V prejšnji lekciji smo spoznali naravna in cela števila, kjer smo lahko seštevali, odštevali in množili. Kaj pa se zgodi, če želimo dve poljubni števili deliti?

Za malico je vodja kupil 3 hlebe kruha, ki jih mora razdeliti med 5 delavcev. Kolikšen delež kruha bo dobil vsak?
Vsak bo dobil hleba.

Množico celih števil moramo razširiti, ker se deljenje pogosto ne izide, zato vpeljemo racionalna števila oziroma ulomke. Imenovalec v ulomku nam pove, na koliko delov je razdeljena celota, števec pa število delov, ki jih vzamemo:

Število je celo, naravno in

Množica racionalnih števil je množica vseh okrajšanih ulomkov:

Ulomke lahko prikažemo na številski premici:

Enoto od 0 do 1 lahko razdelimo na 2 dela, dobimo polovico, na 4 dele, dobimo četrtino...

Ulomke pa lahko prikažemo tudi drugače:

Dva ulomka sta si enaka, če velja:

kjer so , , in cela števila ter in nista enaka 0.

1. RAZŠIRJANJE:
Števec in imenovalec pomnožimo z istim neničelnim številom. Pri tem se ulomek ne spremeni:

2. KRAJŠANJE:
Števec in imenovalec delimo z istim neničelnim številom. Pri tem se ulomek ne spremeni:

kjer je največji skupni delitelj števca in imenovalca.

Najmanjši skupni imenovalec je najmanjši skupni večkratnik obeh imenovalcev.

Racionalna števila ponazarjamo na številski premici in vsakemu pripada natanko ena točka na njej. Pozitivni ulomki so ponazorjeni desno, negativni pa levo od koordinatnega izhodišča. Ulomek je pozitiven, če sta in istega predznaka, in negativen, če sta različnega predznaka. Imamo dva ulomka, in . Možnosti glede urejenosti so naslednje:

• prvi ulomek je večji od drugega ali ,
• prvi ulomek je manjši od drugega ali ,
• ulomka sta enaka ali .

Kdaj sta ulomka enaka, smo že prej spoznali. Za poljubna dva ulomka lahko včasih ocenimo na pamet, kateri je večji. Pri ostalih pa si pomagamo z matematičnim znanjem. Ulomka razširimo na skupni imenovalec, potem pa ju lahko primerjamo po velikosti. Lahko pa to ugotovimo tudi drugače:

• 
  Na številski premici leži desno od ali pa se ravno pokrivata.

Ulomka zmnožimo tako, da je novi števec zmnožek števcev in novi imenovalec zmnožek imenovalcev.

Lastnosti množenja ulomkov:

• velja zakon o zamenjavi (komutativnostni zakon),
• velja zakon o združevanju (asociativnostni zakon),
• nevtralni element za množenje je 1,
• obstaja obratni ulomek in velja , .

Velja tudi distributivnostni zakon: .

Zgledi

Z ulomkom delimo tako, da pomnožimo z njegovo obratno vrednostjo.

Zgledi

Preden začnemo reševati enačbe oziroma neenačbe, si moramo ogledati nekaj osnovnih značilnosti:

• Številu oblike pravimo izraz, v katerem nastopajo spremenljivke , in .
• Enakost oziroma neenakost dveh izrazov je enačba, spremenljivke pa so neznanke. Vedno velja, da je leva stran enačbe enaka desni strani enačbe.
• Tiste vrednosti neznank, kjer sta vrednosti izrazov med seboj enaki, imenujemo rešitve enačbe.
• Enačbi oziroma neenačbi lahko na obeh straneh prištejemo ali odštejemo isto število.
• Enačbo lahko na obeh straneh delimo ali množimo z istim neničelnim številom.
• Neenačbo lahko na obeh straneh delimo ali množimo z istim pozitivnim številom.
• Neenačbo na obeh straneh pomnožimo z istim negativnim številom, vendar pri tem obrnemo znak neenakosti.
• Če je produkt dveh števil enak 0, je vsaj eno izmed teh dveh števil enako 0.

Rešimo enačbo: .
Rešitev

Rešimo neenačbo: .
Rešitev

Decimalna številka je v splošnem oblike

pri tem pa so števke od 0 do 9.

Primer:

Vejica, ki jo pišemo spodaj (lahko tudi piko zgoraj), je decimalna vejica. Števke za decimalno vejico so decimalke. Prva števka za decimalno vejico predstavlja, koliko je desetin, druga stotin, tretja tisočin,... Primer: številka ima štiri decimalke.

1. Seštevanje in odštevanje
   Napišemo številke eno pod drugo, tako da je decimalna vejica pod decimalno vejico in računamo istoležne števke:

   

2. Množenje
   Dve števili zmnožimo tako, da najprej pozabimo na decimalni vejici in števili zmnožimo brez vejic, nato pa vejico postavimo tam, kjer je za njo še toliko decimalk, kot je seštevek decimalk prvega in drugega števila. Če ima prvo število 2 decimalke, drugo pa 3, potem mora biti vejica tam, kjer je za njo še 5 decimalk:

3. Deljenje
   Deljenec in delitelj pomnožimo s tako potenco števila 10, da postane delitelj celo število, potem pa delimo:

   

   Pogosto pa se deljenje ne izide, na primer . Tu je rezultat deljenja neskončna periodična številka. Oglejte si prevajanje neskončne periodične decimalne številke v ulomek : Prikaz

Povprečna plača delavca v neki tovarni je 620 €. V tem mesecu pa se je povišala za 24 €. Kako bi izračunali, za koliko se je plača povišala v tem mesecu? Temu pravimo relativni delež ali kvocient med osnovo in deležem, kjer je osnova neka celota, delež pa nam pove, kakšen del celote je:

Sedaj lahko izračunamo, za koliko se je v tem mesecu povišala povprečna plača: . Ponavadi pa zaradi boljše predstave relativni delež zapišemo z ulomkom, ki ima imenovalec enak 100. preberemo kot je odstotkov oziroma procentov. Tako dobimo splošni obrazec za izračun procentov:

V našem primeru je torej odstotek enak %.