Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Logaritemske enačbe in neenačbe

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Poišči ničlo funkcije

Prikazan je graf funkcije $f(x)= log_2 (x+b)+c$ . Z modrima drsnikoma spreminjaj vrednost parametrov $c$ in $b$ in opazuj, kaj se dogaja z ničlo – absciso presečišča grafa in abscisne osi (rdeča točka).


Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka

Izberi vrednost parametra $c= 0$ . S poskušanjem poišči nekaj vrednosti parametra $b$ , za katere lahko z grafa odčitaš točno vrednost ničle.
Če je parameter $c= 0$ , je ničla kar $x= -b +$ . Natančno jo lahko odčitamo pri celoštevilskih vrednostih parametra $b$ .

Ali bi znal za opisan primer ničlo določiti tudi računsko?
Rešitev je $x = -b+$ .

Kako pa bi ničlo izračunali, kadar $c \neq 0$ ?
Izhajamo iz enačbe $f(x)=$ . Dobimo $log_2(x+b)+c=$ . Enačbo preoblikujemo in upoštevamo definicijo logaritma.
$log_2 (x+b)= -c$ $x+b=2^{-c}$ $x=2 ^{-c}-b.$

Pri iskanju ničle funkcije $f(x)= log_2 (x+b)+c$ smo se srečali z enačbo $f(x)= log_a (x+b)+c= 0$ . Ker neznanka $x$ nastopa v logaritmirancu, je to primer logaritemske enačbe. Oglejmo si, kaj nam o rešitvi te enačbe pove graf funkcije $f(x)= log_a x$ .

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Izberi vrednost parametra $c= 0$ . S poskušanjem poišči nekaj vrednosti parametra $b$ , za katere lahko z grafa odčitaš točno vrednost ničle.
Če je parameter $c= 0$ , je ničla kar $x= -b + 1$ . Natančno jo lahko odčitamo pri celoštevilskih vrednostih parametra $b$ .

Ali bi znal za opisan primer ničlo določiti tudi računsko?
Pri iskanju ničle funkcije moramo rešiti enačbo $f(x)=0$ , v našem primeru torej $log_2 (x+b)=$ . Enačbo preoblikujemo $2^0 = x+b$ , in ker je 2^0=1, je rešitev $x = -b+1$ .

Kako pa bi ničlo izračunali, kadar $c \neq 0$ ?
Ravno tako izhajamo iz enačbe $f(x)= 0$ . Sedaj dobimo $log_2(x+b)+c= 0$ . Enačbo preoblikujemo in upoštevamo definicijo logaritma.
$log_2 (x+b)= -c$ $x+b=2ˇ{-c}$ $x=2 ^{-c}-b.$

Razišči, kako je z rešljivostjo enačbe

Na sliki lahko opazuješ, kje premica $y=c$ seka graf logaritemske funkcije $f(x)= log_a x$ . Abscisa presečišča je rešitev enačbe $log_a x = c$ .


Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka

Z rdečim drsnikom spreminjaj osnovo logaritemske funkcije, z zelenim pa premikaj premico. Opazuj, kaj se dogaja s presečiščem grafa logaritemske funkcije in premice.

Se graf logaritemske funkcije in vodoravnica vedno sekata? Koliko je presečišč?
Funkcija $f: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ s predpisom $f(x)= log_a x$ je bijektivna. Njen graf in premica $y=c$ se zaradi tega sekata neskončnokrat natanko dvakrat natanko enkrat.
Če postaviš premico zadosti nizko in izbereš dovolj majhno osnovo, prsečišča le "zbežijo" prsečišči le "zbežita" presečišče le "zbeži" s slike.

Postavi premico čim višje in izberi čim manjšo osnovo. Izpisana abscisa presečišča je $0$ . Je to možno?
Abscisa presečišča

je $0$ .

ne more biti $0$ , v resnici je abscisa skoraj $0$ .

Kdaj je enačba $log_a x = c$ rešljiva in koliko rešitev ima?

Enačba ni nikoli rešljiva.

Enačba je rešljiva le, ko je $c<1$ .

Enačba je vedno rešljiva in ima natanko eno rešitev: $x= a^c$ .

