Kvadratna funkcija je definirana s predpisom .
Realna števila in imenujemo koeficienti. Število , ki ni enako 0, imenujemo vodilni koeficient, število pa konstantni člen. Grafu kvadratne funkcije pravimo parabola.
Kvadratna funkcija - teorija
Kvadratna funkcija - teorija
Skupina NAUK
Zapis kvadratne funkcije, risanje grafov kvadratne funkcije, reševanje kvadratne enačbe in neenačbe, branje matematičnega besedila ter prevod v kvadratno enačbo
Definicija kvadratne funkcije
Koeficient a
Če sta in enaka nič, lahko funkcijo zapišemo kot . Tedaj leži za graf funkcije pod abscisno osjo, za pa nad abscisno osjo.
Koeficient c
Graf kvadratne funkcije se v smeri osi vzporedno premakne za . Če je , se funkcija premakne v navzgor, če je pa navzdol.
Koeficient je 0
Če je vodilni koeficient enak 0, je graf kar linearna funkcija. Preizkusite sami.
Oblike zapisa kvadratne funkcije
Kvadratno funkcijo lahko zapišemo v treh oblikah:
- SPLOŠNA OBLIKA
- TEMENSKA OBLIKA
, kjer je teme parabole v točki . - NIČELNA OBLIKA
, kjer sta in ničli kvadratne funkcije.
Presečišče parabole in njene simetrale imenujemo teme parabole , kjer sta
Funkcija v temenu doseže ekstremno vrednost. Če je , doseže funkcija v temenu najmanjšo vrednost oziroma minimum, če je pa največjo vrednost oziroma maksimum.
Teme
Če želimo kvadratno funkcijo s temenom v točki spremeniti tako, da bo imela teme v točki jo moramo premakniti najprej za vektor v vodoravni smeri ter za vektor v navpični smeri. Tako dobimo funkcijo , ki ima teme v točki .
|
Ničli kvadratne funkcije
V ničelni obliki kvadratno funkcijo zapišemo kot , zato tedaj, ko je enak ali , funkcija doseže vrednost 0. Povedano drugače, ter , zato pravimo, da sta in ničli funkcije.
Pretvorbe iz splošne oblike
Če pretvarjamo kvadratno funkcijo iz splošne v temensko obliko, si nam ni potrebno zapomniti obrazca za izračun koordinat temena na pamet, ampak jo lahko izpeljemo. Poglejmo, kako to storimo za funkcijo
- izpostavimo vodilni koeficient
- dopolnimo do popolnega kvadrata
- poenostavimo
V ničelno obliko pretvorimo kvadratno enačbo tako, da ugotovimo ničli s pomočjo reševanja kvadratne enačbe, kar si bomo pogledali v nadaljevanju.
Splošna oblika
Iz temenske ali ničelne oblike kvadratne funkcije dobimo splošno obliko kar s poenostavitvijo izraza. Na primer:
- iz temenske oblike: ,
- iz ničelne oblike: .
Graf kvadratne funkcije
Graf kvadratne funkcije narišemo tako, da:
- Poiščemo ničle funkcije , tako da rešimo enačbo .
- Izračunamo teme kvadratne funkcije, pri tem pa uporabimo znana obrazca za izračun temena .
- Izračunamo . V vrednosti, ki jo dobimo, funkcija seka ordinatno os.
- Če je vodilni koeficient pozitiven, je funkcija odprta navzgor, če pa je negativen, je funkcija odprta navzdol.
Graf funkcije
|
Načini izračuna temena
Če ne veste obrazca za izračun koordinat temena, si lahko pomagate na dva načina:
- Funkcijo pretvorite v temensko obliko, koordinati temena pa dobite iz temenske oblike enačbe kot .
Če ste pozabili postopek, se vrnite nazaj na razlago oblik zapisa kvadratne funkcije in ga ponovite.
Ponovi
- Upoštevate dejstvo, da je abscisa temena ravno aritmetična sredina ničel.
Zgled: Poiščimo teme kvadratne funkcije s pomočjo drugega postopka.
Funkcija ima ničli in , zato je abscisa temena enaka . Ordinata temena je tako .
Presečišče parabole in premice
Presečišče parabole in premice dobimo tako, da rešimo sistem dveh enačb. Tako dobimo eno enačbo, iz te enačbe pa koren/a. Z vstavljanjem korenov v eno izmed enačb izračunamo še drugo koordinato in tako dobimo presečišče/i.
Zgled: Poiščimo presečišča parabole in premice .
- Izenačimo enačbi parabole in premice ter dobimo .
- Rešimo enačbo .
- Diskriminanta je enaka .
- Rešitvi sta :
,
. - V enačbo premice (ali v enačbo parabole) vstavimo vrednosti in :
,
. - Presečišči sta tako ter .
Grafični prikaz rešitve
|
Presečišče dveh parabol
Presečišče dveh parabol dobimo tako, da rešimo sistem dveh enačb, s tem dobimo eno koordinato, drugo pa tako, da vstavimo koordinato v eno izmed parabol.
Zgled: Poiščimo presečišča parabol in .
- Izenačimo enačbi parabol .
- Rešimo enačbo .
- Diskriminanta je enaka .
- Rešitvi sta :
,
. - V eno od enačb parabol vstavimo vrednosti in :
,
. - Presečišči sta tako ter .
Grafični prikaz rešitve
|
