Kriteriji deljivosti

Kriteriji deljivosti

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Več o projektu...

Uvod

 
Ogledali si bomo, kako brez kalkulatorja in dolgotrajnega deljenja ugotoviti deljivost z nekaterimi števili.



Na spodnjih dveh konstrukcijah ugotovi, ali sta dani števili deljivi z naštetimi števili. Ko boš vse rdece točke postavil pravilno v polja DA/NE, se bo izpisalo obvestilo.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)



Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)



Potrebuješ pomoč?
Imaš težave?

  • Dano število deliš z 2, 3, 4, ...

  • Če pri deljenju ne dobiš ostanka, označiš DA, če pa dobiš ostanek, označiš NE.

Pomagaš si lahko tudi s kalkulatorjem. Če količnik vsebuje decimalke, dano število ni deljivo z izbranim številom.

Če dano število delimo z 2, 3, 4, ..., imamo z deljenjem kar nekaj dela. Poleg tega se lahko še hitro zmotimo, ...

Tudi kalkulator nas pri tem številu pusti na cedilu. Na njegovem zaslonu se ponavadi lahko izpišejo le do 10-mestna števila. V tem primeru pa imamo kar 21-mestno število.

Predelaj naslednjo snov o kriterijih deljivosti in se kasneje vrni k nalogi. Spoznal boš, kako brez kalkulatorja in hudega računanja pravilno rešiš zastavljeno nalogo.

Kriterij za deljivost s številom 2

Ali je število 3674 deljivo z 2? Je. Utemeljimo.


Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti, ali je neko število deljivo z 2.


(dvojka.gif)




  • Zapišemo:

    3674=4+7·10+6·100+3·1000

  • Števila 10, 100, 1000 so vsa tri deljiva z 2, zato lahko 2 izpostavimo:

    3674=4+2(7·5+6·50+3·500)=4+2·nekaj

  • Ostale so enice in število, deljivo z 2.

Kdaj je torej število deljivo z 2? Takrat, ko so njegove enice deljive z 2. Kdaj so enice deljive z 2? Ko so enake 0, 2, 4, 6, 8.

Število 3674 je deljivo z 2, saj so enice 4 deljive z 2.

Kriterij za deljivost s številom 4

Ali je število 6783674 deljivo s 4? Ni. Utemeljimo.


Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti deljivost nekega števila s številom 4.

(stirka1.gif)




  • Zapišemo:

    6783674=4+7·10+6·100+3·1.000+8·10.000+7·100.000+6·1.000.000

  • Števila 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 so vsa deljiva s 4, zato lahko 4 izpostavimo:

    6783674= 4+7·10+4(6·25+3·250+8·2.500+7·25.000+6·250.000)= 4+7·10+4·nekaj=74+4·nekaj

  • Ostal je dvomestni konec in število, deljivo s 4.

Kdaj je torej število deljivo s 4? Ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4.

Število 6783674 ni deljivo s 4, saj 74 ni deljivo s 4.

Kriterij za deljivost s številom 8

Ugotovili smo, da je število deljivo z 2, ko so njegove enice deljive z 2. Število je deljivo s 4, ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4.

Ali je število 6783840 deljivo z 8 ter kakšen je kriterij za deljivost s številom 8? Je. Utemeljimo.


  • Zapišemo:

    6783840=0+4·10+8·100+3·1.000+8·10.000+7·100.000+6·1.000.000

  • Števila 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 so vsa deljiva z 8, zato lahko 8 izpostavimo:

    6783840=0+4·10+8·100+8(3·125+8·1.250+7·12.500+6·125.000)= 0+4·10+8·100+8·nekaj=840+8·nekaj

  • Ostal je trimestni konec in število, deljivo z 8.

Kdaj je torej število deljivo z 8? Ko je njegov trimestni konec deljiv z 8.

Število 6783840 je deljivo z 8, saj je 840 deljivo z 8.

Kratka ponovitev kriterijev za deljivost s števili 2, 4, in 8


 


  • Število je deljivo z 2, ko so njegove enice deljive z 2.

  • Število je deljivo s 4, ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4.

  • Število je deljivo z 8, ko je njegov trimestni konec deljiv z 8.



1. naloga

V številu določi števko tako, da bo to število deljivo:

a) z 2
b) s 4
c) z 8
=0 (2, 4, 6, 8)
=2 (6)
=2



Preveri

Namig a)
Namig b)
Namig c)

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Kdaj je število deljivo z 2? Ko so njegove enice deljive z 2. Enice danega števila pa so enake .

