Narišimo v koordinatnem sistemu tri točke in jih povežimo v trikotnik. Radi bi določili njegovo ploščino. Na prvi pogled je videti zapleteno, vendar bomo kmalu spoznali, da ni tako.
Ploščina trikotnika
Ploščina trikotnika
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
V koordinatnem sistemu je trikotnik podan s koordinatami svojih oglišč. Naučili se bomo izračunati njegovo ploščino.
Računanje ploščine trikotnika
Računanje ploščine trikotnika
Za začetek povlecimo iz vseh treh točk pravokotnice na os .
| Geogebra datoteka |
Točke, v katerih te pravokotnice sekajo os, označimo po vrsti z , in , da se bomo lažje pogovarjali.
Če se za hip ustavimo ob zgornji sliki, bomo verjetno opazili, da na njej ni več samo trikotnik, ampak še nekaj trapezov. (Res da osnovnice niso vodoravne, kot smo vajeni, ampak navpične, pa nič zato.)
Če slučajno trapezov ne vidiš dobro, povleci z miško točko na drsniku levo zgoraj v desno.
Razmisli
Zanimali nas bodo trapezi , in . Podatki so koordinate točk , in tako, kot so označene na sliki.
Izrazi in zapiši za vsakega od trapezov dolžine osnovnic in višine. Rezultate preveri s klikom na spodnji gumb.
Preveri odgovor
S temi podatki znamo izračunati ploščine trapezov. Označimo ploščino trapeza z oznako , ploščino trapeza kot in ploščino trapeza kot .
Poskusi izraziti ploščino trikotnika s temi tremi ploščinami.
Preveri odgovor
Trapez ima osnovnici in , njegova višina (dolžina daljice ) pa je ,
trapez ima osnovnici in in višino , trapez pa osnovnici in in višino .
Razmisli
Poglejmo torej:
.
Malo računske spretnosti je treba, da ta izraz preoblikujemo v obliko, ki si jo lažje zapomnimo:
Na aktivni sliki lahko premikaš katero koli točko in opazuješ, kako se spreminjajo posamezne ploščine. Utegne se zgoditi, da bo kakšna "ploščina" negativna, ker smo dolžine definirali s koordinatami. To pomeni, da ustrezno ploščino odštejemo, ne pa prištejemo.
| Geogebra datoteka |
Pri končnem rezultatu, ki je na sliki zapisan krepko, pa je le nerodno, če je negativen. To se zgodi, če leži točka pod zveznico točk in . Zato uvedemo še eno novo količino – orientacijo trikotnika.
Orientacija trikotnika
| Dogovorimo se, da je trikotnik orientiran pozitivno, če si njegova oglišča sledijo v nasprotni smeri kazalcev na uri, in negativno, če si sledijo v smeri kazalcev. |
Trikotnik je na sliki orientiran pozitivno, trikotnik pa negativno.
Vaja 1
Določi orientacije trikotnikov na zgornji sliki in v prazno polje za opisom trikotnika spodaj zapiši p, če je trikotnik orientiran pozitivno, in n, če je orientiran negativno.
Pazi, kako si sledijo točke v opisu trikotnika.
- trikotnik
- trikotnik
- trikotnik
- trikotnik
- trikotnik
- trikotnik
Odgovor 1: "" je napačen.
Odgovor 2: "" je napačen.
Odgovor 3: "" je napačen.
Odgovor 4: "" je napačen.
Odgovor 5: "" je napačen.
Odgovor 6: "" je napačen.
Vsi odgovori so pravilni!
- trikotnik : "n"
- trikotnik : "p"
- trikotnik : "p"
- trikotnik : "n"
- trikotnik : "n"
- trikotnik : "p"
Enačba ploščine trikotnika
Trikotnik ni orientiran enako kot .
Zato bomo uradno različico obrazca zapisali v obliki pri čemer nam bo absolutna vrednost rezultata, ki ga dobimo na desni strani, predstavljala ploščino trikotnika, predznak pa orientacijo trikotnika ( ali ). |
Za raziskovalce
Rezultate naslednjih vaj lahko preveriš tudi s spodnjo aktivno sliko. Točke lahko poljubno premikaš po koordinatnem sistemu in opazuješ, kako se spreminjata ploščina in orientacija trikotnika.
