GEUP 5 je interaktivni geometrijski program za vizualizacijo v ravnini in izvedbo dinamičnih matematičnih izračunov. Omogoča vizualno ustvarjanje dinamičnih in splošnih konstrukcij/aplikacij z opredelitvijo matematičnih elementov skozi vključena konstrukcijska orodja.

Dostopen je v DEMO verziji na spletnem naslovu: //geup.net/en/geup/.
V DEMO verziji ne moremo shranjevati konstrukcij. Gre za novejšo verzijo GEUP-a 4.

Katere so glavne novosti v GEUP 5?

• Ima drugačno postavitev gumbov,

• pozna orodje za večkratni razveljavi/ponovi,

• zna risati s pomočjo iteracije (rekurzije),

• zna določiti vsoto dveh vektorjev,

• ima možnost velike/majhne orodne vrstice z gumbi,

• prikaže lahko konstrukcijo korak za korakom

• in omogoča uporabo grških črk v besedilu.

Za boljšo predstavo objektov na risalno površino postavimo koordinatni sistem. Poiščemo orodje Axes v menuju Measure-calculate in kliknemo na risalno površino. S klikom na površino hkrati določimo koordinatno izhodišče.

Točke ustvarjamo zelo preprosto.
Če nam ni pomembno kje točka leži, poiščemo orodje Free point v menuju Construct Ge in kliknemo na risalno površino. S klikom se ustvari točka.
Če želimo narisati točko s točno določenima koordinatama, uporabimo orodje Plot points, ki ga najdemo v menuju Measure-calculate. Po kliku na orodje se odpre novo okno, kamor vpišemo koordinato x in koordinato y.
Točko, ustvarjeno s prvim orodjem, lahko poljubno premikamo po ravnini, med tem ko je točka, ustvarjena na drug način, fiksna.

Daljico, premico, vektor, mnogokotnik rišemo podobno kot v GeoGebri. Orodja za risanje najdemo v menuju Construct Ge. Po kliku na orodje označimo točki, kateri želimo povezati v daljico, vektor ali pa skozi kateri želimo potegniti premico. Če izberemo orodje za risanje mnogokotnika, je treba podati njegova oglišča. Vrstni red je pomemben. Začnemo in končamo v isti točki.

Če imamo znano točko, ki predstavlja središče krožnice in točko, ki leži na krožnici, uporabimo orodje Circle given a center or given a center and a point (najdemo ga v menuju Construct Ge). Po kliku na orodje kliknemo najprej na središče in šele nato na točko, ki leži na krožnici.

Pravokotnico narišemo zelo preprosto z orodjem Perpendicular line (najdemo ga v menuju Construct Ge). Po izbiri orodja, kliknemo na objekt (premica, daljica, vektor), kateremu želimo narisati pravokotnico. Nato kliknemo še na točko, skozi katero želimo potegniti pravokotnico. Podobno velja za risanje vzporednice.

Več o programu najdete na spletni strani: //http://www2.nauk.si/materials/111/out-470481/index.html#state=1

V nadaljevanju se bomo osredotočili na vsoto vektorjev in na risanje s pomočjo rekurzije.

1. Vsoto dveh vektorjev preprosto izračunamo z orodjem Vektorska vsota (v menuju Construct Ge lahko poiščemo tudi orodje Vector sum). Po izbiri orodja kliknemo na vektorja, katera želimo sešteti, in še točko, ki bo predstavljala začetno točko vektorja vsote. Nariše se vektor vsote.
Če nas zanima njegova dolžina, uporabimo orodje Length-distance. Če nas zanimajo koordinate končne ali začetne točke, izberemo orodje Equation-coordinates. Obe orodji najdemo v menuju Measure-calculate.

Orodje Iteracija (lahko tudi izberemo orodje Iteration v menuju Transform-Check ali na tipkovnici pritisnemo Ctrl+I) rekurzivno nariše nek objekt. Določiti je treba začetne točke (te definirajo objekt, nad katerim izvajamo rekurzijo), nato pa še pripadajoče rekurzivne (v katere želimo, da se objekt slika). V vsakem koraku se konstrukcija ponovi tako, da za začetne točke uporabi rekurzivne iz prejšnjega koraka. Ponovimo katero koli število korakov.

Slika prikazuje iteracijo nad štirimi točkami, ki predstavljajo oglišča (temno modrega) kvadrata. To so tudi začetne točke iteracije. Točke povežemo v daljice. Za rekurzivne točke si izberemo razpolovišča vseh daljic. Prvič nam rekurzija poveže rekurzivne točke, drugič poišče razpolovišča novih daljic in jih poveže. Tretjič spet poišče razpolovišča, ... Opomba: Če točk takoj na začetku ne bi povezali v daljice, bi nam rekurzija risala le točke.

Primer reševanja naloge v GEUP 5 z uporabo rekurzije: Nalogo najdemo na spletni učilnici Fakultete za matematiko in fiziko, Praktična matematika, predmet PRO1. Gre za 2. nalogo na spletni strani: //ucilnica.fmf.uni-lj.si/mod/assign/view.php?id=6595.