Kdaj je število deljivo s 4? Ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4. Dvomestni konec danega števila je enak .

Kdaj je število deljivo z 8? Ko je njegov trimestni konec deljiv z 8. Trimestni konec danega števila je enak .

2. naloga

V številu določi števko tako, da bo to število deljivo:

a) z 2
b) s 4
c) z 8
=0 (2, 4, 6, 8)
=0 (4, 8)
=0 (8)



Preveri

Namig a)
Namig b)
Namig c)

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Kdaj je število deljivo z 2? Ko so njegove enice deljive z 2. Enice danega števila pa so enake .

Kdaj je število deljivo s 4? Ko je njegov dvomestni konec deljiv s 4. Dvomestni konec danega števila je enak .

Kdaj je število deljivo z 8? Ko je njegov trimestni konec deljiv z 8. Trimestni konec danega števila je enak .

Kriterij za deljivost s številom 5

Ali je število 7352799 deljivo s 5? Ni. Utemeljimo.


Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti, ali je neko število deljivo s 5.

(delljivo_5.gif)




  • Zapišemo:

    7352799=9+9·10+7·100+2·1.000+5·10.000+3·100.000+7·1.000.000

  • Števila 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 so vsa deljiva s 5, zato lahko 5 izpostavimo:

    7352799=9+5(9·2+7·20+2·200+5·2.000+3·20.000+7·200.000)=9+5·nekaj

  • Ostale so enice in število, deljivo s 5.

Kdaj je število deljivo s 5? Takrat, ko so njegove enice deljive s 5.

Število 7352799 ni deljivo s 5, saj enice 9 niso deljive s 5.

Kriterij za deljivost s številom 25

Ali je število 36200375 deljivo s 25? Je. Utemeljimo.


Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti deljivost nekega števila s številom 25.

(deljivo_25.gif)




  • Zapišemo:
    6200375=5+7·10+3·100+0·1.000+0·10.000+2·100.000+6·1.000.000

  • Števila 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 so vsa deljiva s 25, zato lahko 25 izpostavimo:

    6200375=5+7·10+25(3·4+0·40+0·400+2·4.000+6·40.000)=5+7·10+25·nekaj=75+25·nekaj

  • Ostal je dvomestni konec in število, deljivo s 25.

Kdaj je število deljivo s 25? Takrat, ko je njegov dvomestni konec deljiv s 25.

Število 6200375 je deljivo s 25, saj je dvomestni konec 75 deljiv s 25.

Kratka ponovitev kriterijev deljivosti s številoma 5 in 25


 
  • Število je deljivo s 5, ko so njegove enice deljive s 5.

  • Število je deljivo s 25, ko je njegov dvomestni konec deljiv s 25.



3. naloga

V številu določi števko tako, da bo to število deljivo:

a) s 5
b) s 25
=0 (5)
Taka števka ne obstaja.



Preveri

Namig a)
Namig b)

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Kdaj je število deljivo s 5? Ko so njegove enice deljive s 5. Enice danega števila pa so enake .

Kdaj je število deljivo s 25? Ko je njegov dvomestni konec deljiv s 25. Dvomestni konec danega števila je enak .

Kriterij za deljivost s številom 3

Ali je število 7224 deljivo s 3? Je. Utemeljimo.


Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti, ali je neko število deljivo s 3.

(deljivo_3.gif)




  • Zapišemo: 7224=4+2·10+2·100+7·1000

  • Preoblikujmo: 7224=4+2·(9+1)+2·(99+1)+7·(999+1)

  • Pomnožimo: 7224=4+2·9+2+2·99+2+7·999+7

  • Števila 9, 99, 999 so deljiva s 3, zato iz njih 3 izpostavimo:

    7224=4+2+2+7+3(2·3+2·33+7·333)=4+2+2+7+3·nekaj

  • Kaj pa je ravno 4+2+2+7? To je ravno vsota števk.

    7224=vsota števk+3·nekaj

Kdaj je torej število deljivo s 3? Ko je vsota njegovih števk deljiva s 3.

Vsota števk števila 7224 je enaka 4+2+2+7=15 in je deljiva s 3. Zato je število 7224 deljivo s 3.

Kriterij za deljivost s številom 9

Ali je število 44880123 deljivo z 9? Ni. Utemeljimo.


Na naslednji animaciji si oglejmo, kako hitro preveriti deljivost nekega števila s številom 9.

