Velikokrat se srečujemo z medseboj odvisnimi količinami.

Nekaj primerov:

1. Znesek v evrih, ki smo ga imeli na transakcijskem računu ob menjavi tolarjev v evre 1.1.2007 je odvisen od zneska v tolarjih, ki smo ga imeli tedaj na računu.
2. Čas, ki ga potrebujemo za potovanje od Nove Gorice do Ljubljane, je odvisen od potovalne hitrosti.
3. Količna vode, ki jo potrebujemo za napolnit okrogel bazen s premerom , je odvisna od globine bazena.

Koliko hrane pes potrebuje, je odvisno od njegove velikosti in aktivnosti.

V vsakem od primerov je bila ena količina (znesek v evrih, čas vožnje, količina vode) neposredno odvisna od druge količine (znesek v SIT, potovalna hitrost, globina bazena). Zato drugo količino imenujemo neodvisna količina, prvo pa odvisna količina.

Zapišimo v naših primerih neodvisne in odvisne količine:

Neodvisne količine pogosto označimo z , odvisne pa z . Rečemo tudi, da je odvisna spremenljivka funkcija neodvisne spremenljivke . Funkcija pomeni nek predpis, ki vrednosti neodvisne spremenljivke priredi vrednost odvisne spremenljivke : . In o takih predpisih se bomo pogovarjali v nadaljevanju.

Poglejmo še en primer. Znanje je odvisno od vloženega dela. V izjavi je neodvisna spremenljivka () vloženo delo, odvisna () pa znanje.

Na podoben način smiselno dopolni!

Prostornina kocke je odvisna od dolžine roba kocke. V izjavi je neodvisna spremenljivka () kocke, odvisna () pa kocke.

Preveri

Prikaži odgovore

Na funkcijo lahko gledamo tudi drugače. V množici naj bodo vse vrednosti, ki jih lahko zavzame neodvisna spremenljivka . V množici naj bodo vrednosti odvisne spremenljivke. Preslikava naj elementom množice priredi slike v množici .

Na sliki množico predstavljajo dijaki v razredu. V možici so našteti vsi možni uspehi. Funkcija priredi vsakemu dijaku njegov končni uspeh.

Funkcijo bomo predstavili s puščičnim diagramom.

Na animaciji opazuj, kako posameznemu dijaku priredimo uspeh.

Janez je dosegel dober, Alenka odličen, Boštjan nezadosten, Mitja prav dober in Petra dober uspeh.

Vsak od dijakov je dosegel natančno določen uspeh. Posamezen dijak ne more doseči dveh uspehov. Tako Janez ne more biti dober in hkrati odličen. Lahko pa več dijakov doseže isti uspeh. Petra in Janez sta oba dosegla dober uspeh. Iz slike razberemo, da nihče od dijakov ni zadosten.

Dogovorimo se za označevanje:

• funkcijski predpis poimenujemo z malimi pisanimi črkami :
• zapis preberemo : Funkcija preslikuje iz množice v množico .
• zapis preberemo: Funkcija elemenetu iz množice priredi element iz množice .

Za funkcijo je ključno troje: množica , od koder preslikujemo, množica , kamor preslikujemo, in predpis , ki pove, kako preslikujemo. Če spremenimo kar koli od tega, dobimo drugo funkcijo. To je seveda očitno, če spremenimo predpis, je pa res tudi, če spremenimo in .

Vzemimo na primer funkcijo, ki vsakemu prebivalcu Slovenije priredi število kamel; in pa funkcijo, ki vsakemu prebivalcu Sahare priredi število kamel. Ob slikata iz množic prebivalcev Slovenije oz. Sahare v množico naravnih števil z . Predpis je isti, množica je ista, množici originalov pa se razlikujeta, zato to ni ista funkcija.

V primeru dijakov in njihovih končnih uspehov je

,

.

Opazimo, da niso vsi elementi množice v zalogi vrednosti funkcije ( nihče ni dosegel zadostnega uspeha).

Definicijsko območje funkcije je kar enako množici . Kako sta povezani zaloga vrednosti funkcije in množica ?

Namig

Če je množica množica realnih števil , množica pa podmnožica množice realnih števil govorimo o realni funkciji realne spremenljivke.

Ali je zaloga vrednosti funkcije vedno prava podmnožice množice ali ji je lahko enaka?

Na primer: Zaloga vrednosti funkcije definirane s predpisom je enaka .

Poišči še kakšen primer realne funckije realne spremenljvike za katero velja !

Potrebuješ pomoč?

