Trapezna formula

Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Trapezna formula

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Uvod

Ploščino krivočrtnega lika, ki ga določa graf poljubne zvezne in nenegativne funkcije $f$ na intervalu $[a,b]$ z abscisno osjo, lahko ocenimo tudi s ploščino trapeza.

$\frac{(a-c)v}{2}$

$\frac{(a+b)v}{2}$

$\frac{(a+c)v}{2}$

Ni res. Še enkrat premisli.

Ni res.

Pravilno.

Trapez

Trapez je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic. Vzporedni stranici sta osnovnici $(a$ in $c)$ , nevzporedni pa kraka trapeza $(b$ in $d)$ .

Ploščina trapeza

Na spodnjem apletu premikaj točki $a$ in $b$ in opazuj kako se spreminjata ploščini trapeza in krivočrtnega lika v odvisnosti od intervala $[a,b]$ .

!tu manjka aplet

Primerjaj po velikosti ploščino krivočrtnega lika in ploščino trapeza na intervalu $[0,6]$ .

Ploščina trapeza je večja.

Ploščina krivočrtnega lika je večja.

Obe ploščini sta enaki.

Res je.

Ni res. Še enkrat preveri z aplikacijo.

Izračun približka ploščine krivočrtnega lika

Spomnimo se, da je ploščina krivočrtnega lika, ki ga graf nenegativne in zvezne funkcije na intervalu $[a,b]$ določa z abscisno osjo, enaka $\int_a^b f(x) dx.$

Ploščina trapeza z osnovnicama $a,c$ in višino $v$ je $\frac{(a+c)v}{2}.$

Na zgornjem apletu je višina trapeza enaka $h=b-a$ , osnovnici trapeza pa merita $f(a)$ in $f(b)$ .

Ploščina tega trapeza je torej $S=\frac{1}{2}(f(a) + f(b))h.$

Ploščino krivočrtnega lika na intervalu $[a,b]$ lahko približno izračunamo s ploščino trapeza, kar zapišemo s formulo:

$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{2}(f(a) + f(b))h \quad \mathrm{kjer \quad je} \quad h=b-a$

Kaj pa, če s tem približkom nismo zadovoljni?

Uporabili bomo podobno idejo kot pri računanju določenega integrala funkcije $f$ na intervalu $[a,b]$ .

Interval $[a,b]$ bomo razdelili na manjše, vendar enake podintervale. Nad vsakim podintervalom bomo narisali trapez in nato izračunali vsoto ploščin vseh trapezov. Z vsoto ploščin trapezov bomo približno izračunali ploščino krivočrtnega lika na intervalu $[a,b]$ .

Ploščina štirih trapezov

Na spodnjem apletu je interval $[a,b]$ razdeljen na štiri manjše, vendar enake podintervale. Ploščino krivočrtnega lika lahko približno izračunamo kot vsoto ploščin štirih trapezov.

Spreminjaj točki $a$ in $b$ in opazuj razliko ploščin.

!tu manjka aplet

Vprašanji

Interval $[a,b]$ je razdeljen na štiri enake podintervale. Koliko je širina enega podintervala?

$\frac{1}{4}$

$\frac{b-a}{4}$

$b-a$

Namig

Naj bo funkcija $f$ zvezna in nenegativna na intervalu $[a,b]$ . Če interval $[a,b]$ razdelimo na štiri enake podintervale, je vsota ploščin pripadajočih trapezov enaka:

$\frac{1}{2} f(a) + f(a+\frac{b-a}{4}) + f(a+2\frac{b-a}{4}) + f(a+3\frac{b-a}{4}) + \frac{1}{2}f(b)$

( $\frac{1}{2} f(a) + f(a+\frac{b-a}{4}) + f(a+2\frac{b-a}{4}) + f(a+3\frac{b-a}{4}) + \frac{1}{2}f(b)) \cdot \frac{b-a}{4}$

$(f(a) + f(b)) \cdot \frac{b-a}{2}$

Namig

Pomagaj si z aplikacijo.

Pravilno

Narobe

To ne bo držalo. Ves izraz je treba pomnožiti še s širino podintervala.

Res je.

Narobe. To je ploščina trapeza, ki ima za osnovnici $f(a)$ in $f(b)$ in višino $\frac{b-a}{2}$ .

Raziskujemo vsoto ploščin trapezov

Kaj se dogaja z vsoto ploščin trapezov, če širino podintervalov, s katerimi razdelimo interval $[a,b]$ , manjšamo?

Vsota ploščin trapezov se približuje vrednosti ploščine krivočrtnega lika.

Vsota ploščin trapezov se bolj razlikuje vrednosti ploščine krivočrtnega lika.

Vsota ploščin trapezov se ne spreminja.

Pomagaj si s spodnjim apletom, kjer lahko spreminjaš gostoto delitve intervala $[a,b]$ . Opazuj vsoto ploščin trapezov v primerjavi s ploščino krivočrtnega lika.

!tu manjka aplet

Narobe

Premisli ponovno.

Pravilno

Bolj, ko manjšamo širino delilnih podintervalov , bolj je vsota ploščin trapezov natančen približek za točno vrednost ploščine krivočrtnega lika.

Trapezna formula

$\int_{x_0}^{x_n}f(x) dx \approx (\frac{1}{2}f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_{n-1}) + \frac{1}{2}f(x_n))h;$ $\mathrm{kjer \quad je} \quad x_1 = x_0 + h, x_2=x_0+2h, \dots, x_n = x_0+nh.$ $h=\frac{x_n-x_0}{n}$

Število $h$ imenujemo korak trapezne formule.

Izpeljava

Izpeljava trapezne formule

Interval $[a,b]$ razdelimo na manjše, enako široke podintervale. Interval $[a,b]$ razdelimo na $n$ enakih delov z delilnimi točkami:

$a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$

Dolžino enega dela označimo s $h$ , kjer je $h= \frac{b-a}{n} = \frac{x_n - x_0}{n}$ .

Graf funkcije $f$ nadomestimo z lomljeno črto, ki povezuje točke na grafu, ki ustrezajo delilnim točkam intervala $[a,b]$ .

$\int_{x_0}^{x_1} f(x)dx$ nadomestimo s ploščino trapeza, ki ima višino $h=x_1 - x_0$ in osnovnici $f(x_0)$ ter $f(x_1)$ .

$S_1 = \int_{x_0}^{x_1} f(x) dx \approx \frac{1}{2}(f(x_0) + f(x_1))h$

$\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx$ nadomestimo s ploščino trapeza, ki ima višino $h=\frac{x_2 - x_0}{2}$ in osnovnici $f(x_1)$ ter $f(x_2)$ .

$S_2=\int_{x_1}^{x_2} f(x) dx \approx \frac{1}{2}(f(x_1) + f(x_2))h$

Postopek nadaljujemo in dobimo:

$S=S_1 + S_2 + \dots + S_n = \frac{1}{2}(f(x_0) + f(x_1))h + \frac{1}{2}(f(x_1) + f(x_2))h + \dots + \frac{1}{2}(f(x_{n-1}) + f(x_n))h$

Če izraz še malo poenostavimo, dobimo:

$S=S_1+S_2+ \dots +S_n = (\frac{1}{2}f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_{n-1}) + \frac{1}{2}f(x_n))h$

Tako smo prišli do trapezne formule za približen izračun določenega integrala.

Primer

Izračunaj $\int_0^2 (x+1)^2 dx$ na dva načina:
(Rezultat zaokroži na štiri decimalke natančno)

z uvedbo nove neznanke
Rezultat:
Rešitev
s trapezno formulo s korakom
1. $h=1$
  Rezultat:
  Rešitev
2. $h=\frac{1}{2}$
  Rezultat:
  Rešitev
3. $h=\frac{1}{4}$
  Rezultat:
  Rešitev

Preveri

Zgornje izračune preveri tudi z aplikacijo, ki predstavlja trapezno metodo za izračun $\int_0^2 (x+1)^2 dx$ .

Pravilno

Naprej

! tu manjka aplikacija

Rešitve

1. način:

$\int_0^2 (x+1)^2 dx = \frac{(x+1)^3}{3} \Bigg|_0^2 =\frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} = 8,\overline{6}$

2. način :

trapezna formula s korakom $h=1$
$f(x) = (x+1)^2$
Za $h=1$ je $x_0=0, x_1 = 1 ,x_2=2$ in dobimo približek za integral:
$S_1 = (\frac{1}{2}f(x_0) + f(x_1) + \frac{1}{2}f(x_2)) \cdot h = (\frac{1}{2} \cdot 1 + 4 + \frac{1}{2} \cdot 9) \cdot 1 = 9$ $\int_0^2 (x+1)^2 dx \approx 9$

trapezna formula s korakom $h=\frac{1}{2}$
$f(x) = (x+1)^2$
Za $h=\frac{1}{2}$ je $x_0=0, x_1 = \frac{1}{2}, x_2=1, x_3 = \frac{3}{2}, x_4=2$ in dobimo približek za integral:
$S_{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2}f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + \frac{1}{2}f(x_4)) \cdot h =$ $= (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{9}{4} + 4 + \frac{25}{4} + \frac{1}{2} \cdot 9) \cdot \frac{1}{2} = (9+ \frac{34}{4}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{70}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{35}{4} = 8,75$ $\int_0^2 (x+1)^2 dx \approx 8,75$

trapezna formula s korakom $h=\frac{1}{4}$
$f(x) = (x+1)^2$
Za $h=\frac{1}{4}$ je $x_0 = 1, x_1 = \frac{5}{4}, x_2 = \frac{3}{2}, x_3 = \frac{7}{4}, x_4 = 2$ . Dobimo pribljižek za integral:
$T_{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{2} f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5)+ f(x_6) + f(x_7) + \frac{1}{2}f(x_8)) \cdot h$ $S_{\frac{1}{4}} = 8,6875$ $\int_0^2 (x+1)^2 dx \approx 8,6875$

