Vir

• Splošna matura – spomladanski rok, 6. junij 2005, osnovna raven, 3. naloga (stran 5)
• Naloga je dosegljiva na tem naslovu:klik

Besedilo naloge

Dano je aritmetično zaporedje 1, 7, 13 ... Izračunajte, katero število je tisoči člen tega zaporedja in kolikšna je vsota prvih tisoč členov tega zaporedja.

Zaporedje je aritmetično, ko je razlika dveh zaporednih členov vedno enaka - konstantna. To razliko označimo s črko d in jo imenujemo diferenca.

• Rekurzivna formula aritmetičnega zaporedja je torej enaka: $a_n=a_{n-1}+d$
• Splošna formula za n-ti člen pa je: $a_n=a_1+(n-1)d$.

Vsoto členov aritmetičnega zaporedja od vključno prvega do vključno n-tega člena imenujemo tudi končna aritmetična vrsta.

• Izračunamo jo po formuli:$s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

• oziroma splošneje: $vsota = \frac{\check{s}tevilo~\check{c}lenov\cdot (prvi~\check{c}len + zadnji~\check{c}len)}{2}$

Nalogo bomo rešili s pomočjo Excela. Prve 3 podane člene zaporedja zapišemo enega pod drugim, vsakega v svojo celico.

Nato vse 3 celice označimo in jih prekopiramo do 1000 vrstice, da dobimo tisoči člen zaporedja. Vidimo lahko, da je Excel že sam ugotovil, da gre za aritmetično zaporedje z razliko (diferenco) 6, zato nam ni potrebno pisati posebne funkcije.

Tako smo dobili tisoči člen zaporedja, ki je enak 5995. Sedaj pa moramo izračunati še vsoto prvih 1000 členov. To storimo s funkcijo SUM, ki ji damo za argument območje, katerega vsoto želimo izračunati.

rešitev naloge

Preizkus

Sedaj moramo še preveriti pravilnost naše rešitve. Po formuli je n-ti člen enak: $a_n=a_1+(n-1)d$. Torej je tisoči člen enak:

• $a_{1000}=1+(1000-1)6 = 5995$.

Vsota prvih 1000 členov pa je enaka:

• $s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2} \Rightarrow s_{1000}=\frac{1000(1+5995)}{2} = 2998000$

Prenos datoteke

Excelovo datoteko z rešeno nalogo, si lahko prenesete na spodnji povezavi:

prenos

Vir

• Četrti kolokvij iz Matematike 1
• FMF, Praktična matematika VSŠ, Fizikalna merilna tehnika VSŠ
• Ljubljana, 19. maj 2006
• 4. naloga
• naloga je dosegljiva tukaj: prenos

Besedilo naloge

• Izračunaj posplošeni integral $\int_1^\infty \frac{\ln(x)}{x^2} dx$

Definicija: Naj bo $f:[a,\infty] \to \mathbb{R}$ funkcija, ki je integrabilna na intervalu $[a,c]$ za vse $c>a$.

Če obstaja $\lim_{c\to\infty} \int_a^c f(x)dx$, potem jo označimo $\int_a^\infty f(x)dx$ in jo imenujemo posplošeni integral funkcije f v mejah od a do neskončno.

Prenos datoteke z rešitvijo naloge

Tukaj si lahko prenesete datoteko z rešeno nalogo v programu Mathcad Prime 1.0

prenos

Spodnja animacija prikazuje, kako rešimo nalogo v programu Mathcad Prime 1.0.

Vir

• Splošna matura – jesenski rok, 26. avgust 2010, osnovna raven, 3. naloga (stran 5)
• Naloga je dosegljiva na tem naslovu:klik

Besedilo naloge

Trikotnik ABC na skici je enakokrak (|AB| = |BC|). Zunanji kot pri oglišču A meri 126°. Daljica CE je vzporedna stranici AB. V razpredelnico vpišite velikosti kotov α , β , γ , δ in ε .

Kot je del ravnine, ki ga omejujeta dva poltraka, ki imata isto izhodišče. Izhodišče imenujemo vrh kota, poltraka pa kraka kota.

Enakokrak trikotnik in dve stranici enako dolgi (imenujemo ju kraka), tretja stranica pa je osnovnica. Kota ob osnovnici sta enako velika.

Vsota notranjih kotov trikotnika meri 180° (iztegnjeni kot), vsota zunanjih kotov trikotnika pa znaša 360°.

Sokota sta kota, ki imata skupen vrh in enega od krakov, ostala dva kraka pa sta dopolnilna poltraka. Skupaj sestavljata iztegnjeni kot (180°).

Kota z vzporednimi kraki sta enaka, če imata oba para krakov vzporedna v isto smer ali v nasprotno smer.