Naloga se glasi:

V našem primeru bomo izračun vsote dolžin izpustili. Ker ni podatka o tem, kolikšna naj bi bila dolžina črte, lahko izberemo poljubno.

Premislek:

• Narisati je treba daljico, ki predstavlja sliko reda n=1.

• Krajišče te daljice predstavlja razpolovišče daljice, katero rekurzivno nariše v drugem koraku.

• Upoštevamo, da so daljice paroma pravokotne.
  
  

Postopek:

• Narišemo daljico.

• Daljico razdelimo na štiri enake dele.

• Dolžina nove daljice je enaka polovični dolžini prvotne. Krajišče prvotne daljice pa predstavlja razpolovišče nove daljice.

• Upoštevamo še, da je nova daljica pravokotna na prvotno.

• Tako odmerimo ustrezne točke.

• Rekurzija.

GEUP 3D 2 je interaktivni geometrijski program za izračun matematičnih problemov in vizualizacijo. Z opredelitvijo matematičnih problemov omogoča vizualno ustvarjanje dinamičnih in splošnih konstrukcij/aplikacij. GEUP 3D 2 je podoben programu GEUP 5, le da je definiran v tri-dimenzionalnem prostoru. Geometrija v prostoru je v primerjavi z geometrijo ravnine dokaj neraziskano področje matematike, deloma zaradi pomanjkanja eksperimentiranja v tem okolju. GEUP 3D zagotavlja močno interaktivno orodje za študij tega področja.

Izgled orodja:

Lastnosti programa so naslednje:

• Ima sposobnost za izgradnjo osnovnih geometrijskih elementov: točka, premica, krožnica, (pravilni) poligon, polieder, krogla.
• Omogoča dinamično spreminjanje geometrijskih elementov.
• Omogoča hiter in natančen izračun lokusov (krivulj in ploskev).
• Pozna ukaze za risanje geometrijskih transformacij: centralna simetrija, osna simetrija, translacije, rotacije.
• Izračuna konstrukcijske mere, te vrednosti pa lahko uporabimo v katerem koli naslednjem konstrukcijskem koraku.
• Odpre okno za konstrukcijo novih točk.
• Pokaže seznam konstrukcijskih korakov.
• Ima sposobnost dinamične vizualizacije v 3D prostoru (rotacija, zoom in/ out).
• Ima sposobnost za urejanje in spreminjanje gradnje v vsakem koraku.
• Je popolnoma prilagodljiv. Vključuje podporo več jezikov.
• Večkratno urejanje elementov (velikost/oblika).
• Določi središča kroga.
• Zna izračunati vsoto dveh vektorjev.
• Pozna orodje za risanje krožnega loka.
• Omogoča spreminjanje točke in izračuna.
• Nariše ploskve, opredeljene s točkami, ki so odvisne od točk poligona (paralelograma).

1.

Točko ustvarimo tako, da kliknemo na orodje Točka (lahko tudi izberemo ukaz Point v menuju Construct Ge) in nato kliknemo na risalno površino. Točko lahko s tem orodjem izberemo le v ravnini XY. Če želimo, da ima ustvarjena točka tudi neko vrednost z, jo z Shift+levi klik lahko prestavljamo gor ali dol po risalni površini.

2.

Če želimo točko narisati v prostoru, kliknemo na orodje Nariši točko (lahko tudi izberemo orodje Plot points v menuju Measure-Calculate, ki nam odpre novo okno, kamor vpišemo koordinate točke. Potem pritisnemo punto, ki postavi točko v koordinatni sistem. Lahko narišemo več točk. Ko smo zaključili z ustvarjanjem točk, pritisnemo OK.

• Z desnim klikom na točko se odpre urejevalno okno. Točkam lahko npr. spremenimo barvo, nastavimo ime, jih skrijemo.

1.

Orodje Presečišče/točka (lahko izberemo tudi orodje Intersection points v menuju Construct Ge) uporabimo, ko želimo določiti presečišče dveh objektov. Po tem, ko smo izbrali orodje, izberemo še dva objekta, in na risalno površino se izrišejo presečišča, če obstajajo.

2.

Za ustvarjanje točke na ta način je potrebno imeti tri števila že na risalni površini. Števila, ki bodo predstavljala koordinate točke. Ta števila ustvarimo s pomočjo orodja Računalo. S klikom na orodje se odpre novo okno. V vnosno vrstico vpišemo število in pritisnemo enačaj. V izpisni vrstici se pokaže število. Ko kliknemo nanj, se pojavi na risalni površini. Podobno storimo še za drugi dve koordinati točke. Zdaj lahko izberemo orodje Točka s koordinatami (tudi orodje Point with coordinates v menuju Measure-Calculate). Izberemo še ustvarjena števila, kjer prvo število pove koordinato x, drugo y in tretje z. Z desnim miškinim klikom lahko števila skrijemo, ko jih ne potrebujemo več.

3.

Orodje Koordinate (lahko tudi Coordinates v menuju Measure-Calculate) uporabimo, ko želimo vedeti koordinate neke točke. Po tem ko smo izbrali orodje, izberemo še točko. Na risalni površini se pojavijo zapisane x, y in z koordinate te točke.

