Kako daleč je od do ? Razdalja med dvema točkama je dolžina najkrajše poti med njima, torej moramo poiskati dolžino daljice .
Razdalja med točkama
Razdalja med točkama
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Točke v koordinatnem sistemu že znamo predstaviti. Tu bomo spoznali, kako izračunamo dolžino daljice, če poznamo koordinati njenih krajišč.
Izpeljava formule
Izpeljava formule
, ,
, , , , ,
Dolžine dobimo z odštevanjem koordinat, a le, če ležita krajišči vodoravno ali navpično eno ob drugem.
Izpeljava formule
| Dogovorimo se, da bomo razdalje med točkami v koordinatnem sistemu označevali s črko , za katero bomo v oklepaj dodali točki, med katerima iščemo razdaljo, npr. ali . Pri računanju v koordinatnem sistemu ponavadi ne uporabljamo enot, zato bi zgornji rezultat zapisali . |
Za radovedne
Verjetno si ne bo težko zapomniti, da dobimo razdaljo med točkama, če je njuna zveznica vzporedna eni od koordinatnih osi, kar z odštevanjem različnih koordinat.
Če je ena od koordinat negativna, moramo paziti, da pravilno odštevamo: Lahko pa točki med seboj tudi zamenjamo. Da v tem primeru ne bi dobili negativne razdalje, uporabimo še absolutno vrednost
S črko se začenjajo latinska beseda distantia (razdalja) in njene izpeljanke v mnogih jezikih. Zato se ta črka uporablja za označevanje razdalje.
Izpeljava formule
Premaknimo sedaj točke v drugačno lego.
Oglej si spodnjo sliko.
Znaš ugotoviti razdaljo med točkama in na sliki?
Pokukaj v rezultat
Si uporabil Pitagorov izrek in dobil ?
Čestitam.
Izpeljava formule
Sedaj poznamo vsa orodja in bomo razdaljo lahko izračunali za poljuben par točk v koordinatnem sistemu.
Na spodnji sliki smo skozi točki in potegnili pravokotnici na obe koordinatni osi. Tako smo dobili pravokotni trikotnik, ki ima za dolžini katet razliko koordinat danega para točk oz. njegovo absolutno vrednost. Razdaljo med točkama predstavlja dolžina hipotenuze in to znamo izračunati po Pitagorovem izreku.
| Geogebra datoteka |
Pozoren bralec lahko na sliki premika točki in v poljubno lego in sam ugotovi, da se način izračuna katet pri tem nič ne spremeni.
Za dani točki je na sliki vedno izračunana tudi razdalja med točkama, zaokrožena na eno decimalko.
Vaja 1
Izračunajmo razdaljo med točkama in .
Podatke vstavimo v formulo, malo poračunamo
in rezultat je tu.
Matematiki bomo presrečni, če boste tudi dijaki rezultate, ki niso cela števila, delno korenili, ne pa računali s kalkulatorji.
Vaja 2
Izračunaj razdaljo med pari točk in rezultate zapiši na prazna mesta spodaj. Ulomke piši s poševno črto (/) in ne uporabljaj presledkov.
- ,
- ,
- ,
, ,
Odgovor 1: "" je napačen.
Odgovor 2: "" je napačen.
Vsi odgovori so pravilni!
, ,
Vaja 3
Naslednja naloga je malo težja. Vseeno jo poskusi najprej rešiti sam, če pa boš obupal, klikni na gumb za rešitev.
Podani sta točki in . Točki določi neznano koordinato tako, da bo imela daljica dolžino enot.
Rešitev naloge
| Geogebra datoteka |
Rešitev si lahko ogledaš tudi na spodnji aktivni sliki. Dolžina daljice je enot. Premikaj točko po koordinatnem sistemu in ugotovi, v katerih legah ustreza pogoju iz naloge.
Vprašanje za razmislek
Odgovori še na vprašanje, po kateri krivulji se premika točka na zgornji sliki.
Poišči odgovor
Najprej vstavi podatke v obrazec in izračunaj, kar lahko
Izraz, ki si ga dobil, kvadriraj in sproti vstavi podano dolžino daljice.
Enačbo, ki si jo dobil, uredi tako, da bodo vsi členi na eni strani, in razstavi.
Ker je produkt dveh izrazov enak nič, če je eden od faktorjev nič, sta na dlani dve rešitvi našega problema.
ali .
Točka je vedno enot oddaljena od , torej se giblje po krožnici s središčem v točki in polmerom .
Naloga 1
Naloga 2
- V koordinatnem sistemu je dan štirikotnik z oglišči , , , . Izračunaj njegov obseg in dolžini diagonal.
Rešitev
- Točki in sta sosedni oglišči kvadrata. Določi njegov obseg in ploščino. Ali znaš določiti tudi njegovi ostali oglišči? (Pomagaj si s sliko.)
Rešitev
- Ali je trikotnik z oglišči , in enakokrak?
Rešitev
Obseg meri , vsaka od diagonal pa po enot.
Razdalja med točkama meri enot, torej je obseg kvadrata , njegova ploščina pa enot. Oglišči sta še in .
Trikotnik je enakokrak, saj velja
Naloga 3
- Razporedi točke , , , , , in po njihovi oddaljenosti od točke #T(-2, 1)# naraščajoče. Preberi besedo, ki jo dobiš.
Rešitev
- Dani sta točki in . Poišči neznano koordinato točke tako, da bo njena oddaljenost od točke enaka .
Rešitev
- Dani sta točki in . Določi neznano koordinato točke tako, da bo dolžina daljice enaka .
Rešitev
- Kje na simetrali lihih kvadrantov mora ležati točka , da bo od točke oddaljena enot? Namig: koordinati točke morata biti enaki.
Rešitev
, , , , , , Dobiš besedo DALJICE.
,
,
Točka F mora imeti koordinati .
Rezultati
