Spomnimo se gibanja pri poševnem metu: tir gibanja je parabola (glej spodnjo sliko). Vprašajmo se, na katerem delu poti bo gibajoče telo letelo po zraku in kolikšno razdaljo bo preletelo. Za to potrebujemo začetno lego in končno lego , metno razdaljo pa lahko potem izračunamo kot razliko . Če vpeljemo ustrezni koordinatni sistem in določimo enačbo parabole, lahko z reševanjem kvadratne neenačbe določimo interval , na katerem bo parabola nad metno ravnino. (Nalogo bi lahko seveda rešili tudi kako drugače.)

Tir gibanja pri poševnem metu je parabola.

Poglejmo si, kako se lotimo reševanja kvadratne neenačbe: prvi primer bomo začeli s sliko, da si bomo korake reševanja lažje predstavljali.

Parabola

Naloga: Določi intervale, kjer je kvadratna funkcija pozitivna, negativna ali pa enaka . Na zgornji sliki si oglej geometrijski pomen naloge.

Rešitev: V matematičnem jeziku po vrsti zapišimo to, kar iščemo oz. rešujemo: , in . Rešujemo torej kvadratni neenačbi in enačbo. Kvadratno enačbo bomo rešili kar med potjo, ko bomo reševali neenačbi. Rešimo najprej prvo neenačbo ; za rešitev neenačbe potrebujemo rešitve enačbe. Če se da, izraz na levi razstavimo, sicer poiščemo ničli po formuli:

, .

Sedaj si bomo pomagali s skico grafa naše funkcije , ki bo v resnici zgolj skica brez koordinatnega sistema, saj nas bo zanimala le oblika parabole in njena presečišča z abscisno osjo. Ker je v našem primeru vodilni koeficient negativen in ima funkcija dve realni ničli, bo skica parabole naslednja:

Mimogrede: smiselnost takšne skice lahko preveriš tudi na začetni sliki naše parabole.

Sedaj si pomagajmo s sliko in odčitajmo to, po čemer nas prva neenačba sprašuje − kje je funkcija pozitivna (t. j. kje leži njen graf nad abscisno osjo): iz slike vidimo (rdeča barva), da je to na odprtem intervalu od do . Rešitev zapišemo bodisi v obliki

bodisi

Ko rešujemo drugo neenačbo , je postopek identičen, le da se na koncu vprašamo, na katerem intervalu je funkcija negativna.

Iz slike odčitamo rešitev (modra barva), ki jo zapišemo bodisi kot

ali

bodisi kot

.

Na vprašanje, kje je enaka , pa smo že odgovorili: to sta ničli kvadratne funkcije.

Če sedaj povzamemo naše delo, ugotovimo naslednje:

Z naslednjima nalogama preveri svoje razumevanje pravkar razloženega postopka reševanja kvadratne neenačbe. Vsako nalogo najprej reši na papir, nato pa svojo rešitev preveri pod gumbom.

1. Naloga: Reši neenačbo .
   
   Rešitev
   
   
2. Naloga: Reši neenačbo .
   
   Rešitev
   
   

Rešitev kvadratne neenačbe je torej odvisna od ničel pripadajoče kvadratne funkcije in oblike parabole, ki jo določata in .

Ogledali si bomo možne rešitve kvadratnih neenačb in . Ob tem bomo obravnavali različne možnosti za in , pri čemer bo interval, ki bo rešitev neenačbe , označen z rdečo barvo (če seveda obstaja), interval, ki bo rešitev neenačbe , pa z modro barvo (če seveda obstaja).

1. Najprej obravnavajmo neenačbo :
   
   Poglej možnosti
   
   

2. Sedaj obravnavajmo še neenačbo :
   
   Poglej možnosti
   
   Za domačo nalogo premisli, kakšne bi bile rešitve v posameznih primerih, če bi v neenačbah namesto znaka --> ali pisali ali . O svojih ugotovitvah se pogovori s sošolci in profesorjem.
   
   

   

   

   Slika 1. a>0 in D>0

   

   Slika 2. a>0 in D<0

   

   Slika 3. a>0 in D=0

   

   Slika 4. a<0 in D>0

   

   Slika 5. a<0 in D<0

   

   Slika 6. a<0 in D=0

Naloga: Določi, kje leži parabola nad premico ali pa se je dotika. Obe tudi nariši v isti koordinatni sistem.