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Se graf logaritemske funkcije in vodoravnica vedno sekata? Koliko je presečišč?
Funkcija $f: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ s predpisom $f(x)= log_a x$ je bijektivna. Njen graf in premica $y=c$ se zaradi tega sekata natanko enkrat. Če postaviš premico zadosti nizko in izbereš dovolj majhno osnovo, presečišče le "zbeži" s slike.

Postavi premico čim višje in izberi čim manjšo osnovo. Izpisana abscisa presečišča je $0$ . Je to možno?
Abscisa presečišča ne more biti $0$ , ker logaritemska funkcija v $0$ ni definirana. Pri zelo majhnih osnovah je na intervalu logaritemska funkcija strmo padajoča. Krivulja se skoraj "prilepi" na ordinatno os. Računalnik ne zazna tako majhnega odmika in zaradi zaokroževanja izpiše absciso presečišča $0$ . V resnici je abscisa skoraj $0$ .

Kdaj je enačba $log_a x = c$ rešljiva in koliko rešitev ima?
Enačba je vedno rešljiva in ima natanko eno rešitev: $x= a^c$ .

Ponovitev definicije logaritma

Pri reševanju logaritemskih enačb bomo večkrat uporabili definicijo logaritma. Ponovimo jo.

Naj bo $a>0$ , $a \neq 1$ . Za poljuben $x \in \mathbb{R}^+$ velja natanko tedaj, ko je $a^y = x$ .

Večino logaritemskih enačb rešimo tako, da jih preoblikujemo do oblike, kjer lahko uporabimo definicijo logaritma. Za to preoblikovanje pa je treba poznati pravila za računanje z logaritmi. O tem govori posebno poglavje, tu jih le na kratko ponovimo.

Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov faktorjev:

$log_a (xy)= log_a x + log a_y.$

Potenco logaritmiramo tako, da zmnožimo eksponent z logaritmom osnove:

$log_a x^n = n \cdot log_a x.$

Logaritem kvocienta je razlika logaritmov deljenca in delitelja:

$log_a \big( \frac{x}{y} \big)= log_a x - log_a y.$

Za pozitivni števili $a$ in $b$ , različni od $1$ , in za pozitivno število $x$ velja:

$log_b x = \frac{log_a x}{log_a b}.$

Uporabi pravila in izračunaj oziroma poenostavi izraze

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

1. $log_3 6 + log_3 \big( \frac{9}{2} \big)= log_3 \big(6 \cdot \frac{9}{2} \big)= log_3 27 = 3$
2. $log_a 18 - log_a 6= log_a \big( \frac{18}{6} \big)= log_a 3$
3. $log_a \sqrt[3]{a^2}= log_a a^{\frac{2}{3}}= \frac{2}{3}$
4. $log_a b + log_{\big( \frac{1}{a} \big)}= log_a b + \frac{log_a b}{log_a \big( \frac{1}{a} \big)}= log_a b - log_a b = 0$

Uporabi pravilo za logaritmiranje produkta.

Uporabi pravilo za logaritem kvocienta.

Upoštevaj pravilo za logaritem potence.

Upoštevaj pravilo za prehod na novo osnovo.

Primeri logaritemskih enačb

Poskušaj samostojno rešiti naslednje enačbe. Ulomek zapiši kot npr. $1/2$ .
1. $log_3 x -2 = 0$
Rešitev je: $x=$ .

2. $log_x 4 = 3$

Rešitev je:

$x= \sqrt[3]{4}$ .

$x= \sqrt[4]{3}$ .

$x= 3^4$ .

3. $log{0,5}(2x+1)+3=0$

Rešitev je: $x=$ .

4. $log (2x+5) = 0$

Rešitev je: $x=$ .

5. $log_4 x + log_4 (x+3) = 1$

Rešitev je: $x=$ .

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
1. $log_3 x -2 = 0$
Enačbo preuredimo: $log_3 x = 2$ . Uporabimo definicijo logaritma in dobimo rešitev $x= 3^2 = 9$ .

2. $log_x 4 = 3$
Uporabimo definicijo logaritma in dobimo $x^3 = 4$ in $x= \sqrt[3]{4}$ .