Narobe

Tvoj rezultat: /4

Rešitev

$\int_0^2 (x+1)^2 dx = \frac{(x+1)^3}{3} \Bigg|_0^2 =\frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} = 8,\overline{6}$

Rešitev

trapezna formula s korakom $h=1$

$f(x) = (x+1)^2$

Za $h=1$ je $x_0=0, x_1 = 1 ,x_2=2$ in dobimo približek za integral:

$S_1 = (\frac{1}{2}f(x_0) + f(x_1) + \frac{1}{2}f(x_2)) \cdot h = (\frac{1}{2} \cdot 1 + 4 + \frac{1}{2} \cdot 9) \cdot 1 = 9$ $\int_0^2 (x+1)^2 dx \approx 9$

Rešitev

trapezna formula s korakom $h=\frac{1}{2}$

$f(x) = (x+1)^2$

Za $h=\frac{1}{2}$ je $x_0=0, x_1 = \frac{1}{2}, x_2=1, x_3 = \frac{3}{2}, x_4=2$ in dobimo približek za integral:

$S_{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2}f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + \frac{1}{2}f(x_4)) \cdot h =$ $=(\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{9}{4} + 4 + \frac{25}{4} + \frac{1}{2} \cdot 9) \cdot \frac{1}{2} = (9+ \frac{34}{4}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{70}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{35}{4} = 8,75$ $\int_0^2 (x+1)^2 dx \approx 8,75$

Rešitev

trapezna formula s korakom $h=\frac{1}{4}$

$x_0 = 0, x_1 = \frac{1}{4}, x_2 = \frac{1}{2}, x_3 = \frac{3}{4}, x_4 = 1, x_5= \frac{5}{4}, x_6 = \frac{3}{2}, x_7 = \frac{7}{4}, x_8 =2$ $S_{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{2} f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5)+ f(x_6) + f(x_7) + \frac{1}{2}f(x_8)) \cdot h$ $S_{\frac{1}{4}} = 8,6875$ $\int_0^2 (x+1)^2 dx \approx 8,6875$

Dodatne naloge

1. naloga
Izračunaj $\int_1^2 \frac{dx}{x}$ .
(Rezultat zaokroži na štiri decimalke natančno)

z uporabo pravil za integriranje
Rezultat:
Rešitev
s trapezno formulo s korakom
1. $h=1$
  Rezultat:
  Rešitev
2. $h=\frac{1}{2}$
  Rezultat:
  Rešitev
3. $h=\frac{1}{4}$
  Rezultat:
  Rešitev

Preveri

Pravilno

Naprej

Rešitve

1. način:

$\int_1^2 \frac{dx}{x} = \ln (2) = 0,693147 \dots$

2. način :

trapezna formula s korakom $h=1$
$f(x) = \frac{1}{x}$
Za $h=1$ je $x_0=1, x_1 = 2$ in dobimo približek za integral:
$T_1 = (\frac{1}{2}f(x_0) + \frac{1}{2}f(x_1)) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

trapezna formula s korakom $h=\frac{3}{2}$
$f(x) = \frac{1}{x}$
Za $h=\frac{1}{2}$ je $x_0=1, x_1 = \frac{3}{2}, x_2=2$ in dobimo približek za integral:
$T_{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2}f(x_0) + f(x_1) + \frac{1}{2}f(x_2)) \cdot h = (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{17}{24} \approx 0,7083$

trapezna formula s korakom $h=\frac{1}{4}$
$f(x) = \frac{1}{x}$
Za $h= \frac{1}{4}$ je $x_0 = 1, x_1 = \frac{5}{4}, x_2 = \frac{3}{2}, x_3 = \frac{7}{4}, x_4 = 2$ . Dobimo približek za integral:
$T_{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{2} f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + \frac{1}{2}f(x_4)) \cdot h = (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{4}{5} + \frac{2}{3} + \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{4} \approx 0,697$

Narobe

Tvoj rezultat: /4

Rešitev

$\int_1^2 \frac{dx}{x} = \ln (2) = 0,693147 \dots$

Rešitev

$f(x) = \frac{1}{x}$

Za $h=1$ je $x_0=1, x_1 = 2$ in dobimo približek za integral:

$T_1 = (\frac{1}{2}f(x_0) + \frac{1}{2}f(x_1)) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

