Zlati rez in zlato število
Izhodišče našega razmišljanja bo geometrijski problem, ki so si ga zastavili že Grki v Antiki:
|
Na daljici določimo lego točke tako, da bo recimo in bo razmerje med dolžino celotne daljice in dolžino njenega daljšega dela enako razmerju dolžin daljšega in krajšega dela daljice:
Zaradi krajšega zapisa označimo in ; potem velja: in
Izraz lahko preoblikujemo tako, da odpravimo ulomek ( in sta pozitivni števili):
Zlati rez in zlato število
Dobili smo enačbo, ki je kvadratna enačba po obeh neznankah, in , mi pa jo bomo rešili kot kvadratno enačbo po neznanki :
Ker je , je in dobimo:
Pogoj nam da le eno rešitev (premisli sam), in sicer:
Od tod dobimo razmerje
Zlati rez in zlato število
To število ima v matematiki posebno oznako in ime - imenujemo ga število zlatega reza ali zlato število (grška črka "fi"):
kar je približno ( je seveda iracionano število, zato ima neskončen neperiodičen decimalni zapis).
|
Razmerje zlatega reza so upoštevali npr. pri gradnji Partenona na Akropoli (Atene). V njem je bil visok kip boginje Atene iz zlata in slonovine.
Ljudje so že zgodaj ugotovili, da so človeškemu očesu najbolj všečna razmerja, ki so blizu razmerja zlatega reza. Tako so zlati rez upoštevali pri gradnji nekaterih svetišč, v kiparstvu in slikarstvu, zadnji čas pa zlato število odkrivamo tudi pri pojavih v naravi. Več o zlatem rezu v naravi in umetnosti lahko najdeš na svetovnem spletu (na primer na strani http://goldennumber.net/).
Nekaj nalog k zlatemu številu - Naloga 1
Enačbo rešimo po :
Ker je , je . Poleg tega je , zato dobimo:
Razmerje dolžin krajšega in daljšega dela daljice je enako obratni vrednosti zlatega števila (preveri sam s krajšim računom) in nekateri avtorji označujejo to število kot število zlatega reza.
Na podlagi zadnje izpeljave lahko razmerje zlatega reza opišemo tudi kot razmerje, pri katerem dolžina krajšega dela daljice predstavlja približno % dolžine daljšega dela daljice.
Pri mnogih ljudeh predstavlja razdalja od začetka dlani do konice prstov približno % razdalje od komolca do začetka dlani. Glej sliko na koncu nalog.
Nekaj nalog k zlatemu številu - Naloga 2
Izkaže se, da se členi danega zaporedja kvocientov bližajo (konvergirajo) k zlatemu številu , obratne vrednosti teh ulomkov pa k številu .
Filotaksa je v ožjem smislu takšna razporeditev listov na rastlini, da je kvocient med številom zasukov za in številom listov, ko gremo od poljubnega lista na steblu navzgor do prvega naslednjega lista z enako navpično prekrivajočo lego, vedno ena od obratnih vrednosti ulomkov iz prejšnje naloge (npr. ali pa , ipd.). Torej tudi pri spiralni razvrstitvi listov na steblu srečamo Fibonaccijevo zaporedje (in posredno povezavo s številom ).
Nekaj nalog k zlatemu številu - Naloga 3
Zahtevnejše − potence števila : V izpeljavi števila smo videli, da le-to zadošča kvadratni enačbi , torej je . To lastnost bomo uporabili pri izpeljavi potenc števila :
Na podoben način izpelji Kaj opaziš?
Ugotovitev je skrita tukaj
Roka in zlati rez
Pri mnogih ljudeh predstavlja razdalja med rdečo in zeleno črto približno % razdalje med zeleno in modro črto. Seveda pa so v naravi tudi odstopanja. Takšna idealna (idealizirana) razmerja pa so uporabljali umetniki v slikarstvu in kiparstvu.
Če želiš sedaj nadaljevati z manj zahtevnimi matematičnimi zgledi uporabe kvadratne funkcije, nadaljuj s poglavjem 3. Nazaj v naročje matematike, sicer pa si z naslednjim poglavjem vabljen na nekoliko izzivalnejši planinski vzpon.
Vsaka potenca števila se izraža kot linearna kombinacija števila in , pri čemer sta koeficienta linearne kombinacije zaporedna člena Fibonaccijevega zaporedja.
