V tem gradivu je s pomočjo orodij Mathematica in Geogebra rešenih nekaj matematičnih problemov. Viri nalog so maturitetne pole ter izpiti iz matematične fakultete. Pri vsakem problemu je predstavljeno matematično ozadje problema, ideja rešitve, sam postopek reševanja, slike ter filmčke, ki prikazujejo reševanje.

VIR: 1. naloga na 2. izpitu iz Analize 1, smer: Finančna matematika, 15. 6. 2012

BESEDILO NALOGE: Funkcija je podana s predpisom . Določi definicijsko območje funkcije , njene ničle, lokalne ekstreme, intervale naraščanja in padanja, limite na robu definicijskega območja ter skiciraj njen graf.

MATEMATIČNO OZADJE PROBLEMA: Poznati moramo racionalne funkcije - kaj potrebujemo, da narišemo lep graf in kako se taka funkcija obnaša. Ker nalogo rešujemo s programom Mathematica, moramo poznati tudi ukaze, ki jih potrebujemo.

Najprej definiramo dano funkcijo. Za lažjo predstavo, jo najprej z ukazom Plot narišemo v mejah . Preverimo, kje lahko pri predpisu funkcije pride do problemov: ker mora biti število pod korenom pozitivno, je x >= 2. Tudi iz grafa lahko sklepamo, da funkcija navzgor ni omejena. Torej je definicijsko območje funkcije .

Iz funkcije in tudi iz grafa razberemo ničle ter pol. Kadar enačimo števec z 0, vidimo, da sta ničli pri x=-2 in x=0; če pa z 0 enačimo imenovalec, pa vidimo, da je pol funkcije pri x=1. V Mathematici za to uporabimo ukaz Solve.

Graf funkcije f

Lokalne ekstreme določimo tako, da najprej poiščeme kandidate. To so ničle odvoda (uporabimo ukaza D in Solve) in sicer x=-1 in x=4. Sedaj moramo izračunati še vrednosti funkcije v teh točkah. Vidimo, da funkcija v x=-1 doseže lokalni maksimum, v x=4 pa lokalni minimum. Vrsto ekstrema lahko izberemo kar iz grafa funkcije.

Lokalni ekstremi določajo tudi meje intervalov naraščanja in padanja. Tudi te podatke razberemo iz grafa: funkcija narašča na intervalih [-2, -1] U [4, [Infinity]) in pada na [-1, 4] \ {1}.

Za obnašanje funkcije na robovih definicijskega območja, izračunamo limiti funkcije, kadar gre x proti -2 in proti [Infinity].

VIR: Zvonka Alt, Drago Benko, mag. Ivan Drnovšek in drugi: MATEMATIKA. Zbirka maturitetnih nalog z rešitvami 1995-2002. Ljubljana, Državni izpitni center, 2003. Stran 182, naloga 47.

BESEDILO NALOGE: Premici in se sekata v točki N.
a) Izračunajte ploščino trikotnika OMN, ki ga oklepata premici z osjo x.
b) Zapišite enačbo temu trikotniku očrtane krožnice. Koliko meri njen polmer?
c) Trikotniku OMN včrtamo pravokotnik ABCD. Stranica AB leži na osi x. Določite koordinati točke A, tako da bo ploščina pravokotnika največja.

MATEMATIČNO OZADJE PROBLEMA: Za reševanje te naloge moramo poznati osnove geometrije. Nalogo bomo rešili s pomočjo orodja GeoGebra. Najprej definiramo obe premici ter njuno presečišče preimenujemo v N.

a)
Uporabimo orodje za presečišče dveh objektov in označimo točki M in O - presečišči premic z x osjo. Sedaj označimo trikotnik OMN in dobimo ploščino lika, ki je enaka 24.

b)
Če bomo na risalni površini ustvarili trikotniku očrtano krožnico, se bo njena enačba izpisala v algebrskem oknu. Središče krožnice je v presečišču simetral daljic, zato jih s pomočjo ukaza za simetralo narišemo ter označimo njihovo presečišče. Sedaj imamo vse potrebno za krožnico - središče in eno izmed oglišč trikotnika. Ko jo narišemo, vidimo njeno enačbo, ki je enaka: . Vemo, da je enačba za krožnico , kjer je (p, q) premik krožnice in r polmer. Zato je polmer naše krožnice enak 20^(1/2).

c)

VIR: Zvonka Alt, Drago Benko, mag. Ivan Drnovšek in drugi: MATEMATIKA. Zbirka maturitetnih nalog z rešitvami 1995-2002. Ljubljana, Državni izpitni center, 2003. Stran 182, naloga 41.

BESEDILO NALOGE: Dana je funkcija
a) Določite asimptoto grafa, presečišče grafa s koordinatnima osema in narišite graf funkcije.
b) Natančno izračunajte kot , pod katerim graf funkcije seka ordinatno os. Na stotinko stopinje natančno izračunajte kot , pod katerim graf funkcije seka abscisno os.
c) Natančno izračunajte ploščino območja med grafom funkcije in koordinatnima osema. Nato rezultat zaokrožite na 4 mesta.

MATEMATIČNO OZADJE PROBLEMA:

a)


b)


c)