Rešitev

$f(x) = \frac{1}{x}$

Za $h=\frac{1}{2}$ je $x_0=1, x_1 = \frac{3}{2}, x_2=2$ in dobimo približek za integral:

$T_{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2}f(x_0) + f(x_1) + \frac{1}{2}f(x_2)) \cdot h = (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{17}{24} \approx 0,7083$

Rešitev

$f(x) = \frac{1}{x}$

Za $h= \frac{1}{4}$ je $x_0 = 1, x_1 = \frac{5}{4}, x_2 = \frac{3}{2}, x_3 = \frac{7}{4}, x_4 = 2$ . Dobimo približek za integral:

$T_{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{2} f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + \frac{1}{2}f(x_4)) \cdot h = (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{4}{5} + \frac{2}{3} + \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{4} \approx 0,697$

Dodatne naloge

2. naloga

Izračunaj $\int _1^{10} \log (x) dx$ s trapezno formulo s korakom $h = 1.$
(Rezultat zaokroži na $3$ decimalke natančno.)

Rezultat:

3. naloga

Izračunaj $\int _0^{3} (2x + 1)^2 dx$ s trapezno formulo s korakom $h = \frac{1}{2}.$

Rezultat:

4. naloga

Izračunaj $\int _2^{5} \frac{dx}{ \ln (x)}$ s trapezno formulo s korakom $h = 1.$
(Rezultat zaokroži na $3$ decimalke natančno.)

Rezultat:

Preveri

Narobe

Pri 1. odgovoru si naredil napako.

Narobe

Pri 2. odgovoru si naredil napako.

Narobe

Pri 3. odgovoru si naredil napako.

Narobe

Pri 1. in 2. odgovoru si naredil napako.

Narobe

Pri 1. in 3. odgovoru si naredil napako.

Narobe

Pri 2. in 3. odgovoru si naredil napako.

Rešitev

2. naloga

$T_1 = (\frac{1}{2} \log (1) + \log (2) + \log (3) \dots + \log (9) + \frac{1}{2} \log(10)) \cdot 1 \approx 6,06$

3. naloga

$T_{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2} \cdot 1 + 4+ 9+ 16+ 25+ 36+ \frac{1}{2} \cdot 49) \cdot \frac{1}{2} = \frac{115}{2} = 57,5$

4. naloga

$\int_2^5 \frac{dx}{\ln (x)} \approx 2,664$

Rešitev

1. naloga

$T_1 = \frac{1}{2} \log (1) + \log (2) + \log (3) \dots + \log (9) + \frac{1}{2} \log(10)) \cdot 1 \approx 6,06$

Rešitev

2. naloga

$T_{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2} \cdot 1 + 4+ 9+ 16+ 25+ 36+ \frac{1}{2} \cdot 49) \cdot \frac{1}{2} = \frac{115}{2} = 57,5$

Rešitev

4. naloga

$\int_2^5 \frac{dx}{\ln (x)} \approx 2,664$

Rešitev

2. naloga

$T_1 = \frac{1}{2} \log (1) + \log (2) + \log (3) \dots + \log (9) + \frac{1}{2} \log(10)) \cdot 1 \approx 6,06$

3. naloga

$T_{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2} \cdot 1 + 4+ 9+ 16+ 25+ 36+ \frac{1}{2} \cdot 49) \cdot \frac{1}{2} = \frac{115}{2} = 57,5$

Rešitev

2. naloga

$T_1 = \frac{1}{2} \log (1) + \log (2) + \log (3) \dots + \log (9) + \frac{1}{2} \log(10)) \cdot 1 \approx 6,06$

4. naloga

$\int_2^5 \frac{dx}{\ln (x)} \approx 2,664$

Rešitev

3. naloga

$T_{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2} \cdot 1 + 4+ 9+ 16+ 25+ 36+ \frac{1}{2} \cdot 49) \cdot \frac{1}{2} = \frac{115}{2} = 57,5$

4. naloga

$\int_2^5 \frac{dx}{\ln (x)} \approx 2,664$

Narobe

Pri vseh odgovorih si naredil napako.

Pravilno

Naprej

Kazalo

Uvod
Ploščina trapeza
Izračun približka ploščine krivočrtnega lika
Ploščina štirih trapezov
Vprašanji
Raziskujemo vsoto ploščin trapezov
Trapezna formula
Primer
Dodatne naloge

Nazaj

Zapri

Pomoč
Komentarji
Velikost črk
Zapiski
Za učitelja
Natisni

Natisni trenutno prosojnico
Natisni celotno gradivo

Naprej

Trapezna formula

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Trapezna formula

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Trapez

Namig

Pravilno

Narobe

Narobe

Pravilno

Izpeljava trapezne formule

Pravilno

Rešitve

Narobe

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Pravilno

Rešitve

Narobe

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Narobe

Narobe

Narobe

Narobe

Narobe

Narobe

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Rešitev

Narobe

Pravilno