(x)=2x^3+x^2-x+1 ter premico: y=x+2. Ker lahko več premic navedemo v orodju Geogebra, dobi naša premica ime 'a'.
Presečišče dveh objektov lahko določimo na dva načina; preko ikonce ali preko ukaza: presečišče[f(x),a]. Torej presečišča so naslednja: A=(-1,1), B=(-0.5,1.5) ter C=(1,3).

V omenjenjenem orodju si pri funkcijam pomagamo z ukazom 'inline'. Funkciji narišemo, da vidimo, kje se grafa sekata.

Konstrukcijski koraki

• x=linspace(-2,2);
• g=inline(2*x.^3+x.^2-2*x-1');
• h=inline('x+2'); plot(x,g(x))
• grid on
• hold on
• plot(x,h(x))
• h(-1) %....rezultat: 1
• g(-1) %...rezultat: 1, torej presečišče je v točki (-1,1)
• h(-0.5) %....rezultat: 1.5
• g(-0.5) % ..rezultat: 1.5,torej presečišče je v točki (-0.5,1.5)
• h(1) %...rezultat: 3
• g(1) % ...rezultat 3, torej tretje presečišče je v točki (1,3)
  Komentar
  Ta metoda se izvede, ko so x-koordinate 'lepe' točke.
  Rezultat: presečišča so v točkah: (-1,1),(-0.5,1.5),(1,3)

Dani imamo dve funkciji, pri čemer je funkcija $f(x)$ premica. Funkcija $g(x)$ je funkcija sestavljena iz dveh delov. namreč, ko je $x< 0$, velja $y=1$, ko pa je $x\ge0$, pa velja $y=1-x$. Pri vnosu funkcije $g(x)$ si pomagamo z ukazom If[], ki kot prvi parameter sprejme pogoj. Če je ta pogoj izpolnjen, se izvede kar podamo kot drugi parameter, v nasprotnem primeru pa se izvede to, kar podamo kot tretji parameter. Funkcijama je potrebno določiti abscise točk, v katerih se grafa sekata.

V Orodju Geogebra vnesemo funkciji, torej: f(x)=-1/3x-1 ter g(x)=If[x<0;1;1-x]. Z miško gremo do ikonce presečišče dveh objektov, kliknemo nanj ter nato na obe funkciji, dvakrat, pri čemer pri funkciji g(x) kliknemo nanjo, kjer je x>=0, ter na mestu kjer je x<0.
Dobimo dve točki, A=(-6,1) ter B(3,-2), naloga pa želi od nas od omenjenjnih točk vrnemo le x koordinate, zato si v omenjenjenem orodju lahko pomagamo z ikonco pravokotnica. Torej, kliknemo nanjo ter na točko A ter nato na abscisno os in dobimo x koordinato, enako naredimo še za točko B. Iskani koordinati sta: x=-6, x=3.

Rešitev: Iskani koordinati sta: x=-6, x=3.

Dan je polinom $p(x)=x^3-3x+2$. Izračunajte ničle in stacionarne točke ter narišite graf tega pollinoma.

viri
Splošna matura, jesen 1999, osnovni nivo: 7.naloga

Ničla funkcije f je število a, za katero velja f (a) = 0. V ničlah graf funkcije seka abscisno os ali se je dotika.
Odsek na ordinatni osi dobimo tako, da v enačbo funkcije vstavimo x = 0. Dobljena vrednost f (0) nam pove, kje graf funkcje seka ordinatno os.
Lokalni minimum je točka, kjer funkcija doseže najmanjšo vrednost v neki (majhni) okolici.Globalni minimum je točka, ker funkcija doseže najmanjšo vrednost sploh (na celotnem definicijskem območju). Lokalni maksimum je točka, kjer funkcija doseže največjo vrednost v neki (majhni) okolici. Globalni maksimum je točka, ker funkcija doseže največjo vrednost sploh (na celotnem definicijskem območju).
Če je funkcija f zvezna in odvedljiva, potem je vsak lokalni ekstrem tudi stacionarna točka te funkcije: to pomeni, da je v tej točki tangenta vodoravna in da je odvod funkcije enak 0. Zaradi tega si pri iskanju maksimumov in minimumov pogosto pomagamo z odvodom. Potrebno pa je nekaj previdnosti, saj je odvod lahko enak nič tudi v drugih točkah (vodoravni prevoj). Pravimo, da je pogoj f'(x)=0, potreben vendar ne zadosten pogoj za eksistenco ekstrema.