Rešitev: Kako bi v matematičnem jeziku zapisali pogoj, da parabola leži nad ali pa se dotika premice? Odgovor je:

.

Problem smo torej prevedli na reševanje neenačbe. Pa jo rešimo:

.

Rešitvi pripadajoče enačbe sta

, ,

skica pripadajoče parabole pa zaradi pozitivnega vodilnega koeficienta takšna:

Parabola leži nad premico ali pa se je dotika za

.

Spodaj sta prikazani sliki premice in parabole, ob katerih lahko grafično razbereš odgovor na zastavljeno vprašanje in ugotoviš njegovo skladnost z izračunano rešitvijo:

Parabola (rdeča) in premica (zelena)

Naloga: Določi realno število tako, da enačba ne bo imela realnih rešitev.

Rešitev: Kvadratna enačba nima realnih rešitev natanko tedaj, ko je njena diskriminanta negativna. Določimo diskriminanto:

.

Upoštevamo še pogoj in rešujemo neenačbo

.

Rešitvi enačbe sta

, .

Skica pripadajoče parabole je zaradi negativnega vodilnega koeficenta naslednja:

Neenačba ima torej rešitev

in natanko pri teh pogojih naša začetna enačba ne bo imela realnih rešitev.

Sistem kvadratnih neenačb tvorijo dve ali več kvadratnih neenačb. Sistem rešujemo tako, da najprej rešimo vsako neenačbo posebej, nato pa poiščemo skupno rešitev (presek vseh posameznih rešitev).

Reševanje sistema si bomo ogledali na primeru.

Reši sistem kvadratnih neenačb:

,

.

Najprej rešimo prvo neenačbo:

,

Skica pripadajoče parabole je zaradi pozitivnega vodilnega koeficienta naslednja:

Iz skice vidimo, da prvi neenačbi ustrezajo

.

Rešimo še drugo neenačbo:

Skica pripadajoče parabole je zaradi negativnega vodilnega koeficienta takšna:

Iz skice vidimo, da drugi neenačbi ustreza samo točka .

Ker iščemo interval, ki bo ustrezal obema neenačbama hkrati, moramo določiti presek obeh rešitev:

Iz slike vidimo, da sta obe množici rešitev disjunktni, torej je njun presek prazen. Zato izbrani sistem kvadratnih neenačb nima rešitve.

Preizkusi svoje znanje z naslednjimi nalogami:

1. Reši neenačbo .
   
   Rešitev najdeš tukaj
   
   
2. Reši neenačbo .
   
   Odgovor
   
   
3. Reši neenačbo .
   
   Preveri svojo rešitev
   
   
4. Reši sistem neenačb: in .
   
   Odgovor je tukaj
   
   
5. Za katere vrednosti parametra ima kvadratna enačba natanko dve realni rešitvi, eno (dvojno) realno rešitev, oziroma nima realnih rešitev?
   
   Rešitev lahko najdeš tukaj
   
   

Katera izmed spodnji oblik predstavlja kvadratno enačbo:

Katera od spodnjih kvadratnih enačb ima negativno diskriminanto?

Pri katerih pogojih kvadratna enačba ne bo imela dveh različnih realnih rešitev:

Parabola je konveksna (oblika črke U), če je:

Če je , je na paraboli teme:

Če je diskriminanta kvadratne funkcije enaka , potem:

1. Reši neenačbo:
   
   

   1. 
      
      Rešitev
      
      
   2. 
      
      Rešitev
      
      
   3. 
      
      Rešitev
      
      
   4. 
      
      Rešitev
      
      
2. Reši sistem neenačb: in
   
   Rešitev
   
   

1. Za katere realne parametre k druˇžina parabol ne seka abscisne osi?
   
   Rešitev
   
   
2. Določi števili in tako, da bo parabola na intervalu ležala nad premico . Premico in parabolo tudi nariši v isti koordinatni sistem. (Namig: Zapiši ustrezno neenačbo in jo uredi, nato pa premisli o pomenu krajišč danega intervala za dobljeno neenačbo.)
   
   Rešitev