Uvod
Vse premice, ki predstavljajo graf kakšne linearne funkcije, lahko zapišemo v obliki . Toda, ali je vsaka premica v koordinatnem sistemu graf kakšne linearne funkcije?
Nariši na papir v koordinatnem sistemu premice, ki potekajo skozi pare točk, in razmisli, ali vsaka predstavlja kakšno linearno funkcijo.
Zapiši enačbe vseh štirih premic.
Odlično!
Odgovori so napačni.
Eksplicitna oblika
Vaja
Poišči enačbo premice, ki poteka skozi točki in . Nalogo najprej reši računsko, nato pa rezultat preveri še s pomočjo spodnje slike tako, da premakneš točko na pravo mesto.
Implicitna oblika
S pomočjo zgornje slike lahko tudi malo raziskuješ, saj lahko prestaviš točko , kamor hočeš, in opazuješ spreminjanje enačbe. Poskusi jo premakniti tako, da bo ležala natančno nad . Kaj se zgodi s smernim koeficientom premice?
Ker je z prepovedano deliti, smo ostali brez njega in tudi brez eksplicitne oblike enačbe. Edini način, da zapišemo enačbo te premice, je oz. .
Da bi lahko v enotni obliki zapisali enačbe vseh premic, torej potrebujemo novo obliko enačbe.
Vaja
Poišči enačbo premice, ki poteka skozi točki in . Njeno enačbo zapiši najprej v eksplicitni in nato še v implicitni obliki.
Eksplicitna oblika je .
Implicitna oblika je .
Odlično!
Odgovora sta napačna.
Eksplicitna oblika je .
To preoblikujemo v implicitno obliko tako, da najprej odpravimo vse ulomke (v našem primeru pomnožimo enačbo s ), nato pa enačbo preoblikujemo tako, da jo enačimo z 0: .
Implicitna oblika seveda ni natanko določena, saj lahko enačbo pomnožimo s poljubnim številom. Navada je, da se znebimo ulomkov in začnemo s pozitivnim vodilnim koeficientom.
Odgovora sta napačna.
Vaja
Izračunaj premici začetno vrednost in ničlo in nato na aktivni sliki postavi točki (začetna vrednost) in (ničla) na ustrezno mesto v koordinatnem sistemu. Ko bosta obe točki na pravem mestu, boš dobil na sliki sporočilo in navodila za risanje premice.
Poskusi z vrednostma
Odsekovna oblika
Enačbe nekaterih premic lahko zapišemo še v tretji obliki.
Odsekovna oz. segmentna oblika enačbe se glasi
Razmisli
Zakaj je ta oblika koristna?
Vstavi najprej v enačbo . Tako izračunaš, kje premica seka os (začetno vrednost). Nato pa vstavi še . Dobil boš ničlo oz. podatek, kje premica seka os .
Zapiši enačbo premice, ki je na zgornji sliki najprej v odsekovni obliki in nato še v ostalih dveh.
Odsekovna oblika je .
To preoblikujemo v eksplicitno obliko tako, da izrazimo spremenljivko in v našem primeru dobimo .
Implicitno obliko dobimo s preoblikovanjem enačbe tako, da na eni strani nastopa število : .
Odlično!
Odgovori so ponovno napačni.
Odsekovna oblika je .
To preoblikujemo v eksplicitno obliko tako, da izrazimo spremenljivko in v našem primeru dobimo .
Implicitno obliko dobimo s preoblikovanjem enačbe tako, da na eni strani nastopa število : .
Minus v odsekovni obliki lahko postavimo tudi pred ulomkovo črto: .
Nekje si se zmotil.
Razmisli
Katere premice nimajo odsekovne oblike?
Družine premic
Spoznali smo že dve družini premic. Snop premic tvorijo vzporedne premice (imajo isti smerni koeficient), šop pa tvorijo vse premice, ki potekajo skozi isto točko.
Obstajajo tudi drugačne družine, ki jih povezuje kakšna skupna lastnost–ponavadi oblika enačbe.
Družino, recimo, tvorijo premice, ki imajo enačbo . Za vsako vrednost števila dobimo drugačno premico.
Zapiši premice iz zgornje družine za , , , in jih nariši v isti koordinatni sistem.
Premice lahko tudi "narišeš" v spodnjo aktivno sliko. Klikni v okence za napisom vnos in zapiši enačbo (npr. ), vnos vsake premice pa potrdi s pritiskom na enter.
