Linearna funkcija - teorija

Linearna funkcija - teorija

Avtor: Skupina NAUK

Učni cilji: Razumevanje predpisa linearne funkcije, risanje grafa ter uporaba linearne funkcije v praktičnih situacijah, pomen različnih oblik zapisa enačbe premice, reševanje linearnih enačb in neenačb ter reševanje sistema linearnih enačb.

Več o projektu...

Definicija linearne funkcije

Linearna funkcija je definirana s predpisom , kjer sta in realni števili. Število imenujemo smerni koeficient, število pa začetna vrednost linearne funkcije. Smerni koeficient funkcije določa strmino grafa funkcije. Graf linearne funkcije je premica.

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Geogebra datoteka

PREMISLITE

S premikanjem smernega koeficienta ugotovite za katere je linearna funkcija naraščajoča oz. padajoča.

Odgovor

Kaj nam pove začetna vrednost funkcije?

Odgovor

Smerni koeficient

Za je linearna funkcija naraščajoča, za je padajoča.

Začetna vrednost

Začetna vrednost določa presečišče grafa linearne funkcije z ordinatno osjo.

Oblike zapisa linearne funkcije

Linearno funkcijo lahko zapišemo v treh oblikah:

  • EKSPLICITNA OBLIKA:
    Enačbe premice v eksplicitni obliki ne moremo zapisati za premice, ki so vzporedne ordinatni osi.

  • IMPLICITNA OBLIKA:
    Implicitno obliko enačbe premice lahko zapišemo za vse premice.

  • ODSEKOVNA OBLIKA: .
    Presečišči z osema sta točki in .

PREMISLITE

Kdaj odsekovna oblika enačbe premice nima pomena?

Odgovor

Odsekovna oblika

Odsekovne oblike enačbe premice ne moremo zapisati za tiste premice, ki gredo skozi koordinatno izhodišče ali so vzporedne kateri izmed obeh osi.

Enačba premice skozi dve točki

Linearno funkcijo skozi dve točki in zapišemo tako, da najprej izračunamo smerni koeficient in nato uporabimo enačbo iz katere izrazimo :

Zgled

PREMISLITE

Kdaj sta premici z enačbama in vzporedni in kdaj pravokotni?

Odgovor

Kako bi izračunali kot med premicama?

Odgovor

Zgled: Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točki in , v eksplicitni, implicitni in odsekovni obliki.

Rešitev:
Iz danih dveh točk najprej izračunamo smerni koeficient :

Nato uporabimo enačbo iz katere izrazimo :



Tako smo dobili eksplicitno enačbo premice. Zapišimo enačbo premice v implicitni obliki:
Pri odsekovni obliki enačbe mora biti na desni strani enačbe vrednost 1, hkrati nam enačba pove, da premica seka koordinatni osi v točkah in :
Dobimo:

Vzporednost in pravokotnost

Premici z enačbama in sta vzporedni natanko takrat, ko sta njuna smerna koeficienta enaka, torej . Premici sta pravokotni natanko takrat, ko je produkt njunih smernih koeficientov enak -1, torej .

Kot med premicama

Kot med premicama lahko dobimo iz enačbe .

Graf linearne funkcije

Ničlo linearne funkcije določimo iz enačbe , kjer . Število je ničla linearne funkcije natanko takrat, ko je , torej . Premica torej seka abscisno os v točki .

Začetna vrednost določa presečišče grafa linearne funkcije z ordinatno osjo. Premica torej seka ordinatno os v točki . Premica je določena z dvema točkama, torej lahko njen graf že narišemo.

(premica.png)
0%
0%