Sprehod v fiziko - za radovedne - Zgled 1
Pri navpičnem metu z začetno metno hitrostjo lahko opišemo gibanje telesa z naslednjimi funkcijami:
Med temi funkcijami je samo funkcija za višino telesa ob času kvadratna funkcija (kaj sta ostali dve funkciji?). Največjo doseženo višino telesa lahko izračunamo iz tretje enačbe: v trenutku največje višine je namreč trenutna hitost telesa enaka () in iz te enačbe dobimo največjo doseženo višino
Čas vzpenjanja telesa do te najvišje točke dobimo iz prve enačbe, če upoštevamo, da je tedaj :
Potem pa je skupen čas, ko je telo v zraku, enak
Sprehod v fiziko - za radovedne - Zgled 1
Do podobne ugotovitve bi lahko prišli z uporabo druge enačbe - kvadratne funkcije: vprašajmo se, ob katerem času je trenutna višina telesa enaka . Najprej rešimo nalogo s premislekom: trenutna višina bo enaka na začetku (preden telo vržemo) in na koncu, ko telo pade na tla. Dobiti bi torej morali dve rešitvi: (na začetku) in (skupni čas, ko je telo v zraku). Poglejmo, kaj zmoremo še z našim znanjem o kvadratni funkciji. Ker iščemo čas, ob katerem bo višina enaka , v drugi enačbi nadomestimo z :
Dobili smo kvadratno enačbo po neznanki , ki jo znamo hitro rešiti:
od koder dobimo dve rešitvi:
, .
To sta tudi natanko tisti dve rešitvi, ki smo ju pričakovali.
Zgornje ugotovitve nam grafično prikazuje spodnja slika: s premikanjem drsnika za začetno hitrost (v metrih na sekundo) lahko opazuješ spreminjanje največje dosežene višine (v metrih) in skupnega časa (v sekundah), ko je telo v zraku.
Zgled 1: Začetna hitrost in navpični met
|
| Riš datoteka |
S pomočjo zgornje konstrukcije odgovori na naslednja vprašanja:
Ne, ker v našem modelu nismo upoštevali zračnega upora. Pri isti začetni hitrosti bi bila največja metna višina v naravi nižja od izračunane metne višine, prav tako pa bi bil krajši čas gibanja telesa v zraku. Izmerjeni podatki bi se najbolje skladali z izračunanimi, če bi poskus izvedli v vakuumu.
Zgled 2
Pri gibanju teles skozi tekočine (npr. zrak) prihaja do upora (npr. zračni upor). Pri gibanju telesa v turbulentnem toku tekočine lahko silo upora izračunamo po formuli
kjer je gostota tekočine, prečni presek telesa glede na smer gibanja, koeficient, ki je odvisen od oblike telesa in v hitrost telesa v tekočini. Tej zvezi rečemo tudi kvadratni zakon upora in vidimo, da imamo kvadratno funkcijo spremenljivke . Silo upora pri gibanju telesa v laminarnem toku tekočine pa izračunamo po formuli
kjer je koeficient viskoznosti tekočine, pa koeficient, ki je odvisen od oblike telesa. To imenujemo tudi linearni zakon upora. Drugo zvezo lahko uporabljamo pri majhnih hitrostih gibanja telesa, prvo pa pri večjih hitrostih.
Pri računanju sile zračnega upora avtomobila, pišemo kvadratni zakon upora (premisli, zakaj predpostavljamo turbulentno gibanje v zraku) v obliki
kjer je koeficient zračnega upora avtomobila, ki ga proizvajalec avtomobila določi v vetrovniku. Motor avtomobila mora premagovati tako silo zračnega upora, kot silo trenja, pa zaviralne sile, ki nastajajo pri mehanskih prenosih gibanja in še katero silo. Vendar je pri velikih hitrostih poglavitna sila, ki nasprotuje gibanju avtomobila, sila zračnega upora. Moč motorja, ki premaguje silo , izračunamo po formuli , torej je moč motorja, ki je potrebna za premagovanje zračnega upora, enaka
Zgled 2
Iz enačb za silo upora in moč vidimo, da sila upora narašča s kvadratom hitrosti, moč pa s kubom hitrosti. Sedaj si lahko zastavimo vprašanje: kolikokrat večja je sila zračnega upora pri hitrosti avtomobila kot pa pri hitrosti ? Kolikokrat več moči potrebuje avtomobil, da vozi s hitrostjo kot pa s hitrostjo ? Poglejmo:
Sila zračnega upora je pri hitrosti torej -krat večja od sile zračnega upora pri hitrosti , motor avtomobila pa potrebuje pri -krat večjo moč kot pri hitrosti . Verjetno nam je sedaj jasno, zakaj kazalec porabe goriva pri velikih hitrostih tako skokovito narašča, prav tako pa morajo zavore pri zaviranju pri tako velikih hitrostih premagati toliko večjo silo: zavorne poti pri velikih hitrostih so zato bistveno daljše od zavornih poti pri majhnih hitrostih in zveze med temi količinami očitno niso linearne! Če si boš vzel nekaj časa in brez strahu analiziral še kakšno kvadratno funkcijo v fiziki, boš presenečen ugotovil, kako lepo se (na šolskih fizikalnih modelih) skladajo fizikalni premisleki z rezultati matematične obdelave fizikalnih enačb!