Če potrebuješ več ravnine, kot je vidiš, desno klikni na risalno površino in izberi povečavo, ki je manjša od %. Elipsa v zgornjem desnem kotu slike postavi vse elemente slike spet na začetno lego.
| Geogebra datoteka |
Vaja 2
Izračunaj ploščino trikotnika in mu določi orientacijo, če imajo njegova oglišča koordinate , in .
Trikotnik nariši v koordinatni sistem.
Rezultat
, torej in (trikotnik je orientiran negativno)
Vaja 3
Imamo točke s koordinatami , in . Določi neznano koordinato točke , če veš, da ima trikotnik ploščino . Poišči obe možnosti.
Rezultat
Podatke lahko vstavimo v desno stran obrazca in dobimo izraz
.
Ker orientacija ni določena v besedilu naloge, lahko levo stran nadomestimo s (trikotnik bo imel pozitivno orientacijo) ali (trikotnik bo negativno orientiran) in iz enačbe izračunamo vrednost .
V prvem primeru dobimo , v drugem pa .
Si dobil obe pravilni rešitvi? Bravo!
Vaja 4
Naslednja vaja je podobna prejšnjim, rezultat pa je malo nenavaden.
Izračunaj ploščino trikotnika in mu določi orientacijo, če so oglišča , in .
Rezultat
Malo čuden trikotnik. Če še nimaš ideje, kakšen bi bil videti, si nariši oglišča v koordinatni sistem.
Poglej sem
To je trikotnik s ploščino .
To v resnici sploh ni trikotnik, saj ležijo vse tri točke na isti premici.
Za tako trojico točk rečemo tudi, da so kolinearne.
Vaja 5
Podane so točke , in . Določi neznano koordinato tako, da bodo točke ležale na isti premici.
Pomagaj si najprej s spodnjo aktivno sliko, kjer lahko poljubno premikaš točke, rezultat pa preveri še računsko.
| Geogebra datoteka |
Računsko rešimo nalogo tudi tako, da v enačbo za ploščino trikotnika vstavimo koordinate vseh treh točk, v levo stran pa ploščino .
,
enačbo uredimo
in dobimo rešitev
.
Vaja 6
Reši spodnji dve nalogi računsko in rezultate zapiši v za to namenjena mesta za nalogama. Ulomke zapisuj s poševno črto.
- Določi neznano koordinato točke tako, da bodo točke kolinearne, če je , in .
- Poišči koordinate točke , če veš, da leži na osi in so točke , in kolinearne.
,
Preveri
Prikaži odgovore
Odgovor 1: "" je napačen.
Odgovor 2: "" je napačen.
Odgovor 3: "" je napačen.
Vsi odgovori so pravilni!
Vaja 7
Za konec še ena vaja, kjer bomo videli, da je včasih mogoče ploščino izračunati tudi bolj enostavno.
Izračunaj torej ploščino trikotnika, ki ima oglišča v točkah , , . Najprej si nariši ustrezno sliko in poskusi izračunati ploščino brez nove formule.
Oglej si narisano sliko
Gotovo si opazil, da je trikotniku mogoče zelo preprosto in na pamet določiti dolžino ene stranice in tudi višino nanjo. Če uporabiš ta dva podatka (, ), dobiš ploščino .
Naloga 1
; orientacija je negativna.
; orientacija je pozitivna.
; orientacija je negativna.
; orientacija je pozitivna.
Naloga 2
- Poznaš točke , in . Določi neznano koordinato točke tako, da bo imel trikotnik ploščino in pozitivno orientacijo.
Rešitev
- Poznaš točke , in . Določi neznano koordinato točke , če ima trikotnik ploščino in negativno orientacijo.
Rešitev
- Točke imajo koordinate , , . Določi neznani tako, da bo imel trikotnik ploščino . (Dve rešitvi!)
Rešitev
Naloga 3
Naloga 4
- Štirikotnik ima oglišča , , in . Nariši ga v koordinatni sistem in izračunaj njegovo ploščino.
Rešitev
- Določi koordinate točke na osi , če leži na premici skozi in .
Rešitev
- Trikotnik ima oglišča , , . Izračunaj njegovo ploščino in dolžino višine na stranico . Namig: za višino uporabi formulo
Rešitev
