Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Ploščine krivočrtnih likov

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Naloga

Prerez cisterne, ki je na skici obarvan oranžno, določata krivulji

$y=4-x^2,$ $y=x^2 - 2x$

Prikaži skico Skrij skico

Radi bi izračunali natančno vrednost prostornine cisterna. Če bi poznali ploščino prereza, ki smo ga obarvali oranžno, bi bila naloga enostavna. S formulo za prostornino valja oz. prizme bi izračunano ploščino prereza pomnožili le z višino cisterne, ki meri $10$ m. Tako bi dobili njeno prostornino.

Ploščina lika med krivuljo in abscisno osjo

Ponovimo, kako s pomočjo določenega integrala izračunamo ploščine naslednjih likov. Oglej si slike in izberi pravilen odgovor.

Ploščino likov na zgornjih slikah, obarvanih z rdečo, zeleno in modro barvo, izračunamo po vrsti kot:

$\int_a^b f(x) dx, \quad \int_a^b g(x) dx, \quad \int_a^b h(x) dx$

$\int_a^b f(x) dx, \quad -\int_a^b g(x) dx, \quad \int_a^b h(x) dx$

$\int_a^b f(x) dx, \int_a^b g(x) dx, \int_a^b h(x) dx + \int_b^c h(x) dx$

$\int_a^b f(x) dx, -\int_a^b g(x) dx, \int_a^b h(x) dx - \int_b^c h(x) dx$

$\int_a^b f(x) dx, -\int_a^b g(x) dx, \int_a^b h(x) dx + \int_b^c h(x) dx$

Preveri

Slike

y = f(x)

y= g(x)

y= h(x)

Ne bo držalo. Pravilno je zapisana samo ploščina z rdečo obarvanega lika.

Ne bo držalo. Ploščina z modro obarvanega lika ni zapisana pravilno.

Ne bo držalo. Ploščina z modro obarvanega lika ni zapisana pr

Ne bo držalo. Ploščina z modro obarvanega lika ni zapisana pravilno.

Tako je. To je pravilen odgovor.

Naprej

Ploščina likov med dvema grafoma funkcij

Naj bosta funkciji $f$ in $g$ zvezni na intervalu $[a, b]$ in naj graf funkcije $f$ leži nad grafom funkcije $g$ za vsak $x$ iz tega intervala. Izračunajmo ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij $f$ in $g$ in premici $x=a$ in $x=b$ . Zaradi postopnosti pri razmišljanju bomo ločili dva primera:

a) Krivulji $y=f(x)$ in $y=g(x)$ ležita na intervalu $\mathbf{[a, b]}$ nad abscisno osjo:

Z drsnikom na levi strani se po korakih pomikaj navzgor in opazuj dogajanje na aktivni sliki.

!tu manjka aplet

Iz slik očitno velja, da je iskana ploščina $S$ enaka

$S=\int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx = \int_a^b (f(x) - g(x))dx$

Ploščina likov med dvema grafoma funkcij

Naj bosta funkciji $f$ in $g$ zvezni na intervalu $[a, b]$ in naj graf funkcije $f$ leži nad grafom funkcije $g$ za vsak $x$ iz tega intervala. Izračunajmo ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij $f$ in $g$ in premici $x=a$ in $x=b$ . Zaradi postopnosti pri razmišljanju bomo ločili dva primera:

b) Krivulji $y=f(x)$ in $y=g(x)$ na intervalu $[a, b]$ ne ležita v celoti nad abscisno osjo:

Če leži kateri od grafov funkcij $f$ in $g$ na integracijskem intervalu $[a, b]$ pod abscisno osjo, prištejemo obema funkcijama isto, dovolj veliko pozitivno konstanto $C$ , da oba grafa premaknemo nad abscisno os. Tako dobimo funkciji $f(x)+C$ in $g(x)+C$ , lik, katerega ploščino bi radi izračunali, pa se ne spremeni (ostane skladen s prvotnim). Na spodnji aktivni sliki izberi z gibljivo piko na ordinatni osi tako konstanto $C$ , da bosta obe krivulji, $y=f(x)+C$ in $y=g(x)+C$ , na intervalu $[a, b]$ ležali nad abscisno osjo.