Dve nalogi s fizikalnim ozadjem - Naloga 1
Nariši graf funkcije, ki prikazuje trenutno višino telesa v odvisnosti od časa pri navpičnem metu, če smo telo izstrelili z začetno hitrostjo (zračnega upora ne upoštevamo, za pa vzamemo ). Določi največjo metno višino in čas, ko je telo v zraku. Izračunane podatke primerjaj tudi z narisanim grafom (enote na koordinatnih oseh smiselno priredi podatkom). Kateri del parabole je smiselno opazovati?
Odgovore poišči tukaj
Smiselno je opazovati del parabole v . kvadrantu (za ).
Dve nalogi s fizikalnim ozadjem - Naloga 2
Na spletnih straneh poišči podatke o koeficientih zračnega upora in močeh motorjev (v ) nekaterih najbolj popularnih avtomobilov in jih primerjajte med seboj. Kateri serijski avtomobil posamezne avtomobilske znamke na domačem trgu ima najnižji koeficient zračnega upora? Za enega od njih izračunaj (ob poznavanju njegovih dimenzij) silo zračnega upora pri hitrosti . Vsaj kolikšno moč mora razviti motor tega avtomobila pri tej hitrosti? To moč primerjaj tudi s tovarniško močjo motorja avtomobila.
Opomba
|
V preteklosti so se morali oblikovalci avtomobilskih karoserij prilagajati konstrukcijskim in tehničnim rešitvam avtomobilskih inženirjev, z današnjim razvojem računalniške tehnologije pa so tudi oblike avtomobilov bolj všečne.
Odgovori na ta vprašanja so prepuščeni tvoji iznajdljivosti, saj se podatki s časom preveč spreminjajo.
Nazaj v naročje matematike
Najprej nariši ustrezno skico, označi stranici pravokotnika in zapiši formulo za ploščino pravokotnik. Ploščina je tako funkcija dveh spremenljivk in eno moramo izraziti z drugo (s funkcijami dveh spremenljivk v srednji šoli ne znamo računati): pomagamo si z razmerji iz podobnih trikotnikov v danem pravokotnem trikotniku. Ko izraženo spremenljivko vstavimo v enačbo za ploščino, ta postane kvadratna funkcija ene spremenljivke. Po preureditvi opazimo, da ima ta funkcija negativni vodilni koeficient, zato bo funkcija res imela največjo vrednost, in sicer v temenu, katerega absciso pa že znamo izračunati. S pomočjo abscise temena in izraza za drugo od obeh spremenljivk ugotovimo, da merita stranici pravokotnika in enot, ploščina tega največjega pravokotnika pa kvadratnih enot.
Spomnimo se formule za število diagonal v konveksnem -kotniku (ali pa si jo izpeljimo):
.
V našem primeru dobimo enačbo
Po preureditvi dobimo kvadratno enačbo z rešitvama in , med katerima pa je seveda smiselna le druga.
Če označimo , nam naloga da kvadratno enačbo . Ob upoštevanju prve zveze in po preureditvi enačbe dobimo , od koder poračunamo edino smiselno rešitev
enot.
Nekaj nalog o zlatem številu
Potek konstrukcije je prikazan na sliki.
Konstrukcija števila
Parabola ima teme in začetno vrednost ; glej sliko.
Parabola
Npr.
. člen je .
Dodatna naloga
Nariši graf funkcije, ki nam podaja zvezo med številom diagonal in številom oglišč v konveksnem −kotniku.
Rešitev
Kvadratna funkcija naravne spremenljivke se glasi , pri čemer je njen graf diskreten: v definicijskem območju so naravna števila, ki so večja ali enaka . Na sliki je prikazana še funkcijska vrednost za (trikotnik), ki je tam seveda .
Diskretna "parabola"