(deljivo_9.gif)




  • Zapišemo: 4880123=3+2·10+1·100+0·1.000+8·10.000+8·100.000+4·1.000.000

  • Preoblikujmo: 4880123=3+2·(1+9)+1·(1+99)+0·(1+999)+8·(1+9.999)+8·(1+99.999)+4·(1+999.999)

  • Pomnožimo: 4880123=3+2·1+2·9+1·1+1·99+0·1+0·999+8·1+8·9.999+8·1+8·99.999+4·1+4·999.999

  • Števila 9, 99, 999, 9.999, 99.999, 999.999 so deljiva z 9, zato iz njih 9 izpostavimo:

    4880123=3+2+1+0+8+8+4+4+9(2·1+1·11+0·111+8·1.111+8·11.111+4·111.111)=3+2+1+0+8+8+4+4+9·nekaj

  • Kaj pa je ravno 3+2+1+0+8+8+4? To je ravno vsota števk.

    4880123=vsota števk+9·nekaj

Kdaj je torej število deljivo z 9? Ko je vsota njegovih števk deljiva z 9.

Vsota števk števila 4880123 je enaka 3+2+1+0+8+8+4=26 in ni deljiva z 9. Zato število 44880123 ni deljivo z 9.

Kratka ponovitev kriterijev za deljivost s števili 3 in 9


 
  • Število je deljivo s 3, ko je vsota njegovih števk deljiva s 3.

  • Število je deljivo z 9, ko je vsota njegovih števk deljiva z 9.



4. naloga

V številu določi števko tako, da bo to število deljivo: a) s 3
b) z 9
Namig

Zapišimo vse možne vsote števk in za vsako posebej komentirajmo deljivost s 3 in z 9.

Števka Vsota števk = Je število deljivo s 3?Je število deljivo z 9?
023+0=23nene
123+1=24dane
223+2= nene
323+3= nene
23+4= da
23+5=28
23+6=29
723+7=30
823+8=31
923+9=32


a) Da je število deljivo s 3, mora biti števka eno izmed števil 1, 4, .

b) Da je število deljivo z 9, mora biti števka enaka .

Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

  • Število je deljivo s 3, ko je vsota njegovih števk deljiva s 3 in z 9, ko je vsota njegovih števk deljiva z 9.

  • Zato izračunajmo vsoto števk: vsota števk = 4+6+6+7+0+=23+

  • Ker je števka, mora biti eno izmed števil 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

5. naloga

V številu določi števko tako, da bo to število deljivo:

a) s 3
b) z 9
=1 (4, 7)
Taka števka ne obstaja.



Preveri

Namig a)
Namig b)

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Število je deljivo s 3, ko je vsota njegovih števk deljiva s 3.

Število je deljivo z 9, ko je vsota njegovih števk deljiva z 9.

6. naloga

Koliko je takih parov števk in , da je število deljivo:

a) s 3
b) z 9
34 možnih parov števk in
12 možnih parov števk in



Preveri

Namig a)
Namig b)

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Ker je števka, je lahko eno izmed števil 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kolikšna je lahko v tem primeru števka , da je število deljivo s 3? Lahko si narediš tabelo.

Ker je števka, je lahko eno izmed števil 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kolikšna je lahko v tem primeru števka , da je število deljivo z 9? Lahko si narediš tabelo.

Kriterij za deljivost s številom 11

Ali je število 291038 deljivo z 11? Je. Utemeljimo.


Na naslednji animaciji si oglejmo, kako brez dolgotrajnega deljenja preveriti deljivost nekega števila s številom 11.

(deljivo_11.gif)




  • Zapišemo:

    291038=8+3·10+0·100+1·1.000+9·10.000+2·100.000

  • Preoblikujemo:

    291038=8+3·(11–1)+0·(99+1)+1·(1.001–1)+9·(9.999+1)+2·(100.001–1)

  • Pomnožimo:

    291038=8+3·11–3·1+0·99+0·1+1·1.001–1·1+9·9.999+9·1+2·100.001–2·1

  • Preoblikujemo:

    291038=8–3·1+0·1–1·1–2·1+9·1+3·11+0·99+1·1.001+9·9.999+2·100.001

  • Števila 99, 9999, 999999, ... so vedno deljiva z 11

  • Števila 11, 1001, 100001, ... so vedno deljiva z 11.

  • Izpostavimo 11:

    291038=8-3+0–1–2+9+11(3·1+0·9+1·91+9·909+2·9091)=8–3+0–1+9–2+11·nekaj

  • Kaj pa je 8–3+0-1+9–2?

    Je ravno zadnja števka – predzadnja + prepredzadnja – ...