! tu manjka aplet

Ploščino z rdečo osenčenega lika tako lahko izračunamo kot

$S= \int_a^b (f(x) + C)dx - \int_a^b (g(x) + C)dx = \int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx = \int_a^b(f(x) - g(x))dx.$

Vidimo, da se v računu konstanta $C$ izniči (ob upoštevanju, da je integral vsote funkcij enak vsoti integralov funkcij) in je rezultat enak kot v primeru a).

Povzetek

Povzemimo oba primera:

Ploščino lika, ki ga določata grafa zveznih funkcij $\mathbf{f}$ in $\mathbf{g}$ na intervalu $\mathbf{[a, b]}$ , kjer za vsak $x$ iz tega intervala velja

$g(x) \leq f(x),$

izračunamo kot

$S=\int_a^bf(x)dx - \int_a^b g(x)dx = \int_a^b(f(x) - g(x))dx.$

Primer

Izračunali bomo prostornino cisterne iz prve naloge. Najprej izračunajmo ploščino osnovne ploskve.

Integracijski meji sta abcisi presečišč krivulj

$S=\int_{-1}^2 (4- x^2)dx - \int_{-1}^2 (x^2 -2x)dx = \int_{-1}^2 (4 - 2x^2 + 2x)dx = (4x - \frac{2}{3}x^3 + x^2) \Bigg|_{-1}^2 = 9$

Volumen cisterne je tako

$V=S_o \cdot v = 9 \cdot 10 = 90$

Integracijski meji sta abcisi presečišč krivulj

$x^2 - 2x = 4 - x^2$ $2x^2 - 2x -4 = 0$ $x^2 - x -2 = 0$ $(x+1)(x-2) = 0$ $x_1 = -1, \quad x_2 = 2$

Reši, saj znaš!

Oglej si slike (slika se poveča, če se z miško postaviš nanjo), izberi pravilen odgovor in izračunaj ploščine osenčenih likov.

1. naloga

Dana je parabola $y^2=8x$ . Izračunaj ploščino lika, ki ga določa parabola na intervalu $[0, 2]$ .

Ploščino lika na sliki izračunamo kot:

$S = \int_0^2 8xdx$

$S = \int_0^2 \sqrt{8x}dx$

$S = 2 \int_0^2 \sqrt{8x}dx$

Namig

Ploščina z modro osenčenega lika na sliki je enaka (Rezultat smiselno zaokroži in zapiši kot decimalno število.)

Preveri

Nimaš prav. Pod integralskim znakom je zapisana napačen funkcijski predpis.

Nimaš prav. Na ta način bi izračunal polovico iskane ploščine osenčenega lika.

Prav imaš, pravilen odgovor.

Namig

Del parabole nad abscisno osjo določa funkcijski predpis

$f(x) = \sqrt{8x},$

del parabole pod abscisno osjo pa funkcijski predpis

$f(x) = - \sqrt{8x},$

Lik je sestavljen iz dveh simetričnih delov, tistega pod in tistega nad abscisno osjo. Najprej izračunamo ploščino lika nad abscisno osjo in vrednost podvojimo.

Rešitev

$S= 2 \int_0^2 \sqrt{8x}dx = 4 \sqrt{2} \int_0^2 x^{\frac{1}{2}}dx= 4 \sqrt{2}\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \Bigg|_0^2 = \frac{32}{3} = 10,\overline{6}$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Naprej

Reši, saj znaš!

Oglej si slike (slika se poveča, če se z miško postaviš nanjo), izberi pravilen odgovor in izračunaj ploščine osenčenih likov.

