Vir naloge: Poklicna matura – jesenski rok, 26.avgust 2010 - 1.del, 4.naloga (povezava)

Besedilo naloge

Kvadratu s stranico 7 cm odrežemo enakokraki pravokotni trikotnik s krakoma 4 cm (glejte sliko). Izračunajte obseg tako nastalega petkotnika.

• Kvadrat je štirikotnik, ki ima vse stranice enako dolge.
• Obseg kvadrata se izračuna tako, da dolžino stranice pomnožimo s 4.
• Enakokraki pravokotni trikotnik je pravokotni trikotnik, ki ima obe kateti enako dolgi. Če poznamo dolžino katet, dolžino hipotenuze izračunamo s pomočjo Pitagorovega izreka.
• Pitagorov izrek pravi $h^2=k_1^2+k_2^2$ oziroma $h=\sqrt{k_1^2+k_2^2}$. V našem primeru tako dobimo $h=\sqrt{2\cdot k^2}=\sqrt{2}\cdot k$

Na sliki načrtan trikotnik povzroči, da dobimo petkotnik.

• Dve stranici petkotnika sta enako dolgi kot stranica kvadrata.
• Dve stranici petkotnika sta dolgi enako kot stranici kvadrata, ki jima odštejemo dolžino katet trikotnika.
• Zadnjo stranico petkotnika pa predstavlja hipotenuza pravokotnega enakokrakega trikotnika.
• Obseg petkotnika je vsota vseh petih stranic.
• obseg $= 2 \cdot 7 + 2 \cdot (7-4) + \sqrt{2} \cdot 4 = (20+4 \cdot \sqrt{2})$cm.

Pri reševanju našega problema si lahko pomagamo z orodjem GeoGebra. S pomočjo orodja narišemo kvadrat z želeno dolžino stranic. Nato s pomočjo krožnice, katere polmer je dolžina katet trikotnika, na kvadratu označimo točke trikotnika. Ti točki povežemo in tako dobimo želeni trikotnik. GeoGebra nam omogoča, da stranicam prikažemo tudi njihove dolžine. Tako nam sploh ni treba uporabiti Pitagorovega izreka, saj nam GeoGebra pove, koliko je dolžina hipotenuze. Naša naloga je tako le še sešteti vrednosti.

Rezultat naloge:

• obseg tako dobljenega petkotnika je 25.66 cm.

Vir: Poklicna matura – jesenski rok, 26.avgust 2010 - 2.del, 1.naloga (povezava)

Besedilo naloge

Dani sta eksponentna funkcija $f(x)=2^x$ in logaritemska funkcija $g(x)=log_2⁡x$ .

a) Dopolnite preglednici in narišite grafa funkcij v dani koordinatni sistem.

b) Izračunajte $f(−1)\cdot f(−2)− f(−3)$.

c) Rešite enačbo $g(x)=4$.

Matematično ozadje in reševanje

• Inverzna funkcija oziroma inverz je funkcija, ki deluje obratno kot dana funkcija. Inverz funkcije $f$ označimo z $f^{-1}$. Graf inverzne funkcije dobimo z zrcaljenjem grafa funkcije preko simetrale lihih kvadrantov.

• Eksponentna funkcija je oblike $f(x)=a^x$, pri čemer je a pozitivno število, različno od 1. Število a je osnova eksponentne funkcije.

• Logaritemska funkcija je funkcija, ki je inverzna eksponentni funkciji pri istih osnovah. Logaritem iz eksponentne enačbe $a^x=y$ vrne eksponent $x$, kar zapišemo v obliki $x = \log_a y$. Število a je osnova, y pa logaritmand.

• Postopek, s katerim logaritemski izraz predelamo v eksponentno enačbo, se imenuje antilogaritmiranje.

Če želimo logaritem izraziti z drugačno logaritemsko osnovo, si pomagamo z naslednjo formulo: $\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}$

Pri reševanju naloge si pomagamo z orodjem GeoGebra.