Konstrukcijski koraki

• V vnosno polje vnesemo funkcijo f(x)=x^3-3x+2
• Vnesemo Odvod[p(x)] ali pa p'(x) ->dobimo odvod funkcije p(x)
• Vnesemo ničla[p(x)] ->dobimo točke A(-2,0) ter B(1,0), kjer predstavljata ničle polinoma

• Vnesemo 3x^2-3=0 -> dobimo x²=1. Kjer se daljici s polinomov seka, tam je stacionarna točka. Kot je razvidno na sliki, se to zgodi na mestu (-1,4) ter (1,0)

  

  
  Rezultat: ničli sta $x_1=-2$ ter $x_2=1$, stacionarni točki pa sta (-1,4) ter (1,0)

V koordinatni sistem skicirajte krivulji z enačbama $x^2+y^2=9$ in $x^2+4y^2=16$. Izračunajte točne koordinate presečišč teh krivulj.

viri
Splošna matura, junij 2003, osnovna raven: 2.naloga

Krivulja z enačbo $x^2+y^2=9$ predstavlja krožnico, krivulja $x^2+4y^2=16$ predstavlja elipso. V orodju Geogebra poiščemo presečišče teh dveh objektov na dva načina; preko ikonce presečišče dveh objektov, ali preko vnosnega polja.

Konstrukcijski koraki v Geogebri:

• Vnesemo: x^2+y^2=9 ->dobimo krožnico z imenom c
• Vnesemo: x^2+4y^2=16 ->dobimo elipso poimenovano z d
• Vnesemo: presečišče[c,d] ->dobimo točke A,B,C in D. Če želimo točen rezultat, lahko edino izračunamo na roke: Iz prve enačbe izpostavimo $y^2$ in dobimo $y^2=9-x^2$. Dobljen izraz vstavimo v drugo enačbo, torej $x^2+4(9-x^2)=16$. Dobimo, $x^2=\frac{20}{3}$, torej $x_1=\sqrt{\frac{20}{3}}$ ter $x_2=-\sqrt{\frac{20}{3}}$. Dobljeni x koordinati nato vstavimo v prvo enačbo in dobimo y-koordinate, torej $y_{1,2}=\sqrt{\frac{7}{3}}$ ter $y_{3,4}=-\sqrt{\frac{7}{3}}$
  Dobljene koordinate sem vnesla v geogebro zaradi ujemanja rezultatov. npr. $\sqrt{\frac{20}{3}}=2.58$, zapis v geogebri pa je: sqrt(20/3).

Komentar Prešečiča so: (-2.58,-1.53), (2.58,-1.53),(-2.58,1.53), (2.58,1.53)
Presečišča s točnim rezultatom, pa so: $(\sqrt{\frac{20}{3}},\sqrt{\frac{7}{3}}),(\sqrt{\frac{20}{3}},-\sqrt{\frac{7}{3}}),(-\sqrt{\frac{20}{3}},\sqrt{\frac{7}{3}}),(-\sqrt{\frac{20}{3}},-\sqrt{\frac{7}{3}})$

V dani kooordinatni sistem narišite premico z enačbo $y=-2x+3$. Izračunajte neznani koordinati točk A(-2,y₁) in B(x₂,-3) na tej premici.

viri
Splošna matura, junij 2002, osnovna raven: 6.naloga

Dano imamo premico, na kateri sta točki A in B. Poiskati moramo manjkajoči koordinati. Z orodjem Geogebra do rezultata ne moremo priti z direktnim vnosom. Ker ima točka A dano x koordinato, z GeoGebro narišemo še premico $x=-2$. Presečišče teh dveh premic je točka A. Neznano koordinato le preberemo. Ker ima točka B dano y koordinato z GeoGebro narišemo premico $y=-3$. Presečišče te premice in dane premice ($y=-2*x+3$) je točka B

Konstrukcijski koraki:

• V vnosno polje vnesemo: y=-2x+3 -> dobimo objekt poimenovan z a
• Vnesemo: x=-2 -> dobimo objekt poimenovan z b
• Vnesemo: presečišče[a,b] ->dobimo točko A=(-2,7)
• Vnesemo: y=-3 ->dobimoo objekt c
• Vnesemo: presečišče[a,c] -> dobimo iskano točko B

Komentar Iskani koordinati sta: $y_1=7, x_2=3$

Izračunaj inverze naslednji matrik

(a)

$$M = \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 4 \end{array} } \right]$$

(b)

$$B=\left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \end{array} } \right]$$

(c)

$$C=\left[ {\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 1 & -2 & 3 & 4 \end{array} } \right]$$

(d)

$$D=\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{array} } \right]$$

(e)

$$E=\left[ {\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 0 & -1\\ 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} } \right]$$