Ravnino ustvarimo tako, da izberemo orodje Ravnina (lahko tudi Plane v menuju Construct Ge), nato pa izberemo tri točke, katere želimo, da ležijo na ravnini.

Orodje Vmesna ravnina (lahko tudi Mediating plane v menuju Construct Ge) izberemo, ko nas zanima ravnina, ki je enako oddaljena od dveh točk v prostoru. Po tem ko smo izbrali orodje, izberemo še točki in ravnina se prikaže na risalni površini.

Orodje Presečišče/premica (lahko tudi izberemo Intersection line v menuju Construct Ge) uporabimo, ko želimo določiti presečišče dveh objektov. Po tem ko smo izbrali orodje, izberemo še dva objekta, in na risalno površino se izriše premica, če obstaja.

Orodje Dolžina/razdalja (lahko izberemo tudi orodje Length/distance v menuju Measure-Calculate) uporabimo, kadar želimo izračunati dolžino nekega objekta ali pa razdaljo med objektoma. Po izbiri orodja kliknemo na objekt ali dva objekta in izpiše se dolžina neke daljice, vektorja, obseg krožnice, razdaljo med točkama, razdaljo med točko in premico, itd.

Orodje Kot (lahko ga izberemo tudi v menuju Measure-Calculate pod imenom Angle) uporabimo, kadar želimo vedeti velikost nekega kota. Po kliku na orodje izberemo tri točke. Druga točka naj predstavlja vrh kota. V levi kot zgoraj se na risalno površino izpiše število, ki predstavlja velikost kota.

Orodje Površina (lahko ga izberemo tudi v menuju Measure-Calculate pod imenom Area) uporabimo, kadar želimo vedeti površino nekega lika, poligona, krogle ali pravilnega telesa. Po kliku na orodje izberemo objekt. V levi zgornji kot na risalni površini se izpiše število, ki predstavlja površino objekta.

Orodje Prostornina (lahko ga izberemo tudi v menuju Measure-Calculate pod imenom Volume) uporabimo, kadar želimo vedeti prostornino nekega telesa. Po kliku na orodje izberemo telo. V levi zgornji kot na risalni površini se izpiše število, ki predstavlja prostornino krogle ali pravilnega telesa.

Primer:

S tem orodjem lahko narišemo tetraeder, kocko, oktaeder, dodekaeder in ikozaeder. Orodje najdemo tudi v orodni vrstici, če v menuju Construct Ge izberemo Regular polyhedron. Potem kliknemo na eno od oglišč osnovne ploskve in pravokotnico, ki gre skozi središče te ploskve. Odpre se nam novo okno, v katerem nazadnje izberemo telo.

Krožnica in krogla

Orodje Krožnica (lahko tudi izberemo Circle v menuju Construct Ge) uporabimo, ko želimo narisati krožnico, podane pa imamo tri točke, ki ležijo na njej. Po izbiri orodja izberemo še točke (vrstni red ni pomemben), in izriše se krožnica.

Orodje Krogla (lahko izberemo tudi Sphere v menuju Construct Ge) nariše kroglo, če podamo središče sfere in točko na njej.

• Središče krožnice ali sfere dobimo z orodjem Središče krožnice (ali Construct Ge/Circle center).

Posebna orodja

• Prvi dve ikoni pokažeta konstrukcijske korake.
• Ob kliku na tretjo ikono se začne/prekine samodejna rotacija risalne površine.
• Naslednja prikaže/skrije koordinatne osi.
• Z naslednjo lahko premikamo risalno površino.
• S klikom na lupo se približamo/oddaljimo od risalne površine.
• S klikom na zadnjo ikono pa prostoročno rotiramo sliko.

Primer reševanja naloge s pomočjo GEUP 3D 2:

Nalogo najdemo na spletni strani: //eucilnica.glazer.si/pluginfile.php/1181/mod_scorm/content/0/Glava.pdf. Gre za 6. nalogo. Besedilo se glasi.

Če zlepimo dva tetraedra skupaj, dobimo heksaeder.

Nariši njegovo mrežo in izračunaj, kolikšno površino in prostornino ima pravilni heksaeder z robom 4 cm.

V našem primeru bomo risanje mreže izpustili.

Premislek:

• Narisati je treba pravilno tristrano piramido.
• Nato pa še eno tako piramido tako, da se stikata v eni od ploskev.
• Izračunamo površino in prostornino heksaedra.

Postopek:

• Narišemo dve oglišči osnovne ploskve(trikotnik), tretjega pa preračunamo.
• Trikotnik označimo kot poligon in z orodjem izračunamo njegovo površino.
• Površina heksaedra je šestkratnik tega števila.
• Preračunamo središče trikotnika.
• Nadaljujemo s pravokotnico na ploskev skozi središče.
• Zdaj narišemo tetraeder tako, da podamo eno od oglišč osnovne ploskve in pravokotnico na njo.
• Narišemo še pravokotnico skozi eno od drugih ploskev in narišemo še en tetraeder.
• Dobimo heksaeder.
• Njegovo prostornino pa izračunamo z orodjem.

Rešitev: