Podan imaš graf funkcije $f(x) = 0,5 (x + 2)^2 – 5$. S premikanjem točke $A$ na grafu funkcije in z opazovanjem vrednosti njenih koordinat bomo proučevali njene lastnosti.

Poskusi sam

Kaj se dogaja z ordinato točke $A$, če se abscisa veča od $–5$ do $–3$?

Za katere točke na grafu velja podobna lastnost? Zapiši ustrezen interval za abscise točk.

Spodaj imaš primere grafov funkcij.

Na posameznem grafu lahko premikaš točke $A$, $B$, $C$, $D$ ali $E$.

Skušaj odgovoriti na zastavljena vprašanja.

Katera je najmanjša oziroma največja vrednost, ki jo funkcija doseže?

Ali lahko ti dve vrednosti natančno določimo?

Ali funkcija lahko zavzame poljubne vrednosti? Kaj je njena zaloga vrednosti?

Katera je največja vrednost, ki jo funkcija doseže? Kaj pa najmanjša? Kaj je zaloga vrednosti funkcije?

Če še enkrat pogledamo zaloge vrednosti za podane primere funkcij, t.j. $[–5, 5]$, $[–4.7, 1.2]$ in $(1, 7]$, opazimo, da so v vseh primerih to intervali. Intervali so zaprti, če funkcija doseže najmanjšo oziroma največjo vrednost, in odprti, če se določeni vrednosti samo (asimptotično) približujejo.

Funkcije, kjer je zaloga vrednosti interval $(a, b)$, $(a, b]$, $[a, b)$ ali $[a, b]$, $a,b \in \mathbb {R}$, imenujemo omejene funkcije.

Funkcija doseže spodnjo mejo $m = –4$. Zgornje meje $M = 1$ ne doseže nikoli, saj se ji asimptotično približuje.

Vsa števila, ki so manjša od števila $m$, so spodnje meje, vendar je število $m$ največja med njimi, zato jo imenujemo natančna spodnja meja.

Vsa števila, ki so večja od števila $M$, so zgornje meje, vendar je število $M$ najmanjša med njimi, zato jo imenujemo natančna zgornja meja.

Dana funkcija je definirana za vsa realna števila. Kaj je njena zaloga vrednosti? Ali je omejena?

Definicijsko območje podane funkcije so vsa realna števila. Ali funkcija doseže najmanjšo vrednost? Kaj pa največjo? Ali je omejena? Kako?

Funkcije, ki niso ne navzdol in ne navzgor omejene, so neomejene funkcije.

Spodaj imaš podan graf funkcije $g(x)$. S premikanjem točke $A$ opazuj lego točke $B$.

Postavi točko $A$ tako, da bo ležala na simetrali sodih kvadrantov. Kje leži točka $B$?

Točko $A$ poljubno premikaj in opazuj pri tem lego in koordinato točke $B$. Za katero preslikavo velja opisana lastnost?

Soda funkcija negativnim $x$ priredi enako vrednost kot pozitivnim, kar pomeni, da je graf sode funkcije zrcalen glede na ordinatno os.

Graf sode funkcije

Premikaj točko $C$ ter opazuj pri tem lego točke $D$.

Kako se spreminjata koordinati točke $D$ s spreminjanjem lege točke $C$? Katera preslikava ima to lastnost?

Graf lihe funkcije

Liha funkcija negativnim $x$ priredi nasprotne vrednosti kot pozitivnim, torej se koordinate točk razlikujejo po predznaku, kar pomeni, da je graf lihe funkcije zrcalen glede na koordinatno izhodišče.

Poglejmo, kako preverimo lastnost sodost – lihost, kadar je funkcija podana s predpisom.

Naj bo $f(x) = x^2 + 3$.
Izračunajmo:

Funkcija je soda, saj smo dokazali, da za vsak $x$ velja lastnost sodih funkcij.

Naj bo sedaj $r(x) = x(x^4 + 5)$.
Torej je:

Funkcija je torej liha.

Za funkciji $g(x) = x^{–2}$ in $h(x) = x^{–1}$ preveri po definiciji lastnost sodost oziroma lihost.

