Deljivost števil in izrazov

Deljivost števil in izrazov

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Učni cilji: Deljivost števil in izrazov; Naloge utrjevanja snovi.

Uvod


Ali je število 6 deljivo s 3? Ali je število 7 deljivo s 3? V prvem primeru se deljenje izide, v drugem pa dobimo ostanek. Deljivost števil torej pomeni, da se deljenje izide. Oglejmo si, kako dokazovati deljivost raznih števil in izrazov.


Uvodna naloga

Preberi pravljico in sklepaj, kakšen je konec pravljice za reveža; vesel ali žalosten. Odgovor utemelji.

Preberi pravljico
Nimaš ideje?

(pravljiccaa.jpg)

Predelaj sledečo snov o deljivosti števil in izrazov in se na koncu vrni k pravljici. Takrat boš znal napovedati usodo ubogega reveža.

Deljivost naravnih števil

Spomnimo se, kako utemeljiti, da eno naravno število deli drugo.

1. naloga

Ali veljajo naslednje relacije?

a)



b)



c)



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je vsaj en odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Rešitve Naprej

(resitev1.jpg)

Deljivost celih števil

Kako bi utemeljili, da eno celo število deli drugo?

  • Dokažimo, da : ker je , velja .

  • Dokažimo, da : ker je , velja

  • Dokažimo, da : ker je , velja .

Relacijo , kjer sta in celi števili, dokažemo na enak način kot za naravni števili. Število zapišemo kot produkt, v katerem je en izmed faktorjev enak .



2. naloga

Ali veljajo naslednje relacije?
a)



b)



c)



d)



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je vsaj en odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Rešitve Naprej

(resitev2.jpg)

Deljivost izrazov

Kako bi utemeljili, da en izraz deli drugega? Pozorno si oglej naslednji animaciji.

(an2.gif)



(an1.gif)



Relacijo , kjer sta in neka izraza, dokažemo na enak način kot za naravni in celi števili:

  • izraz zapišemo kot produkt (izraz razstavimo)
  • en izmed faktorjev mora biti izraz .


Deljivost izrazov - Primer

Ali ?

Odgovor je da.

Izraz želimo zapisati kot produkt, kjer je en faktor .

Izpostavimo



Torej res velja



3. naloga

a) Ali ?



b) Ali ?



c) Ali ?



d) Ali ?

e) Ali ?



f) Ali ?



g) Ali ?



h) Ali ?



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je vsaj en odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

4. naloga

Ali veljajo naslednje relacije?

a)



b)



c)


d)



e)



f)


Preveri

Pravilno Naprej

Žal je vsaj en odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

5. naloga

Ali velja ?



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

6. naloga

Kako naj se glasi naloga?

Dokaži:

Obkljukaj nepravilne rešitve:



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

7. naloga

Trditev: Vsota štirih potenc z osnovo , ki imajo za eksponente 4 zaporedna naravna števila, je vedno deljiva s .

a) Preveri, ali trditev velja za potence , , , .

Vsota potenc:



Izpostavimo skupni faktor:



Izračunamo, kar je v oklepaju:



Torej za števila , , , trditev drži.



Preveri

Trditev dokažimo v splošnem

Pravilno Nazaj

Žal si vsaj v eno polje vpisal napačno število. Poskusi ponovno! Ponovno Nazaj

4 zaporedna naravna števila v splošnem: , , ,

Vsota štirih potenc z osnovo in eksponenti , , , :



Izpostavimo skupni faktor:



Izračunamo, kar je v oklepaju.



Torej trditev tudi v splošnem drži.

Preveri

Pravilno Nazaj Naprej

Žal si v vsaj eno polje vpisal napačno število! Ponovno Nazaj Naprej

8. naloga

Ali je vsota treh potenc z osnovo , ki imajo za eksponente 3 zaporedna naravna števila, je deljiva z .



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

9. naloga

Trditev: Trikratnik poljubnega števila zmanjšan za 2 deli za 8 zmanjšan osemnajstkratnik kvadrata prej izbranega poljubnega števila.

a) Ali velja trditev za število 5?



b) Trditev dokaži.

Preveri

Klikni sem za dokaz

Pravilno Nazaj

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Nazaj

Poljubno število označimo z .

  • Trikratnik poljubnega števila zmanjšan za :

  • Za zmanjšan osemnajstkratnik kvadrata prej izbranega poljubnega števila:

    Dokazati moramo:



    Torej res velja .

Preveri svoje znanje 1





Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Preveri svoje znanje 2





Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Preveri svoje znanje 3





Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Preveri svoje znanje 4





Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Preveri svoje znanje 5





Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Rešitev uvodne naloge

Zdaj še enkrat natančno preberi pravljico in ugotovi, ali bi revež z devetimi žepi na hlačah dobil zlato ali ne.



Preveri

Potrebuješ namig?
Zgodilo pa se je takole

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Rešitev Naprej

1. jama: grudica

2. jama: grudici

3. jama: grudice

4. jama: grufic

5. jama: grudic

zadnja jama: grudic

predzadnja jama: grudic

predpredzadnja jama: grudic

Koliko žepov ima revež? S katerim številom mora biti deljivo število grudic zlata?

Vila se torej vrne k revežu in revež stori, kot mu je bilo naročeno. Izkoplje zadnje tri jame, grudice zlata začne zlagati v svoje žepe ... Takrat pa opazi, da mu manjkata 2 žepa. Ko je bil svoje delo opravljal tako vztrajno in vestno, niti ni opazil, da je z motiko strgal s sebe dva žepa. Tako mu je ostalo le 7 žepov. Takrat je nekaj grdega zamomljal in naprej zlagal grudice zlata v 7 preostalih žepov. Tako je revež vendarle dobil grudice zlata. Takoj si šel kupit ocvirkove pogače, "dobra" vila pa je od jeze za vedno izginila iz tistih krajev.

Število grudic zlata v zadnji jami:

Število grudic zlata v predzadnji jami:

Število grudic zlata v predpredzadnji jami:

Število grudic zlata v zadnjih treh jamah:

Poglejmo, ali je ta izraz deljiv s številom žepov

Število grudic ni nikoli deljivo z .

Deljivo je le s številom in potencami števila ter njihovimi produkti.

Torej je bila vila zvita; reveža je le izkoristila, da ji je okopal in zalil krompir, zlata pa tako ali tako ne bi dobil v nobenem primeru.

Dodatne naloge 1

Ali drži?

a)



b)



c)



d)




Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Dodatne naloge 2

Ali drži?

a)



b)



c)



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Dodatne naloge 3

Ali drži?

a)



b)



c)



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Dodatne naloge 4

Ali drži?

d)



e)



f)



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Dodatne naloge 5

Ali drži?

g)



h)



i)



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Dodatne naloge 6

Ali je vsota petih zaporednih naravnih števil vedno deljiva s ?



Preveri

Pomoč

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Dodatne naloge 7

Ali je vsota dveh potenc z osnovama , ki imata za eksponenta dve zaporedni naravni števili vedno deljiva s ?



Pomoč Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Najprej števili zapiši: in

Dodatne naloga 8

Ali je vsota petih potenc z osnovami , ki imajo za eksponente zaporednih naravnih števil vedno deljiva z



Preveri

Pomoč

Pravilno Končaj

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Končaj

Najprej števila zapiši: , , , in
0%
0%