3. $log{0,5}(2x+1)+3=0$
Najprej enačbo preuredimo:

$log_{0,5}(2x+1)=-3$

in upoštevamo definicijo logaritma

$2x+1= (0,5)^{-3}.$

Ker je $(0,5)^{-3}= 2^3= 8$ , je rešitev $x= \frac{7}{2}$ .

4. $log (2x+5) = 0$

Logaritem je $0$ , ko je logaritmiranec $1$ , torej $2x+5=1$ (kar dobimo tudi, če upoštevamo definicijo logaritma). Rešitev je $x=-2$ .

5. $log_4 x + log_4 (x+3) = 1$
Na levi uporabimo pravilo za logaritem produkta

$log_4 x + log_4 (x+3) = log_4 x(x+3).$

Zato je $log_4 x(x+3)= 1$ . Po definiciji logaritma je $x(x+3) = 4$ . Ko rešimo kvadratno enačbo, dobimo rešitvi $x_1=-4$ in $x_2 = 1$ . Če naredimo preizkus, ugotovimo, da prva rešitev ni prava, saj logaritmiranec ne sme biti negativen ali $0$ . Preizkus za $x_1=-4$ : $log_4 (-4) + log_4 (-4+3)$ . Ker je logaritmiranec prvega, pa tudi drugega člena negativen, rešitev ni prava. Preizkus za $x_2 = 1$ : $log_4 1 + log_4 (1+3)= 0+1=1$ . Rešitev je le $x=1$ .

Reševanje logaritemskih enačb

Med reševanjem logaritemskih enačb začetno enačbo enkrat ali večkrat preoblikujemo. Preoblikovana enačba ima lahko več rešitev kot začetna. Zato moramo pri reševanju logaritemskih enačb dobljene rešitve preveriti. Prave so, če ustrezajo začetni enačbi.

Zakaj je potreben preizkus?

Zakaj smo dobili rešitve, ki niso prave? Oglejmo si še enkrat prvi korak v reševanju 5. enačbe. Na desni smo uporabili pravilo za logaritmiranje produkta:

$log_4 x + log_4 (x+3)= log_4 x (x+3).$

Razmislimo, za katere vrednosti spremenljivke $x$ je definiran izraz na desni in za katere izraz na levi. Na desni morata biti oba logaritmiranca pozitivna, kar pomeni, da sme zavzeti spremenljivka $x$ le pozitivne vrednosti. Logaritmiranec na drugi strani je kvadraten izraz. Da ugotovimo, kje je pozitiven, moramo rešiti kvadratno neenačbo $x(x+3)>0$ . Hitro ugotovimo, da tej neenačbi ustrezajo vrednosti z intervalov $-\infty, -3$ in $0,\infty$ . Izraza torej nista definirana na enakih območjih, mi pa smo v nadaljevanju enega nadomestili z drugim. Rešitev $–4$ je za desni izraz sprejemljiva, levi pa za to vrednost ni definiran. Zaradi tega ta rešitev ni prava. Odvečne rešitve izločimo s preizkusom in se med reševanjem običajno ne oziramo na njihovo morebitno pojavitev.

Naloga

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
6. $log_{(3-4x)}(2x-1)= 2$
Najprej uporabimo definicijo logaritma in dobimo

$(3-4x)^2= 2x-1.$

Rešitvi te kvadratne enačbe sta $x_1=1$ in $x_2 = \frac{5}{8}$ . S preizkusom ugotovimo, da prva rešitev ni prava, saj dobimo negativno osnovo. Preizkus pove, da je prava druga rešitev.
Preizkus za $x_1=1$ : $log_{(3-4)}(2-1)= log_{-1}1$ . Dobili smo negativno osnovo.
Preizkus za $x_2 = \frac{5}{8}$ : $log_{\big(3- 4 \cdot \frac{5}{8} \big)}\big( 2\cdot \frac{5}{8}-1 \big) = log_{\frac{1}{2}}\big( \frac{1}{4} \big)= 2$ . Ta rešitev je prava.