$g(x)$ je soda je liha
$h(x)$ je soda je liha

Obstajajo pa seveda tudi funkcije, ki niso niti sode niti lihe.

Naj bo $f(x) = x^2 – 5x$. Potem je

kar ni niti $f(x)$ niti $–f(x)$.

Razmisli o opisanih lastnostih v primeru linearne funkcije in zapiši, pri katerih pogojih ima linearna funkcija določene lastnosti.

Linearna funkcija s predpisom

je posebna funkcija, kjer govori o naraščanju in padanju njen smerni koeficient

Če je $k$ < > = $0$, je linenarna funkcija padajoča, če je $k$ < > = $0$ pa je naraščajoča. V primeru $k$ < > = $0$ je funkcija konstantna, graf pa je vzporeden abscisni osi.

Linearna funkcija je v splošnem neomejena.

Linearna funkcija je liha v tistih primerih, ko je začetna vrednost enaka .

Za spodaj podano funkcijo razmisli, katere izmed opisanih lastnosti ima.

Funkcija je soda je liha ni ne soda, ne liha , navzdol navzgor omejena z m = , padajoča naraščajoča konstantna na intervalih $(–∞, x_1) \cup (0, x_2)$ in padajoča naraščajoča konstantna na $(x_1, 0) \cup (x_2, ∞)$, kjer sta $x_1$ in $x_2$ ničli funkcije.

Za spodaj podano funkcijo razmisli, katere izmed opisanih lastnosti ima.

b) Funkcija je soda je liha ni ne soda, ne liha , je omejena je neomejena z zalogo vrednosti [ , ] in periodično padajoča in naraščajoča; od maksimuma proti minimumu je padajoča naraščajoča konstantna in od minimuma do maksimuma pa padajoča naraščajoča konstantna .

Za spodaj podano funkcijo razmisli, katere izmed opisanih lastnosti ima.

c) Funkcija je soda je liha ni ne soda, ne liha , padajoča naraščajoča konstantna na celotnem definicijskem območju in je omejena je neomejena .

Dana je funkcija $f(x) = |x − 1| + 2$.
a) Nariši njen graf.
b) Zapiši intervale naraščanja in padanja.
c) Ali je funkcija omejena?
d) Računsko in grafično potrdi in razloži sodost oziroma lihost funkcije.

Ugotovi, katere izmed funkcij spodaj so sode in katere so lihe.
a) $f(x) = \frac {x^2}{(x−3)^4}$
b) $g(x) = \frac{x}{x^2+1}$
c) $h(x) = |x| + 3x^4$

$f(x) = \frac {x^2}{(x−3)^4}$ je soda. je liha. ni niti soda, niti liha.
$g(x) = \frac{x}{x^2+1}$ je soda. je liha. ni niti soda, niti liha.
$h(x) = |x| + 3x^4$ je soda. je liha. ni niti soda, niti liha.

Dana je funkcija $g(x) = 2^x − 1$.
a) Tabeliraj funkcijo na intervalu $[−3, 3]$ s korakom $1$.
b) Zapiši presečišča grafa funkcije s koordinatnima osema in nariši njen graf.
c) Zapiši intervale naraščanja oziroma padanja.
d) Zapiši zalogo vrednosti na tem intervalu. Ali je omejena? Kaj je z omejenostjo, če je definicijsko območje množica vseh realnih števil?

Tabela funkcije:

$f(0) =$,

Ničla je pri: $x=$

Funkcija je povsod padajoča. naraščajoča. konstantna.
$Z_f =[$ + - $/$ , + - $]$, na tem intervalu je omejena, na celotni realni osi je omejena navzodl z $m=$ , navzgor je neomejena.

Potrdi ali ovrži spodnje trditve.
a) Vsota sodih funkcij je soda funkcija. Pravilno. Napačno.
b) Produkt lihih funkcij je soda funkcija. Pravilno. Napačno.
c) Če je $S$ množica vseh sodih funkcij in $L$ množica vseh lihih funkcij, potem je $S \cup L$ množica vseh funkcij. Pravilno. Napačno.