Preveri narisane premice |
Vaja
Dana je družina premic . K vsaki od spodnjih zahtev poišči tak , da bo premica ustrezala pogoju in ga vpiši v ustrezno mesto v tabelo. Ulomke piši s poševno črto, ne uporabljaj presledkov.
Določi tako, da bo premica
| vzporedna osi | a= ; |
| imela začetno vrednost | a= ; |
| sekala os pri | a= ; |
| vzporedna premici | a= ; |
| vzporedna premici | a= . |
| Rezultate lahko preveriš tudi z aktivno sliko (spreminjaj vrednost tako, da premikaš točko po daljici levo in desno). Če želiš preveriti vzporednost, lahko v polje vnos vpišeš tudi enačbo premice, ki ji mora biti iskana premica vzporedna. |
Odlično!
Nekje si se zmotil.
Rešitev:
tak, da bo premica
| vzporedna osi | ; |
| imela začetno vrednost | ; |
| sekala os pri | ; |
| vzporedna premici | ; |
| vzporedna premici | . |
Nekje si se zmotil.
Vaja
Slika je po obliki in delovanju enaka prejšnji, pomagala pa ti bo pri reševanju naslednjega testa. Seveda pa je prav, da naloge najprej rešiš računsko in rešitve s sliko samo preveriš. |
Dana je družina premic .
Določi za vsakega od primerov tako, da bo premica
| vzporedna osi | m= ; |
| vzporedna osi | m= ; |
| vzporedna premici | m= ; |
| vzporedna premici | m= ; |
| potekala skozi točko | m= ; |
| imela začetno vrednost | m= . |
Odlično!
Odgovori so zopet napačni.
tak, da je premica
| vzporedna osi | ; |
| vzporedna osi | ; |
| vzporedna premici | ; |
| vzporedna premici | ; |
| potekala skozi točko | ; |
| imela začetno vrednost | . |
Nekje si se zmotil.
Grafi z absolutnimi vrednostmi
Na papir nariši graf y=|2x–3|.
Preveri svoj graf na spodnji sliki. Če v spodnji vrstici klikneš na gumb desno od oznake , se nariše najprej graf , ob naslednjem kliku pa še končni graf.
Če je celoten izraz med absolutnimi oklepaji, se del grafa, ki leži na spodnji polravnini (negativni ipsiloni), prezrcali preko osi na zgornjo polravnino.
Grafi z absolutnimi vrednostmi
Nariši graf .
Tudi tu lahko animiraš risanje z istim gumbom kot prej.
Kadar je samo spremenljivka v absolutnem oklepaju, se graf pri negativnih x obnaša enako kot pri pozitivnih. Torej moramo del, ki je na desni polravnini, prezrcaliti še na levo polravnino.
Grafi z absolutnimi vrednostmi
Nariši še graf .
Tokrat bo animacija potekala v treh korakih. Najprej se izriše graf , nato in končno . Seveda pa poskusi najprej risati samostojno.
Grafi z absolutnimi vrednostmi
Zadnjo nalogo reši popolnoma samostojno in na koncu preveri rešitev pod gumbom.
Nariši torej graf .
Dodatne naloge - 1
Napiši enačbe premic še v ostalih dveh oblikah.
| eksplicitna oblika | implicitna oblika | odsekovna oblika |
| ni mogoče | ||
| ni mogoče | ||
| ni mogoče | ||
| ni mogoče |
Odlično!
Nekje si se zmotil.
Dodatne naloge - 2
Zapiši enačbo premice, ki seka os v , os pa v . Zapiši jo v vseh treh oblikah.
Eksplicitna oblika:
Implicitna oblika:
Odsekovna oblika:
Odlično!
Nekje si se zmotil.
Dodatne naloge - 3
Premici z enačbo poišči vzporednico skozi točko in jo zapiši v eksplicitni obliki.
Eksplicitna oblika vzporednice:
Odlično!
Odgovor je napačen.
Dodatne naloge - 4
V družini premic določi tako, da bo premica
| vzporedna osi , | |
| vzporedna premici | |
| potekala skozi koordinatno izhodišče | |
| potekala skozi točko |
Odlično!
Odgovori so napačni.
Rešitev:
V družini premic je tak, da je premica
| vzporedna osi , | |
| vzporedna premici | |
| potekala skozi koordinatno izhodišče | |
| potekala skozi točko |
Nekje si se zmotil.
Dodatne naloge - 5