• V koordinatni sistem narišemo grafa obeh funkcij. Pri vnosu funkcije $g(x)$ uporabimo formulo za prehod na novo osnovo. Preidemo na naravno osnovo, saj je v GeoGebri privzeti logaritem ravno naravni logaritem.

• Če narišemo še simetralo lihih kvadrantov, vidimo, da sta grafa inverznih funkcij res simetrična glede na simetralo.

• S pomočjo vnosnega okna postopoma računamo funkcijske vrednosti pri podanih vrednostih spremenljivke x. Dobimo:

• Nato izračunamo še enačbo $f(−1)\cdot f(−2)− f(−3)$ in dobimo rešitev 0.

• Pri rešitvi enačbe $g(x)=4$ si pomagamo z definicijo logaritma, saj je $\log_2⁡ x =4 ↔ 2^4 =x$. Rešitev je torej $2^4$, kar je 16.

Vir: Poklicna matura – jesenski rok, 26.avgust 2010 - 2.del, 2.naloga (povezava)

Besedilo naloge

Podjetje je načrtovalo, da bo imelo v prvi tretjini leta povprečni mesečni dohodek 55000 evrov. Januarja je ustvarilo 45500 evrov dohodka, februarja 58000 evrov dohodka, marca pa tri četrtine februarskega dohodka. Aprilski dohodek je bil ravno tolikšen, da je bil načrt podjetja dosežen.

a) Izračunajte, kolikšen je bil aprilski dohodek podjetja.

b) S histogramom prikažite mesečni dohodek podjetja za prve štiri mesece leta.

c) Koliko odstotkov od celotnega dohodka v prvi tretjini leta je podjetje ustvarilo februarja?

To nalogo rešimo s pomočjo orodja Excel. Excel nam pride prav, saj lahko računamo s podatki iz celic, kjer so vnesene določene vrednosti. Z lahkoto pa rišemo tudi grafikone.

• V stolpec vpišemo imena štirih mesecev, v naslednji stolpec pa vrednosti dohodkov, za mesece, ki jih poznamo.

• Znesek za tretji mesec dobimo s pomočjo formule. Znesek izračunamo tako, da februarski znesek pomnožimo s $\frac{3}{4}$.

  • Rezultat je 43500.

• V neko prazno celico vpišemo še želeni povprečni znesek. Ko računamo znesek za april, uporabimo to celico in vrednost pomnožimo s 4, nato pa temu odštejemo še vsoto zneskov prvih treh mesecev. Pri tem si pomagamo s funkcijo sum.

  • Rezultat je 73000.

• Nato s pomočjo funkcije average izračunamo še povprečje vseh štirih mesecev in na ta način preverimo pravilnost izračunanih zneskov. Vidimo, da smo res dobili pravo vrednost povprečja.

• Označimo oba stolpca s podatki ter z ukazom za stolpični diagram narišemo graf.

  • Histogram ali stolpični diagram je grafikon, ki se uporablja za prikaz porazdelitve določene spremenljivke. V tem primeru dobimo prikaz zneska za posamezni mesec.

histogram

• Na koncu izračunamo še, kolikšen del skupnega dohodka predstavlja februarski znesek. To izračunamo tako, da vrednost februarskega zneska delimo z vsoto vseh zneskov (kar je enako štirikratniku povprečne vrednosti).

  • Rezultat je 26%.

Vir naloge: Pedagoška fakulteta Maribor, Matematika, 3.kolokvij, 23. april 2004, 1.naloga (povezava)

Besedilo naloge

Za funkcijo $f(x)=x^2 \cdot e^{-x}$ določi definicijsko območje, ničle, asimptote, lokalne ekstreme, intervale naraščanja in padanja, intervale konveksnosti in konkavnosti, prevoje ter nariši njen graf.