Kdaj je torej število deljivo z 11? Takrat, ko je število: zadnja števka – predzadnja + prepredzadnja – ... deljivo z 11.

V našem primeru: 8–3+0–1+9–2=11. Dobili smo 11. Ker je 11 deljivo z 11, je tudi število 291038 deljivo z 11.

7. naloga

Določi števko tako, da bo število deljivo z 11.



Preveri

Namig

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Izračunamo zadnja števka – predzadnja + predpredzadnja – ...

2–5+–7+8–6=–8+

Ker je števka, je eno izmed števil 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Kriterij za deljivost s številom 6

Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in s 3 hkrati.

  • Ali je 2337222 deljivo z 2? Je, ker so enice deljive z 2.

  • Ali je 2337222 deljivo s 3? Je, ker je vsota števk 21 deljiva s 3.

Torej je število 2337222 deljivo s 6.

Kriterij za deljivost s številom 10

Ali je 366295 deljivo z 10?

Število je deljivo z 10, če je deljivo z 2 in s 5 hkrati.

  • Da je deljivo s 5, morajo biti enice 0 ali 5.

  • Če pa je število deljivo še z 2, morajo biti enice 0.

Torej število 366295 ni deljivo z 10, saj njegove enice niso enake 0.

Kriterij za deljivost z 10: enice števila morajo biti enake 0.

 
Naloga: Utemelji kriterij za deljivost s številom 10 na podoben način, kot smo ga utemeljili za števili 2 in 5.


Kriterij za deljivost s številom 18

Ali je število 42552 deljivo z 18?

Število je deljivo z 18, če je deljivo z 2 in z 9 hkrati.

  • 42552 je deljivo z 2, saj so enice 2 deljive z 2.

  • 42552 je deljivo z 9, saj je vsota števk 18 deljiva z 9.

Ker je število 42552 deljivo z 2 in z 9, je deljivo tudi z 18.


Zakaj pa nismo začeli takole: število je deljivo z 18, če je deljivo s 6 in s 3 hkrati? Pojasni.


 
Pravilen sklep: Če je neko število deljivo z 2 in z 9, je deljivo z 18.

Napačen sklep: Če je neko število deljivo s 3 in s 6, je deljivo z 18.


Npr. število 12 je deljivo s 6 in s 3 hkrati, ni pa deljivo z 18.

Števili ne smeta biti deljivi z istim številom, večjim od 1!

2 in 9 nista deljivi z istim številom, večjim od 1.

6 in 3 sta obe deljivi s 3.

Preveri svoje znanje 1

S katerimi od naštetih števil je deljivo število 360024?



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Preveri svoje znanje 2

Določi števko tako, da bo število deljivo s 4.



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Preveri svoje znanje 3

Določi števko tako, da bo število deljivo z 9.



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Preveri svoje znanje 4

Določi števko tako, da bo število deljivo s 6.



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

Rešitev uvodne naloge

Še enkrat poskusi rešiti uvodno nalogo.

Število je deljivo:



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

1. dodatna naloga

S katerimi izmed števil 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 in 25 so deljiva naslednja števila?

175
1.024
181.200
24.841.916
238.059
S številoma 5 in 25.

S števili 2, 4 in 8.

S števili 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 in 25.

S števili 2, 4 in 11.

S številoma 3 in 9.



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

2. dodatna naloga

V številu določi števko tako, da bo število deljivo:

z 2
s 3
s 4
s 5
s 6
z 8
z 9
z 10
z 11
=0 (2, 4, 6, 8)

=1 (4, 7)

=2 (6)

=0 (5)

=4

=2

=4

=0

=6



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

3. dodatna naloga

V številu določi števko tako, da bo število deljivo:

z 2
s 3
s 4
s 5
s 6
z 8
z 9
z 10
z 11
je lahko poljubna števka.

=0 (3, 6, 9)

=0 (2, 4, 6, 8)

Za nobeno števko dano število ni deljivo s ???.

=0 (3, 6, 9)

=2 (6)

=6

Za nobeno števko dano število ni deljivo z ???.

=6



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

4. dodatna naloga

V številu določi števki in tako, da bo število deljivo z 9. Odkljukaj vse možnosti.



Preveri

Pravilno Naprej

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Naprej

5. dodatna naloga

V številu določi števki in tako, da bo število deljivo z 72. Odkljukaj vse možnosti.



Preveri

Namig

Pravilno Končaj

Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Končaj

Število je deljivo z 72, če je deljivo z 8 in z 9 hkrati.

0%
0%