2. naloga

Dan je polinom $p(x) = x^3+x^2–x–1$ , katerega graf skupaj z abscisno osjo določa z rdečo osenčen lik na sliki.

Ploščino lika, osenčenega z rdečo barvo, izračunamo kot:

$S = \int_{-1}^1 p(x)dx$

$S = - \int_{-1}^1 p(x)dx$

$S = - \int_{0}^1 p(x)dx$

Namig

Ploščina lika, ki je na sliki osenčen z rdečo barvo, je enaka (Rezultat smiselno zaokroži in zapiši kot decimalno število.)

Preveri

Nimaš prav. Pazi, polinom je na integracijskem intervalu negativen. Se spomniš, kako se v tem primeru s pomočjo določenega integrala izračuna ploščino lika?

Tako je.

Nimaš prav. Poglej še enkrat integracijske meje.

Namig

Najprej izračunaj abscise točk, kje graf polinoma seka abscisno os, da boš določil integracijski meji:

$x^3+x^2-x-1=0,$ $x^2(x+1)-(x+1)=0,$ $(x+1)(x^2-1)=0,$ $(x+1)^2(x-1)=0,$

od koder sledi

$x_1=-1, x_2=1.$

Rešitev

$S= - \int_{-1}^1 (x^3 -x^2 - x -1)dx =- \left( \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x \right) \Bigg|_{-1}^1= \frac{4}{3} = 1,\overline{3}$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Naprej

Reši, saj znaš!

Oglej si slike (slika se poveča, če se z miško postaviš nanjo), izberi pravilen odgovor in izračunaj ploščine osenčenih likov.

3. naloga

Lik na spodnji sliki določata krivulji $y=ex$ , $y=x-1$ ter premici $x=2$ in $x=3$ .

Ploščino lika, osenčenega z rdečo barvo, izračunamo kot:

$S = \int_{2}^3 (x^{-1} - e^x) dx$

$S = \int_{2}^3 (x^{-1} + e^x) dx$

$S = \int_{2}^3 (-x^{-1} + e^x) dx$

Namig

Ploščina lika, ki je na sliki osenčen z rdečo barvo, je enaka (Rezultat zapiši zaokrožen na eno decimalno mesto.)

Preveri

Ne bo držalo. Poglej še enkrat, katera funkcija ima na integracijskem intervalu večje funkcijske vrednosti.

Nimaš prav. Poglej še enkrat namig!

Tako je, prav imaš.

Namig

Spomni se, da ploščino lika, ki ga določata grafa dveh funkcij $f$ in $g$ na intervalu $[a, b]$ , izračunamo kot

$S= \int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x) dx = \int (f(x)-g(x))dx,$

če so na tem intervalu vse funkcijske vrednosti $f(x)$ večje od funkcijskih vrednosti $g(x)$ .

Rešitev

$S= \int_{2}^3 (e^x - x^{-1})dx =\left( e^x - \ln |x|\right) \Bigg|_2^3 \doteq 12,3$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Naprej

Reši, saj znaš!

Oglej si slike (slika se poveča, če se z miško postaviš nanjo), izberi pravilen odgovor in izračunaj ploščine osenčenih likov.

4. naloga

Lik na sliki, osenčen z rumeno barvo, omejujeta parabola $y=x^2–4x$ ter premica $y=x$ .

Ploščino z rumeno osenčenega lika izračunamo kot:

$S = \int_{0}^4 (x-(x^2 - 4x))dx$

$S = \int_{0}^5 (x-(x^2 - 4x))dx$

$S = \int_{0}^5 (x^2 - 4x -x)dx$

Namig

Ploščina z rumeno osenčenega lika na sliki je enaka (Rezultat zapiši zaokrožen na eno decimalko natančno, z decimalno vejico)

Preveri

Ni res. Integracijski meji nista pravi.

Tako je.

Nimaš prav. Parabola na integracijskem intervalu leži pod premico.