Matematično ozadje

• Definicijsko območje funkcije je območje, kjer je funkcija definirana.
• Ničle funkcije so v točkah, kjer graf funkcije seka (se dotika) abscisne osi oziroma kjer je $f(x)=0$.
• Asimptota funkcije je premica, ki se ji graf funkcije približuje ko gre $x \rightarrow \infty$, vendar te vrednosti nikoli ne doseže.
• Lokalni ekstremi-lokalni minimum in maksimum sta lahko v točkah $f'(x)=0$.
• Graf funkcije je grafična predstavitev funkcije.
• Intervale naraščanja in padanja izračunamo tako, da funkcijo najprej odvajamo in izračunamo kje je odvod večji ali manjši od nič
• Funkcija je konveksna, če je drugi odvod funkcije pozitiven, in konkavna, če je drugi odvod funkcije negativen. Intervale konveksnosti in konkavnosti izračunamo tako, da funkcijo dvakrat odvajamo in izračunamo kje je drugi odvod večji ali manjši od nič.
• Prevoji so tam kjer je $f''(x)=0$.

Rešitve

Pri reševanju si pomagamo z orodjem GeoGebra, kamor narišemo graf funkcije ter grafa obeh odvodov.

• Vidimo, da je definicijsko območje kar cela množica realnih števil.
• Ničla funkcije je v točki (0,0), torej v izhodišču koordinatnega sistema.
• Asimptota je kar abscisna os, torej premica y=0.
• Lokalni minimum je v ničli funkcije.
• Lokalni maksimum je v točki (2,0.54).
• Globalnega maksimuma ni, saj gre funkcija v neskončnost.
• Globalni minimum pa je kar lokalni minimum.
• Funkcija narašča na intervalu (0,2).
• Intervala padanja sta (-$\infty$,0) in (2,$\infty$).
• Funkcija je konkavna na intervalu (0.59,3.41).
• Funkcija je konveksna na intervalih (-$\infty$,0.59) in (3.41,$\infty$).
• Prevoj funkcija doseže pri vrednostih x=0.59 in x=3.41. To je v točkah (0.59,0.19) in (3.41,0.38).

Graf funkcije je:

Vir naloge: Pedagoška fakulteta Maribor, Matematika, 4.kolokvij, 1. junij 2004, 3.naloga (povezava)

Besedilo naloge

Reši matrično enačbo $AXB = C$, kjer so A, B in C naslednje matrike:

$A=\begin{bmatrix} 1&-1\\ -1&2 \end{bmatrix}$,

$B=\begin{bmatrix} 1&0&-1\\ 0&2&-3\\ -4&1&3 \end{bmatrix}$,

$C=\begin{bmatrix} 1&2&-3\\ -1&2&3 \end{bmatrix}$

• Matrika z m vrsticami in n stolpci je m x n matrika.

• Matrike lahko med seboj množimo le, če je število stolpcev prve matrike enako številu vrstic druge matrike. Če je prva matrika razsežnosti m x n in je druga matrika razsežnosti n x p, potem je njun produkt matrika razsežnosti m x p.

• Identična matrika je kvadratna matrika (n x n matrika), ki ima na diagonali same 1, drugje pa 0.

• Matrika A je obrnljiva, če obstaja taka matrika B, da je produkt teh matrik ravno identična matrika. V tem primeru je matrika B inverzna matrika matrike A.

• Pri reševanju matrične enačbe je zelo pomemben vrstni red množenja, saj je matrično množenje v splošnem nekomutativno.

• Namesto deljenja množimo enačbo z inverzno matriko, vendar je razlika, če pomnožimo enačbo z leve ali z desne strani.

Matrično enačbo s pomočjo inverznih matrik preoblikujemo tako, da dobimo matriko X na levi strani.

$AXB=C$

Z inverzom matrike A množimo z leve strani, z inverzom matrike B pa z desne strani:

$A^{-1}AXBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}$

Inverzni matriki se zmnožita v identično matriko, ki pa ne vpliva na ostale matrike, zato je ni potrebno pisati.

Tako dobimo preoblikovano enačbo:

$X=A^{-1}CB^{-1}$

Z matrikami lahko preprosto računamo s pomočjo orodja Matlab. Vse tri znane matrike vnesemo in shranimo z ustreznim imenom. Nato s pomočjo ukaza inv(A) izračunamo inverzni matriki:

$A^{-1}=\begin{bmatrix} 2&1\\ 1&1 \end{bmatrix}$ in $B^{-1}=\begin{bmatrix} 9&-1&2\\ 12&-1&3\\ 8&-1&2 \end{bmatrix}$.

Na koncu le še pomnožimo ustrezne matrike in dobimo rešitev.

Matrika X je:

$X=\begin{bmatrix} 57&-4&14\\ 48&-4&12 \end{bmatrix}$.

Pravilnost rešitve preverimo tako, da Izračunamo produkt matrik $AXB$. Rezultat mora biti matrika C.

Vir naloge: Fakulteta za strojništvo, 2. kolokvij iz Matematike 1, 2008, 3.b. naloga (povezava)

Besedilo naloge

Naj bo $f(x)=\frac{1}{2} \cdot \ln⁡(\frac{1-x^2}{1+x^2})$ Izračunajte odvod funkcije f(x).

Če bi se naloge lotili na roke, bi odvod izračunali na podlagi naslednjih pravil za računanje odvodov:

• $(x^n)'=nx^{n-1}$
• $(\ln x)'=\frac{1}{x}$
• odvod kompozituma: $(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$
• odvod količnika: $(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

S pomočjo orodja WolframAlpha, ki se uporablja preko spleta, odvod preprosto izračunamo tako, da vpišemo podatke. Orodje vsebuje ukaz za računanje odvodov. Ukaz se imenuje diff.

Tako dobimo rešitev naloge $\frac{2x}{x^4-1}$

Vir naloge: Fakulteta za strojništvo, 4. kolokvij iz Matematike 1, 2008, 1.a. naloga (povezava)

Besedilo naloge

Izračunajte nedoločeni integral $\int\frac{1-u^2}{(3+u^2 )(1+u^2)} du$.

Take vrste integrali se računajo tako, da funkcijo znotraj integrala najprej ločimo na parcialne ulomke. Tako dobimo dva integrala. Vsakega posebej rešimo in dobimo končni rezultat.

S pomočjo ukaza integrate z orodjem SymPy dobimo rezultat v enem koraku.

Rešitev integrala je: $\arctan(x) - \frac {2\cdot \sqrt{3}\cdot \arctan(\frac{\sqrt{3}\cdot x}{3})}{3} + C$

Vir naloge: Fakulteta za strojništvo, 2. kolokvij iz Tehniške matematike, 2012, 3. naloga (povezava)

Besedilo naloge

Izračunajte limiti $\lim\limits_{x\to -4}⁡(\frac{4}{x^2+4x}-\frac {3}{x^2+5x+4})$ in $\lim\limits_{x\to 0}\frac{sin⁡(3x)}{\sqrt{x^2+16}-4(x+1)}$

Limita funkcije v neki točki a je število, ki se mu vrednost funkcije približuje, ko se x približuje številu a.

To označimo: $\lim\limits_{x \to a}⁡f(x)$.

Limito funkcije najpogosteje izračunamo tako, da enačbo funkcije okrajšamo in vstavimo točko a.

Pri tej nalogi si pomagamo z orodjem SymPy. Limiti izračunamo z ukazom limit.

Rešitev:

• $\lim\limits_{x\to -4}⁡(\frac{4}{x^2+4x}- \frac {3}{x^2+5x+4})=\frac{1}{12}$
• $\lim\limits_{x\to 0}\frac{sin⁡(3x)}{\sqrt{x^2+16}-4(x+1)}= -\frac{3}{4}$.

Rešitvi lahko preverimo še s programom WolframAlpha, kamor vnesemo povsem isti ukaz kot smo ga v Pythonu.

Vidimo, da smo res dobili pravilni rešitvi.