Funkcijo podamo tako, da povemo, kako preslikuje originale v slike. To lahko naredimo s predpisom.

ali

V primeru, da vsebujeta definicijsko območje in zaloga vrednosti funkcije končno število elementov, lahko funkcijo podamo tudi s tabelo. V prvo vrstico vnašamo vrednosti neodvisne spremenljivke, v drugo pa vrednosti odvisne spremenljivke.

Primer : V tabeli je podan predpis, ki otrokom priredi njihove mame.

Če pa govorimo o realni funckiji realne spremenljivke, preslikave ne moremo v celoti podati s tabelo. S tabelo si ponazorimo nekatere vrednosti funkcijskega predpisa.

Primer: Tabelirajmo funkcijo na intervalu od do s korakom

Funkcijski predpis lahko podamo tudi s puščičnim diagramom. To velja samo za funkcije, ki imajo v definicijskem območju in zalogi vrednosti končno število elementov. Sicer si s puščičnim diagramom samo ponazorimo nekatere preslikave originalov v slike.

V množici in narišemo (ali zapišemo) vse elemente, nato pa s puščicami ponazorimo, v katere elemente množice se preslika posamezen element množice .

Funkcijo pa lahko ponazorimo tudi z grafom.

Če je realna funkcija, potem imamo v grafu pare realnih števil, torej točke v ravnini. Ko jih narišemo, si funkcijski predpis bolje predstvljamo.

Na spodnjih slikah je nekaj primerov različnih grafov.

Imejmo funkcijo podano s predpisom

V koordinatnem sistemu ponazorimo graf funkcije . Graf narišemo tako, da vzamemo prvo točko iz definicijskega območja (to je ) in jo s predpisom preslikamo.Tako dobimo urejen par , ker je . Točko narišemo v koordinatni sistem.

Na enak način preslikamo vrednost v sliko . Postopek nadaljujemo. Tako dobimo graf, sestavljen iz štirih točk, ki ponazarja našo funkcijo.

S klikom na prvi gumb v orodni vrstici dobiš izrisano prvo točko na grafu, s klikanjem na naslednji gumb pa vidiš, kako se izrisujejo nadaljne točke na grafu.

Iz ponazoritve grafa funkcije v koordinatnem sistemu lahko odčitamo definicijsko območje fukcije, pa tudi njeno zalogo vrednosti. Sčasoma se bomo naučili odčitavati z grafa tudi druge lastnosti funkcij.

Za graf na sliki sta definicijsko območje in zaloga vrednosti

,

Imejmo funkcijo podano s predpisom

Narišimo graf te funkcije. Premikaj točko na abscisni osi in opazuj kako se izrisuje graf funkcije. Opazuj tudi koordinati točke na grafu.

Za poljubno vrednost neodvisne spremenljivke lahko izračunamo pripadajoči po predpisu. Tako lahko na primer za vrednost , izračunamo . S premikanjem točke , lahko pregledaš koordinate poljubne točke na grafu. Zapišemo lahko:

.

Podobno kot v prejšnjem primeru poiščimo definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcije. Definicijsko območje prebermo iz zapisa grafa.

Kakšna je zaloga vrednosti ? Če opazujemo graf na sliki, opazimo, da lahko za poljubno vrednost odvisne spremenljivke najdemo natanko eno vrednost neodvisne spremenljivke, ki se preslika vanjo. Sklepamo,da je

Na sliki je narisan graf funkcije podane s predpisom .

S premikanjem točke na grafu poskusi odgovoriti na spodnja vprašanja.

Odčitaj (ali izračunaj) vrednost funkcije pri in pri !

Iz grafa funkcije odčitaj definicijsko območje in zalogo vrednosti narisane funkcije!

• Tabeliraj funkcijo

  na intervalu od s korakom .
  
  Rešitev
  
  

• Zapiši definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcije

  
  
  Rešitev
  
  

Zapiši definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcije

Pomagaj si z grafom na sliki.

Rešitev

• V tabeli imaš podatke o likih in številu njihovih stranic. Ponazori preslikavo s puščičnim diagramom.
  
  

  trikotnik	romb	trapez	petkotnik	kvadrat	paralelogram

  
  
  
  
  Rešitev
  
  

• Na bencinski črpalki točimo gorivo. V rezervarju imamo še litrov bencina. Vsako sekundo se v rezervar natoči pol litra. Prikaži za sekund točenja odvisnot med časom točenja in količino goriva v rezervarju s tabelo. Napiši funkcijski predpis, ki bo opisoval to odvisnost.
  
  Rešitev