7. $logx(logx-3)= 3logx-8$
Po uvedbi nove spremenljivke dobimo kvadratno enačbo:

$t(t-3)= 3t-8.$

Rešitvi te enačbe sta $t_1=4$ in $t_2 =2$ . Upoštevamo zvezo $logx= t$ in dobimo $x_1= 10000$ in $x_2 = 100$ . Obe rešitvi sta pravi.
Preizkus za $x_1= 10000$ : $log 10000(log10000-3)= 3log10000-8$ , $4(4-3)= 3\cdot 4-8$ , 4=4. Enakost drži.
Preizkus za $x_2 = 100$ : $log 100(log100-3)= 3log100-8$ , $2(2-3)= 3\cdot 2-8$ , -2=-2. Enakost drži.

8. $log_2 x - log \frac{1}{2}x^2= 1$
Ta enačba se od doslej predstavljenih razlikuje po tem, da v njej nastopajo logaritmi z različnimi osnovami. Najprej upoštevamo pravilo za logaritmiranje potence in preoblikujemo drugi člen na levi strani enačbe, nato pa spremenimo osnovo drugega logaritma na $2$ :

$log_2 x- 2\cdot log_{\frac{1}{2}} x = 1,$ $log_2 x- 2\cdot \frac{log_2 x}{log_2 \big( \frac{1}{2} \big)} = 1.$

Upoštevamo, da je $log_2 \big( \frac{1}{2} \big)= -1$ in dobimo $log_2 x + 2 \cdot log_2 x = 1$ . Namesto prehoda na novo osnovo bi lahko upoštevali, da je $log _{\frac{1}{a}}= -log_a x$ . Sedaj hitro dobimo rešitev:

$3log_2 x = 1$ $log_2 x = \frac{1}{3}$

in rešitev je $x= \sqrt[3]{2}$ .

S pozornim opazovanjem enačbe ugotovimo, da se logaritem oziroma spremenljivka ves čas pojavljata v isti zvezi, vedno kot $logx$ . Vpelji novo neznanko $logx=t$ .

Logaritemske neenačbe

Lotimo se še enostavnejših logaritemskih neenačb. Neenačbe oblike $log_a > c$ lahko rešujemo z grafom ali z razmislekom. Naslednji primer rešimo na oba načina.

$log_2 x > 2$

Enakovreden problem dobimo, če se vprašamo, za katere vrednosti spremenljivke $x$ leži graf funkcije $f(x)= log_2 x$ nad premico $y=2$ .

Narišimo torej graf funkcije $f(x)= log_2 x$ in poglejmo, kje leži nad premico $y=2$ .

Z grafa odčitamo rešitev, $x \in (4, \infty)$ . Če bi neenačbo reševali z razmislekom, bi upoštevali naraščanje funkcije $f(x)= log_2 x$ . Za naraščajočo funkcijo velja, da je $x_1 < x_2 \Leftrightarrow f(x_1)< f(x_2)$ . Če zapišemo desno stran neenačbe drugače, in sicer

$log_2 x>log_2 4,$

dobimo rešitev $x>4$ ali $x \in (4, \infty)$ .

Reši neenačbo

Na oba načina reši neenačbo

$log_{0,25}x +2< 0.$

Rešitev je $x$ < >

Pravilna grafična rešitev

Preveri

Pravilno

Bravo. Tvoj odgovor je pravilen. Res je rešitev $x>16$ oziroma $x \in (16, \infty)$ .

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Poskusi še enkrat.

Napačno

Tvoj odgovor je napačen. Preberi si rešitev.
Rešitev:
Neenačbo preuredimo:

$log_{0,25} x < 2$

oziroma

$log_{0,25} x < log_{0,25}16,$

nato pa upoštevamo, da je logaritemska funkcija z osnovo med $0$ in $1$ padajoča, kar pomeni $x_1 < x_2 \Leftrightarrow f(x_1)>f(x_2)$ . Rešitev je $x>16$ oziroma $x \in (16, \infty)$ .

Tudi z grafom dobimo enak rezultat.

Še drugačne neenačbe

Poskusimo še z neenačbo oblike $log_a x < log_b x$ . Če pogledamo na problem z grafične strani, se sprašujemo, za katere vrednosti spremenljivke $x$ leži graf funkcije $f(x)= log_a x$ pod grafom funkcije $g(x)= log_ b x$ . Spodaj sta prikazana grafa dveh logaritemskih funkcij z različnima osnovama $f(x)= log_a x$ (rdeča) in $g(x)= log_ b x$ (modra). Osnovi lahko spreminjaš z drsnikoma v enaki barvi, kot sta grafa.


Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka

Z zgornjim apletom odgovori na vprašanja.

Če je $a>b>1$ , je rešitev neenačbe $log_a x \geq log_b x$ .

Namig

$x \in [1, \infty)$

$\frac{21}{2}$

$x \leq 1$

$x \in (0,1]$

Če je $0<a<b<1$ , je rešitev neenačbe $log_a x > log_b x$ .

Namig

$x \in (0,1)$

$x \in (0,1]$

$x \in (1, \infty)$

$x \leq 1$

Če je $a>1$ in $0<b<1$ , je rešitev neenačbe $log_a x \leq log_b x$ .

Namig

$x \geq 1$

$x \in (0,1]$

$x \in (0, 1)$

$x \leq 1$

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Če je $a>b>1$ , je rešitev neenačbe $log_a x \geq log_b x$ je $x \in (0,1]$ .
Če je $0<a<b<1$ , je rešitev neenačbe $log_a x > log_b x$ je $x \in (1, \infty)$ .
Če je $a>1$ in $0<b<1$ , je rešitev neenačbe $log_a x \leq log_b x$ je $x \in (0,1]$ .

Izberi osnovi $a>b>1$ in na sliki odčitaj rešitev.

Izberi ustrezni osnovi in rešitev odčitaj s skice.

Izberi ustrezni osnovi in rešitev odčitaj s slike.

Naloga 1

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
a) $f(x) = log_3(2x − 1)$
$x=1$ .

b) $g(x) = log_{ \frac{3}{4}}(x + 3) − 1$
$x=-\frac{9}{4}$ .

c) $h(x) = 2 log_{0.5}(4x − 2) + 2$
$x=1$ .

d) $u(x) = ln x − e$
$x= e^e$ .

Naloga 2

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
a) $log(2x − 4) = 0$
$x=\frac{5}{2}$ .

b) $ln(x^2 − e) − 1 = 0$
$x= \pm \sqrt {2e}$ .

c) $log_5(x − 7) + log_5(x − 2) = log_5(x + 3) + log_5(x + 2)$
Ni rešitve.

d) $log(x + 3) − log x = 1 − log(x + 2)$
$x_1=3$ in $x_2= 2$ .

e) $2 log x = log(2 − x)$
$x=1$ .

f) $log^2 x + 3 log x = 40$
$x_1= 10^{-8}$ in $x_2= 10^{5}$ .

g) $log_{(x+3)}(10x + 5) = 2$
$x=2$ .

Naloga 3

Reši neenačbe.
a) $ln x \leq 0$
$x$

b) $2 log x − 4 > 0$
$x$

c) $log_5(x + 2) < 1$
$x$

d) $log_3 x − log_5 x < 0$
$x$

e) $log_{0,1} x \geq log x$
$x$ < ≤

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
a) $ln x \leq 0$
$0<x≤1$

b) $2 log x − 4 > 0$
$x > 100$

c) $log_5(x + 2) < 1$
$-2 < x ≤ 3$

d) $log_3 x − log_5 x < 0$
$0 < x<1$

e) $log_{0,1} x \geq log x$
$0<x≤1$

Naloga 4

Dana je funkcija $f(x) = 4 log_2(2x − 1) − 8$ . Pri vseh odgovorih zapiši ulomke kot npr. $1/2$
a) Izračunaj ničlo funkcije.
b) Izračunaj presečišče grafa funkcije in premice $y − 16 = 0$ .
c) Ugotovi, za katere vrednosti spremenljivke $x$ zavzame funkcija negativne vrednosti.
d) Izračunaj, za katere vrednosti spremenljivke $x$ leži graf funkcije nad premico $y = 8$ .

a) Ničla je: $x=$
b) Presečišče je: $T$ (, )
c) $<x<$
d) $x>$

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

a) Ničla je: $x= 5/2$
b) Presečišče je: $T(65/2,16)$
c) $1/2 <x< 5/2$
d) $x>17/2$

Logaritemske enačbe in neenačbe

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Logaritemske enačbe in neenačbe

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno