Logaritemska spirala ali polžek?

Narisati polžka ni težko, kako pa prepričati računalniški program za risanje funkcij, da nariše takšno spiralo? Kar neverjetno se zdi, a polžek je navit v obliki spirale, ki jo lahko opišemo z logaritemsko funkcijo. Oddaljenost $r$ točke na spirali od središča polžka je enaka

kjer je $\varphi$ kot, ki ga zveznica točke z izhodiščem oklepa z abscisno osjo, merjen v radianih. Obratno lahko kot $\varphi$ izrazimo z oddaljenostjo od izhodišča z izrazom

Od osnove $a$ je odvisno, kako na gosto se spirala ovija okrog izhodišča.

Kako torej narisati takšno spiralo? Narišemo poltrak z začetkom v koordinatnem izhodišču, ki oklepa s pozitivnim poltrakom abscisne osi kot $\varphi$. Na poltraku narišemo točko, ki je od koordinatnega izhodišča oddaljena za polmer $r = a^{\varphi}$. Spodnji aplet prikazuje zvezo med kotom $\varphi$ in položajem točke na poltraku. S točko lahko drsiš po spirali, vrednosti parametrov $r$ in $\varphi$ se sproti izpisujeta v spodnjem desnem kotu.

Odčitaj vrednosti $r$ in $\varphi$ v nekaj točkah in na podlagi tega ugotovi, kakšna je osnova $a$, da bo $\varphi= log_a r$. Razmisli, katero vrednost enega parametra je smiselno izbrati, da lahko na podlagi drugega ugotovimo osnovo.

Spodnji spirali lahko z drsnikom spreminjaš osnovo in opazuješ njen vpliv. Večja osnova pomeni počasnejše navijanje oziroma večji odmik med navoji.

Logaritemsko funkcijo srečamo večkrat tudi v finančni matematiki. Če želimo izračunati, koliko let moramo varčevati, da privarčujemo določeni znesek, se logaritmiranju ne moremo izogniti. Oglejmo si nekaj primerov.

Vsoti, ki jo naložimo na banko (ali pa si jo od banke sposodimo), rečemo glavnica, mi jo bomo običajno označili z $G_0$. Odstotek, s katerim banka obrestuje bančno vlogo (ali pa nam pripisuje obresti h kreditu) označujmo s $P$. Obrestovalni faktor je število

Če nam banka pove letne obresti, potem je znesek na računu po $n$ letih enak

Primer:
Na banko položimo $1000 €$ in pustimo vlogo obrestovati, dokler se njena vrednost ne podvoji. Koliko let moramo čakati, če banka vlogo obrestuje z $2,2 \%$ letno obrestno mero? Je rezultat odvisen od višine položenega zneska?

Vpiši številko oziroma izberi besedico (je/ni). Da se vloga podvoji, moramo pri $2,2 \%$ letni obrestni meri vlogo obrestovati let. Rezultat je ni odvisen od višine položenega zneska.

Na banki imejmo znesek $G$. Želimo, da nam banka od tega zneska $n$ let izplačuje določeni del - rento. To pomeni, da nam banka $n$ let izplačuje konec leta enake zneske, dokler ne izčrpa glavnice (ki se je vmes povečevala zaradi obresti in zmanjševala zaradi izplačanih zneskov). Če uporabimo enaki oznaki za obrestno mero in obrestovalni faktor, kot prej, se višina rente izračuna z obrazcem

Primer:

Koliko let lahko črpamo rento $500$ € iz zneska $5 580$ € pri $2,2 \%$ letni obrestni meri?

Rento $500$ € bi nam izplačevali let, . leto pa bi dobili izplačan malce nižji znesek.

V kemiji merimo kislost s količino $H_3 O^+$ ionov. Ker gre za velika števila, zaradi lažjega opisa koncentracijo logaritmirajo in ji zamenjajo predznak:

Nevtralne spojine, kot je na primer voda, imajo $pH$ enak $7$, kisle imajo koncentracijo ionov večjo, na primer $10^{-3}$ in je v tem primeru med $3$ in $7$. Bazične raztopine pa imajo zelo majhno koncentracijo ionov, na primer $10^{-9}$ in je med $7$ in $9$.