Namig

Da bi določil integracijski meji, izračunaj najprej abscisi presečišč parabole in premice.

Rešitev

$S= \int_{0}^5 (x - (x^2 - 4x))dx = \int_{0}^5 (5x - x^2)dx = \left( \frac{5}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3 \right) \Bigg|_0^5 = \frac{125}{2} -\frac{125}{3} \doteq 20,8$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

1. naloga
Izračunaj ploščino lika med grafom funkcije $f(x) =\frac{2}{x^3}$ in abscisno osjo na intervalu $[1, 2]$ .

$S =$

Preveri

Rešitev

$S=\int_1^2 \frac{2}{x^3}dx = \frac{3}{4}$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

2. naloga
Dana je funkcija $f(x) = −3 \cos(x − \frac{\pi }{4}$ .

Izračunaj ploščino lika med grafom funkcije $f$ in abscisno osjo na intervalu med dvema sosednjima ničlama.

$S=$

Preveri

Rešitev

$S=- \int_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} (-3 \cos (xx - \frac{\pi}{4}))dx = 6$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

3. naloga

Dani sta paraboli $y = x^2− 1$ in $y = 3x^2 − 3$ . Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta. (Rezultate vpiši v obliki decimalnih števil. Zaokroži jih na 3 decimalna mesta.)

Namig

Integracijski meji sta ravno abcisi presečišč obeh parabol:

$x_1=$
$x_2=$

Preveri

$S=$

Preveri

Rešitev

$S=- \int_{-1}^{1} (x^2 - 1 - (3x^2 - 3))dx = \frac{8}{3}$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

4. naloga
Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta paraboli $y =\frac{5}{9} (x + 2)^2 − 2$ in $y =\frac{1}{3}(x + 2)^2$ .

Namig

Integracijski meji sta ravno abcisi presečišč obeh parabol:

$x_1=$
$x_2=$

Preveri

$S=$

Preveri

Rešitev

$S= \int_{-5}^{1} (\frac{1}{3}(x+2)^2 - (\frac{5}{9}(x + 2)^2 -2))dx = 8$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

5. naloga
Izračunaj ploščino lika, ki ga graf funkcije $f(x) = (x − 2)^3 − 1$ oklepa s koordinatnima osema.

$S =$

Preveri

Rešitev

$S= - \int_{0}^{3} ((x − 2)^3 − 1)dx = 6,75$

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Naprej

Dodatne naloge

6. naloga
Pokaži, da graf funkcije $f(x) = e^x − e$ skupaj s koordinatnima osema omejuje lik s ploščino $1$ .

Primer dokaza

Presečišče grafa funkcije za abcisno osjo je pri x = 1.

$S= - \int_0^1 (e^x -e)dx = - (e^x - e)\Bigg|_0^1 = -(e^1 - e - (e^0 - 0)) = e^0 = 1$

Pravilno

Zdaj ko poznaš integracijske meje lahko rešiš 3. nalogo.

Narobe

Poskusi ponovno.

Rešitev

$x_1 = -1$
$x_2 = 1$

Pravilno

Zdaj ko poznaš integracijske meje lahko rešiš 4. nalogo.

Narobe

Poskusi ponovno.

Rešitev

$x_1 = 1$
$x_2 = -5$

Ploščine krivočrtnih likov

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Ploščine krivočrtnih likov

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Slike

Integracijski meji sta abcisi presečišč krivulj

Namig

Rešitev

Narobe

Pravilno

Namig

Rešitev

Narobe

Pravilno

Namig

Rešitev

Narobe

Pravilno

Namig

Rešitev

Narobe

Pravilno

Rešitev

Narobe

Pravilno

Rešitev

Narobe

Pravilno

Rešitev

Narobe

Pravilno

Rešitev

Narobe

Pravilno

Rešitev

Narobe

Pravilno

Pravilno

Narobe

Rešitev

Pravilno

Narobe

Rešitev