Inverzni element za kompozitum funkcij imenujemo inverzna funkcija. To je funkcija, ki deluje obratno kot dana funkcija.
Množenje matrik je pravzaprav samo drugo ime za kompozitum linearnih transformacij. Inverzna matrika $A^{-1}$ predstavlja linearno transformacijo, ki deluje obratno kot dana matrika dimenzije n×n.
Zgled:

• inverz funkcije $f(x)=x^3$ je funkcija $f^{-1}=\sqrt[3]{x}$
• Inverz matrike $\left[ {\begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} } \right]$ je matrika $A^{-1}=\left[ {\begin{array}{cc} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{array} } \right]$

V orodju Matlab uporabimo ukaz 'inv', ki nam vrne inverz dane matrike.
Rešitev:

$$inv(A) = \left[ {\begin{array}{ccc} 4 & -4 & 1 \\ -2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array} } \right]$$ $$inv(B) = \left[ {\begin{array}{ccc} 4 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array} } \right]$$ $$inv(C) = \left[ {\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 &0 \\ 1 & 0&0&0 \end{array} } \right]$$ $$inv(D) = \left[ {\begin{array}{ccc} 0.25 & 0.25 & 0.25 &0.25 \\ 0.25 & 0.25 & -0.25 &0.25 \\ 0.25 & -0.25 & 0.15 & -0.25\\ 0.25& -0.25 & -0.25 &0.25 \end{array} } \right]$$ $$inv(E) = \left[ {\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1 & -1 &-1\\ 1 & 1 & 0 & 0&0\\ -1 & 0 & 1 &0&0 \\ 0 & -1&0&0&-1\\ -1&-1&0&1&1 \end{array} } \right]$$

Dana je matrika $A=\left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 0 &1 \\ 0 & 1& 2\\ 1&0&2 \end{array} } \right]$
(a) Izračunaj $A^{-1}$.
(b) Poišči tako matriko $X$, da je $XA=A^T$

Inverz matrike $A^{-1}=inv(A)$
Indentična matrika je matrika sestavljena iz samih ničl, le po diagonali so nanizane enice.

Pri točki a) dobimo rezultat tako, da v omenjenem orodju zapišemo 'inv(A)'.
Pri točki b) pa moramo najprej izpostavit X in dobimo $X=A^T*A^{-1}$. Torej zapis v MatLab-u zgleda takole: $X=A^T*inv(A)$.
Rešitev:
a)

$$inv(A) = \left[ {\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} } \right]$$

b)

$$X = \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 \\ 4 & 2 &-3 \end{array} } \right]$$

Dani sta matriki $A=\left[ {\begin{array}{ccc} 1 & -2&1 \\ 2 & 1&0\\ -3&0&3 \end{array} } \right]$ in $B=\left[ {\begin{array}{ccc} 0 &1&1 \\ -2 & 0&-1\\ 4&0&-1 \end{array} } \right]$

Reši matrično enačbo $AX+BX=B-I.$

Imamo matrično enačbo $AX+BX=B-I$, pri čemer sta matriki A in B znani, I pa predstavlja indentično matriko. Iščemo matriko X. Matriko X izrazimo z danimi matrikami. Torej $(A+B)X=B-I$, še iz leve delimo z $(A+B)$ ter dobimo $X=(A+B)^(-1) (B-I)$. Zapis v MatLab-u izzgleda takole: X=inv(A+B)*(B-I). Lahko pa še na drug način rešimo nalogo, tako da delimo, torej: X=(A+B)\ (B-I).

Rešitev:

$$X = \left[ {\begin{array}{ccc} -10 & 0 & 2 \\ 5 & -1 & -3 \\ 7 & 0 &-2 \end{array} } \right]$$

Naj bo L kvadratna realna spodnje trikotna matrika dimenzije n=52. Njeni elementi so $l_(i,j)=i-j+1$, če je j<=i in 0 sicer. Nadalje, naj bo U kvadratna realna zgornje trikotna matrika enake dimenzije kot L, njeni elementi pa $u_(i,j)=1/(j-i+1)$, če je i<=j in 0 sicer. Definirajmo $A=LU,b=(n,n-1,...,1)^T$ in x rešitev sistema $Ax=b$. Odgovorite na naslednja vprašanja.
Povprečje elementov v vektorju Ab je
|| $A¯¹||_2$ =
Število elementov v matriki A, ki so strogo med 1 in 2 je
$x'b$=
$b'A^{-1}x$ =

Potrebno bo definirati dve metodi, pri prvi bomo definirali matriko L, pri drugi metodi pa matriko U. Uporabili bomo ukaze kot so inv(inverz matrike), norm(norma matrike), and, ' za transporniranje, sum(vsota), zeros(ničle).