V naslednji tabeli je za občutek navedenih nekaj spojin in pripadajoče koncentracije $H_3 O^+$ ionov. Na podlagi navedene koncentracije $H_3 O^+$ ionov, določi $pH$ vrednost spojin. Rezultate vpisuj s številko.

Nekatere naravne pojave lahko opišemo z eksponentno funkcijo. Če želimo narisati graf tega pojava in je osnova relativno velika, je navaden koordinatni sistem neprimeren. Ordinate točk postanejo hitro zelo velike in v koordinatnem sistemu nam zmanjka prostora.

Na zgornji sliki je graf eksponentne funkcije $f(x)= 2^x$ narisan v običajen koordinatni sistem. Vidimo, da že pri abscisi $5$ ordinata naraste na tolikšno vrednost, da pripadajoče točke ni moč narisati. Če pa ordinate točk pred risanjem logaritmiramo, jih močno zmanjšamo.

Seveda moramo ustrezno označiti tudi ordinatno os. Enota pomeni desetkratno povečanje. Točka $(x,10)$ preide v točko $(x,1)$, točka $x,100$ pa v točko $(x,2)$. Če zgornji graf narišemo v tako prirejeni koordinatni sistem, dobimo naslednjo sliko.

V koordinatni sistem z logaritemsko lestvico na ordinatni osi brez težav narišemo točke z velikimi ordinatami. Logaritemsko lestvico bi lahko uporabili tudi na abscisni osi, ali pa na obeh oseh.

Na sliki so prikazani grafi funkcij $f(x)= e^x$, $g(x)=x^3$ in $g(x)= x$, vsi narisani v koordinatni sistem z logaritemskim merilom na ordinatni osi. Poskusi ugotoviti, kateri graf pripada kateri od funkcij.

V okvirčke vpiši ustrezne oznake grafov: A, B ali C.

Graf funkcije $f(x)=e^x$ je graf A B C , graf funkcije $g(x)=x^3$ je graf A B C in graf funkcije $h(x)=x$ je A B C .

Slika prikazuje tri kocke, prva ima rob dolžine $1$ enota, druga ima rob dolžine $2$ enoti, tretja ima rob dolžine $4$ enote ... Zamisli si, da bi nadaljavali z daljšanjem roba kocke tako, da bi bil rob nove kocke dvakratnik prejšnjega.
a) Izračunaj, katera kocka (po vrsti) v tem zaporedju bi imela rob dolžine $8192$ enot.
b) Ali bi imela katera od kock iz zaporedja stranico dolžine $32772$ enote?
c) Izračunaj, katera kocka (po vrsti) v tem zaporedju bi imela ploščino vrhnje ploskve enako $262144$ kvadratnih enot.

d) Izračunaj, katera kocka (po vrsti) v tem zaporedju bi imela površino $98304$ kvadratnih enot.
e) Izračunaj, katera kocka (po vrsti) v tem zaporedju bi imela volumen $262144$ kubičnih enot.

Pri reševanju ne pozabi upoštevati prve kocke.

a) Kocka na $n$-tem mestu v tem zaporedju ima rob dolžine $r(n)=$

enot. V tem zaporedju bi imela rob dolžine $8192$ enot . kocka.
b) Ne. Da.
c) To je kocka v zaporedju.
d) To je kocka v zaporedju.
e) To je kocka v zaporedju.

Na banko položiš znesek $G_0$, ki ga banka obrestuje z $2, 3\%$ letno obrestno mero.
V koliko letih bo tvoja vloga narasla na trikratnik svoje vrednosti? Kaj pa, če bi banka obrestovala z letno obrestno mero $3\%$?

Vloga preseže trikratnik svoje vrednosti pri $2,3 \%$ obrestni meri po letih obrestovanja, pri $3 \%$ letni obrestni meri pa po letih obrestovanja.

Palico dolgo $1$ m prelomimo na pol, nato pa na vsakem koraku vse dobljene dele spet prelomimo na pol in tako naprej. Izračunaj po koliko korakih (vključno s prvim) je dolžina dobljenih delčkov manj kot $1$ mm?

Po -ih korakih.