Kota z vzporednimi kraki

Nalogo bomo rešili s pomočjo Geogebre. Najprej moramo skico skonstruirati, da bomo lahko odčitali želene kote.

Nalogo rešimo v GeoGebri s pomočjo orodja Kot. Iz slike odčitamo naslednje rešitve:

• $\alpha$ = 54°
• $\beta$ = 72°
• $\gamma$ = 54°
• $\delta$ = 72°
• $\epsilon$ = 54°

Rešeno nalogo si lahko pogledate spodaj in si jo naložite tukaj: prenos

Vir

• Splošna matura – jesenski rok, 26. avgust 2010, osnovna raven, 5. naloga (stran 7)
• Naloga je dosegljiva na tem naslovu:klik

Besedilo naloge

Narišite graf funkcije $f(x)=3^x−1$ in njeno asimptoto. Zapišite ničlo funkcije f in enačbo asimptote. Točki $T_1(−1,y_1)$ in $T_2(x_2,8)$ ležita na grafu funkcije f. Izračunajte neznani koordinati $y_1$ in $x_2$.

• Naj bo $D \subseteq \mathbb{R}$ in $f:D \to \mathbb{R}$ funkcija. Graf funkcije f je množica urejenih parov $\{(x,f(x)); x \in D\}$.

• Asimptota je krivulja, kateri se funkcija v neskončnosti približuje, vendar je nikoli ne doseže.

• Ničla funkcije je točka, kjer funkcija seka abscisno os (koordinata y = 0).

Iskanje ene izmed koordinat poljubne točke, ki se nahaja na funkciji: Znano koordinato vstavimo v funkcijo (dobimo eno enačbo za eno neznanko) in izrazimo neznano koordinato.

Nalogo rešimo v GeoGebri. Rešitve dobimo tako, da v ukazno vrstico vpišemo naslednje ukaze:

• f(x) = 3^x - 1 - nariše se nam graf funkcije f
• asimptota = Asimptota[f] - dobimo asimptoto y = -1
• ničla = Ničla[f, -3, 3] - iz slike vidimo, da je za začetno in končno vrednost x-a smiselno vzeti npr. -3 in 3. Tako dobimo ničlo s koordinatama (0,0).
• T1 = (-1, f(-1)) - $y_1$ dobimo tako, da izračunamo vrednost funkcije f za x = -1. Tako dobimo, da ima koordinata $y_1$ vrednost -0.67
• točko T2 dobimo tako, da najprej narišemo premico g(x) = 8. Presečišče te premice in funkcije f pa je ravno točka T2 - T2 = Presečišče[f, g]. Kot lahko razberemo iz slike, je iskana koordinata $x_2$ enaka 2.

Nalogo si lahko prenesete s klikon na naslednji gumb: prenos

Vir

• Poklicna matura – zimski rok, 21. februar 2010, 3. naloga (stran 7)
• Naloga je dosegljiva na tem naslovu:klik

Besedilo naloge

V pravokotnem trikotniku ABC meri notranji kot $\alpha$ = 32°18'. Izračunajte vse notranje in zunanje kote tega trikotnika.

Pravokotni trikotnik je trikotnik, pri katerem je eden od notranjih kotov pravi, tj. meri 90°.

Vsota notranjih kotov meri 180°, vsota zunanjih pa 360°. Notranji in zunanji kot z vrhom v istem oglišču skupaj predstavljata iztegnjeni kot, 180°.

Nalogo rešimo v GeoGebri. Najprej načrtamo poljubno daljico AB, na njo pa pravokotnico skozi točko B. Nato z orodjem 'kot z dano velikostjo' narišemo notranji kot $\alpha$, ki meri 32°18' oz. 32,3°. Kot narišemo tako, da najprej izberemo točko B, ki predstavlja točko na enem kraku, nato točko A, ki predstavlja vrh kota, nazadnje pa vpišemo še velikost kota. Dobimo spodnjo sliko:

Skozi točko A in dobljeno točko B' potegnemo premico in presečišče označimo s točko C. Na koncu točke A, B in C povežemo v mnogotnik in skrijemo točko B'.

Ko smo podan trikotnik skonstruirali, moramo samo še izmeriti notranje in zunanje kote. Dobimo naslednje rezultate:

• $\alpha$ = 32,3°
• $\beta$ = 90°
• $\gamma$ = 57,7°
• $\alpha + \alpha ' = 180°$ $\Rightarrow$ notranji+zunanji kot = iztegnjeni kot!

Rešeno nalogo si lahko ogledate spodaj in si jo prenesete tukaj: klik

Vir

• Prvi kolokvij iz Matematike
• FRI, Visoki strokovni študij računalništvo in informatika
• Ljubljana, 10. 12. 2010
• 2. naloga
• naloga je dosegljiva tukaj: prenos

Besedilo naloge

a) Poišči inverz matrike

$A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{bmatrix}$

b) Reši sistem:

$\begin{bmatrix} x - 2y + 2z = 2\\ y - z = 3 \\ 2y - z = 0 \\ \end{bmatrix}$

Inverz matrike $A$ je taka matrika $B$, da velja $AB = BA = I$. Za obstoj inverza mora biti matrika $A$ kvadratna in obrnljiva (nesingularna). Matrika $A$ je obrnljva natanko tedaj, ko je njena determinanta različna od $0$.

Dan je sistem m linearnih enačb z n neznankami:

$\begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\ \vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{bmatrix}$

Pri tem so $a_{ij}$ in $b_i$, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n dana realna števila, $x_1, x_2, \cdots, x_m$ pa so neznanke.

Sistem rešimo tako, da ga zapišemo v matrični obliki.

Matriko A = $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots &a_{mn}\end{bmatrix}$ imenujemo matrika sistema in vektor b = $\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{bmatrix}$ desna stran.

Vektorju x = $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}$ rečemo vektor neznank. Sistem linearnih enačb ima matrični zapis $Ax = b$. Iščemo torej tak vektor $x \in \mathbb{R}^n$, ki reši to enačbo.

Nalogo bomo rešili z orodjem Mathcad Prime.

Opazimo lahko, da je matrika A tudi matrika sistema iz točke b). Sistem lahko zato dobimo na 2 načina:

1. s pomočjo vgrajene funkcije lsolve
2. kot rešitev enačbe $y = A^{-1}*b$, pri čemer je y vektor neznank, b desna stran sistema, inverz matrike A pa smo izračunali že v delu a)

a) Inverzna matrika: $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1\\ 0 & -2 & 1\end{bmatrix}$

b) Rešitev sistema:

• x = 8
• y = -3
• z = -6

Rešeno nalogo si lahko prenesete na naslednji povezavi: prenos

rešitev naloge

Vir

• Kolokvij iz matematike 1
• Fakulteta za elektrotehniko (VSŠ)
• 14. januar 2011
• 1. naloga
• Dosegljivo na: klik

Besedilo naloge

Izračunaj prostornino vrtenine, ki nastane, ko se graf funkcije $f(x) = 2x$ zasuče okrog osi $x, x \in [0,1]$.

Vrtenino oz. rotacijsko telo dobimo z vrtenjem loka okrog dane osi na intervalu [a,b]. Vrtenino v prerezih aproksimiramo z valji. Tako dobimo formulo:

$V = \pi \int_a^b f^2(x) dx$

Najprej funkcijo narišemo, da si lažje predstavljamo kakšno vrtenino sploh dobimo. Funkcijo narišemo z orodjem Mathcad Prime in sicer tako, da izberemo zavihek Plot, nato pa Insert Plot in XY plot.

Na y koordinato vnesemo funkcijo $2x$, na x koordinato pa $x$. Ker nas zanima graf funkcije le na intervalu [0,1], definiramo $x:=0..1$.

graf funkcije y = 2x na intervalu [0,1]

Podobno kot smo naredili pri nalogi 2, tudi tukaj izračunamo določeni integral in dobimo:

volumen vrtenine

Iz slike lahko opazimo, da je pravzaprav telo, ki ga dobimo, stožec. Zato lahko nalogo rešimo kar s pomočjo formule za prostornino stožca, ki je enaka $V = \frac {1}{3} \pi r^2 v$. V našem primeru je $r = 2$ in $v = 1$. Ko vstavimo v formulo, dobimo rezultat $V = \frac {4 \pi}{3}$, kar je približno 4,1888. Vidimo, da sta rezultata enaka.

Prenos datoteke

Rešeno nalogo si lahko naložite tukaj: klik

Vir

• Kolokvij iz matematike 1
• Fakulteta za elektrotehniko (VSŠ)
• 14. januar 2011
• 9. naloga
• Dosegljivo na: klik

Besedilo naloge

Poišči vse rešitve enačbe $3x + |x-1| = 7$.

Absolutna vrednost števila x ni odvisna od njegovega predznaka.

• |x| = x, če je x ≥ 0
• |x| = -x, če je x < 0

Enačba, v kateri nastopajo absolutne vredosti ima dve rešitvi in sicer enkrat privzamemo, da je izraz znotraj absolutne vrednosti pozitiven, drugič pa, da je negativna. Vendar moramo na koncu vedno narediti preizkus, saj ni nujno, da sta obe rešitvi res pravilni.

Nalogo smo rešili trivialno z uporabo orodja WoframAlpha. V iskalno polje vpišemo solve 3x + abs(x -1) = 7 in dobimo rešitev $x=2$. Če pri rešitvi pritisnemo na gumb Show steps, se nam izpiše celoten postopek reševanja naloge.

Rešitev si lahko ogledate na tej povezavi: rešitev

Rešitev naloge